5.4.1 圆周角和圆心角的关系（教学课件）数学鲁教版五四制九年级下册

鲁教版九年级上册数学 第五章 圆 4.1 圆周角和圆心角的关系 1 学习目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.（难点） 2 情境&导入 如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？ 3 情境&导入 圆周角的定义 1— 探索&交流 问题 指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如：∠ACB． 5 探索&交流 圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆相交的角叫做圆周角. A B C O 判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征： (1)角的顶点在圆上； (2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可． 6 典例精析 例1.如图，在⊙ O 中，弦AB，CD 相交于点P. 若∠ A=48°，∠ APD=80°，则∠ B 的大小为( ) A. 32° B. 45° C. 52° D. 62° A 7 探索&交流 如图，∠AOB = 80°. （1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流. 探索&交流 测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系. 猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半. 等于 探索&交流 圆周角定理的证明： 已知：如图, ∠ C是 所对的圆 周角，∠ AOB是 所对的圆心角. 求证： ∠ C= ∠AOB 探索&交流 证明：(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1). ∵ ∠ AOB是△AOC的外角， ∴ ∠ AOB = ∠A + ∠C. ∵ OA = OC，∴ ∠ A= ∠C. ∴ ∠ AOB = 2∠C, 即 ∠C= ∠ AOB. 11 探索&交流 O A B D O A C D O A B C D 圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D 12 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D 3.圆心O在∠BAC的外部 探索&交流 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆周角定理及其推论 A1 A2 A3 探索&交流 典例精析 解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 所对的弧为 , 例2.如图，OA,OB,OC都是 O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. B C O . 70° A ∴∠ACB= ∠AOB=25°. 同理∠BAC= ∠BOC=35°. 15 探索&交流 想一想 在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ B C D E A O 所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC . 根据圆周角定理， 同弧或等弧所对的圆周角相等. 探索&交流 17 典例精析 例3.如图，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD. 18 探索&交流 证明：如图3-4-4，连接AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD. 典例精析 例4.如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？ A C B O 解：∠ACB = 2∠BAC ， 理由： 而∠AOB = 2∠BOC， ∴ ∠ACB = 2∠BAC . 20 随堂练习 练习&巩固 1.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．45° C．180° D．60° A 21 练习&巩固 2.如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° D 练习&巩固 3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 . C A B O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 23 课堂总结 (1)概念（圆周角）； (2)定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半； (3)推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧相等； 圆周角和圆心角的关系 24 $$