精品解析：云南省曲靖市沾益区民族中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题卷

云南省曲靖市沾益区民族中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小米已经知道自己的成绩他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D．若，则点D到的距离为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 10. 若点是反比例函数的图象上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，四边形内接于，，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 14. 如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 15. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式： ______________． 17. 学校计划选出一批身高为左右的仪仗队员，将身高记为．若某同学的身高记为，则这名同学的身高是_______． 18. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占．要反映上述信息，宜采用______统计图． 19. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：． 22. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度． 23. 在“双减”政策下，学校将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，助力学生全面健康成长．某校确立了三种服务课程，分别为：科技，：运动，：艺术（每人限报一个）．若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程． （1）请用列表或画树状图的方法求出所有可能出现的结果； （2）求小陆和小明选择同一个课程的概率． 24. 暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生，现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元． （1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？ （2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按（为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求的最大值． 25. 如图，在中，，垂足为D，点E，F分别是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的值． 26. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 27. 抛物线上存在两点，． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省曲靖市沾益区民族中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式可判断，根据同底数幂的乘法运算法则可判断，根据幂的乘方运算法则可判断，根据完全平方公式可判断． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握公式及运算法则． 4. 如图，直线，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，两直线平行内错角相等，三角形的内角和定理等知识点，弄清题中各个角之间的关系是解题的关键． 利用垂线的性质可得，利用平行线的性质可得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 5. 一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得，−， 由②得，， 故原不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： 故答案为：D． 6. 校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小米已经知道自己的成绩他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可得到答案． 【详解】解：共有15名选手参加比赛，取前8名， 所以小米需要知道自己的成绩是否进入前8，把15个不同的成绩按从小到大排序，第8名的成绩是这组数据的中位数， 所以小米要知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数的意义，中位数是指：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟练掌握此定义是解题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 8. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键． 9. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D．若，则点D到的距离为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，即可解题． 【详解】解：由题知，为的角平分线， 作于点， ，， ， 故选：B． 10. 若点是反比例函数的图象上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．把点代入反比例函数即可求出的值． 【详解】解：点是反比例函数的图象上的一点， ， 故选：D． 11. 2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解． 【详解】解：972亿， 故选：C． 12. 观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键． 根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此即可解答． 【详解】解：第9个单项式是． 故选：B． 13. 如图，四边形内接于，，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键，连接，由圆周角定理得到，由圆心角，弧，弦之间的关系得到，于是得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 14. 如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，进而可证得，于是可得，设，则，，据此即可得出答案． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 的面积与的面积之比是， 与的相似比是， 即：， ， ， ， 设，则，， ， 故选：． 15. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．根据题意，绳子比木条长4.5尺，所以，对折绳子后量木条，木条剩余1尺，说明对折绳子长度比木条短1尺，所以，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 绳子剩余4.5尺， ， 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ， 可列方程组为． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 17. 学校计划选出一批身高为左右的仪仗队员，将身高记为．若某同学的身高记为，则这名同学的身高是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量．本题中把超过的部分记作正数，那么表示低于，则表示的实际身高为． 【详解】解：记作， 那么把记为0， 则表示的实际身高为． 故答案为： ． 18. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占．要反映上述信息，宜采用______统计图． 【答案】扇形 【解析】 【分析】此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题关键．根据扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小即可得到答案． 【详解】解：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占．要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图． 故答案为：扇形． 19. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得． 【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简绝对值，负指数幂，特殊角的三角形函数值，二次根式，零指数幂，然后计算乘法，最后从左到右求解即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂的意义，零指数幂，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 21. 已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明． 【详解】略． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件． 22. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度． 【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟． 【解析】 【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟， 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟． 【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键． 23. 在“双减”政策下，学校将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，助力学生全面健康成长．某校确立了三种服务课程，分别为：科技，：运动，：艺术（每人限报一个）．若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程． （1）请用列表或画树状图的方法求出所有可能出现的结果； （2）求小陆和小明选择同一个课程的概率． 【答案】（1） 画树状图如下： 由上图可知，共有种等可能出现的结果； （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图以及根据树状图和概率公式求概率，掌握画树状图的方法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意画出树状图即可； （2）由（1）得共有种等可能出现的结果，其中小陆和小明选同一个课程的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，共有种等可能出现的结果，其中小陆和小明选同一个课程的结果有种， 小陆和小明选同一个课程的概率为 ． 24. 暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生，现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元． （1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？ （2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按（为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求的最大值． 【答案】（1）家长的报价为500元，学生的报价为480元； （2）m的最大值为8 【解析】 【分析】（1）设家长的报价为x元，学生的报价为元，由题意：一名学生带一名家长，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元，列出分式方程，解之即可； （2）由题意：甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按七折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为整数）折收费，他们选择了总费用较少乙机构，列出一元一次不等式，解不等式，进而求解． 【小问1详解】 解：设家长的报价为x元，学生的报价为元， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：家长的报价为500元，学生的报价为480元； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为8． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 如图，在中，，垂足为D，点E，F分别是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明∶， ． ∵点E，F，D分别是，的中点， ， ∴四边形是平行四边形， ∵中，， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由三角形中位线的性质可得，可证得四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质可得，先证明四边形是菱形，最后由菱形的判定可得结论； （2）连接．再由直角三角形的性质可得，设，可得及，再变形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质及勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 26. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 27. 抛物线上存在两点，． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）将一般式转化为顶点式即可得解； （2）先求出，，过点C垂直于y轴的直线l：，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； （3）分当M在点A的左侧，当M在点A与顶点坐标之间时，当M在对称轴右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：； 【小问2详解】 解：由可知： 抛物线的顶点坐标为：， 当时：， 当时：， ∴，， ∵， ∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图： 由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②当M在点A与顶点坐标之间时， 此时，即，不符合题意； ③当M在对称轴右侧，即时， 时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：，此时不符合题意； 当时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $