5.4.2 圆周角和圆心角的关系（教学课件）数学鲁教版五四制九年级下册

鲁教版九年级上册数学 第五章 圆 4.2 圆周角和圆心角的关系 1 学习目标 1.理解圆内接四边形的定义.（重点） 2.掌握圆周角定理的2个推论的内容. （重点） 3.会熟练运用推论解决问题.（难点） 2 情境&导入 特征： ①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C D E 3 情境&导入 ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即∠ABC= ∠AOC. 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 直径所对应的圆周角 1— 探索&交流 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ B C O A 解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90° 证明：∵BC为直径 ∴∠BOC=180° ∴ 5 探索&交流 观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ B C A O 解：弦BC是直径。连接OC、OB ∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B、O、C三点在同一直线上 ∴BC是⊙O的一条直径 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线。 6 探索&交流 推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. A B C O B C A O 几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° 几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径 典例精析 例1.如图，☉O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交☉O于B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 8 探索&交流 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. B 探索&交流 （1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ A B C O D 解：∠BAD与∠BCD互补 ∵AC为直径 ∴∠ABC=90°,∠ABC=90° ∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 探索&交流 (2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ A B C O D 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD ∵ （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 1 2 11 探索&交流 A B C O D A B C O D 如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。 12 探索&交流 A B C O D A B C O D 如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 圆内接四边形的对角互补。 几何语句： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180° （圆内接四边形的对角互补） 探索&交流 C O D B A ∵∠A＋∠DCB＝180°， E ∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？ 想一想 典例精析 例2. 如图，在☉O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° A 15 典例精析 例3.如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B. 16 随堂练习 练习&巩固 1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=42°,则∠BCD=＿＿ . 48° A B O C D 17 练习&巩固 2.如图，△ABC内接于☉O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为☉O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　） A．3 B． C． D．2 A 练习&巩固 3.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 19 课堂总结 2.圆内接四边形的角的“两种关系”： (1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. (2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角． 1.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 20 $$