高二数学期末模拟卷02（人教A版2019选择性必修第一册+第二册)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+第二册（空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列、导数）。 4．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：直线的斜率，则，可得，且， 又因为，可得，由可知，所以. 2．若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．如果，，则 B．如果，，，，则 C．如果，，则 D．如果，，，则 【答案】C 【解析】A：当时，才能由，，得到，所以本选项命题是假命题； B：只有当，时才能由，，得到，所以本选项命题是假命题； C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题； D：因为，，，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，故选：C 3．若两个非零向量的夹角为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，所以， 所以.故选:A. 4．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点， 因为是等边三角形，则，， ，所以，，， 所以，，由椭圆的定义可得， 因此，椭圆的离心率为. 5．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，即，所以抛物线方程为.故选：D. 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 【答案】B 【解析】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得， 故选：B. 7．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等．尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以．故选B． 8．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，    设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值. 因为的面积为，所以边长为3， 由于三棱锥的体积的最大值为，得， 易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥， 的外接圆直径为，所以, 设球O的半径为R，则, 解得, 所以球的表面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有两个极值点 C．的极小值为 D．在上的最大值为 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 当时，；当时，， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则有两个极值点，B正确； 且当时，取得极小值，A正确； 且极小值为，C错误； 又，，所以在上的最大值为，D正确. 故选：ABD. 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，，，…，， 以上个式子累加可得，， 时也满足上式，故， 对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：， ，正确； 故选：AD. 11．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】BC 【解析】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：与圆内切，则 【答案】 【解析】因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以， 解得.故答案为：. 13．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 【答案】6 【解析】点在直线：上，圆心关于直线对称点， 圆：关于直线对称圆： 如图： 连接与圆交直线于点，连接交圆于， 此时最小，，故的最小值为6. 14．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设为坐标原点，由， 可得，且为锐角三角形， 所以费马点在线段上，如图所示，设， 则为顶角是的等腰三角形，可得， 又由， 则， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【解析】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线为， ...................................（3分） 由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， ...................................（5分） 则圆C的方程为. ...................................（6分） 由圆心到直线的距离， ...................................（9分） . ...................................（13分） 16．（15分）已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）由， 得． ，所以，故得， ...................................（3分） 故是公差为2的等差数列，首项为， ...................................（3分） 则，由，得， ...................................（3分） 故，于是． ...................................（7分） （2）依题意，， 故， ...................................（10分） ， ..................（13分） 即． ...................................（15分） 17．（15分）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． (1)证明：平面； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以． 因为是圆柱的母线，所以且， 所以四边形是平行四边形． ...................................（3分） 所以，所以．因为是圆柱的母线， 所以平面， ...................................（5分） 又因为平面，所以．又因为， 平面，所以平面． ...................................（6分） 由（1）知是三棱锥底面上的高， 由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形． 设，则在中有：，...................................（8分） 所以， ...................................（9分） 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时， 三棱锥的体积最大， ...................................（10分） 解法二：等积转化法： 易得当F与距离最远时取到最大值， 此时E、F分别为、中点）...................................（10分） 下面求二面角的正弦值： 法一：由（1）得平面， 因为平面，所以． 又因为， 所以平面． 因为平面， 所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则．...................................（12分） 故， 所以二面角的正弦值为．...................................（15分） 法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则． ...................................（11分） 由（1）知平面，故平面的法向量可取为． 设平面的法向量为， 由， ...................................（12分） 得，即，即，取， 得． ...................................（13分） 设二面角的平面角为， ， ...................................（14分） 所以二面角的正弦值为 ...................................（15分） 18．（17分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【解析】（1）依题意，，焦半径， ...................................（1分） 由，得，得，...................................（2分） 解得：（其中舍去）， ...................................（3分） 所以， 故双曲线的方程为； ...................................（5分） 显然直线不可能与轴平行， 故可设直线的方程为， ...................................（6分） 联立，消去整理得， ...................................（8分） 在条件下，设，， 则，， ...................................（9分） 由，得， ...................................（10分） 即， ...................................（11分） 整理得， ...................................（12分） 代入韦达定理得，， ..............................（13分） 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， ...................................（14分） 则直线的方程为，得， ...................................（15分） 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， ...................................（16分） 所以点到直线的距离的取值范围为. ...................................（17分） 19．（17分）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数存在两个零点，证明：. 【解析】（1）由于， 则定义域为 ， ...................................（3分） 可得：， ..............................（4分） 当时，∵，∴，故在区间上单调递减； ..........................（5分） 当时，∵，∴由可得，由得， ...........................（6分） 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. ...................................（7分） （2）证明：∵，，，不妨设， 则有，， ...................................（8分） 两式相加得，相减得， ...................................（9分） 消去得：， ...................................（10分） 令，则， ...................................（11分） 要证，即证，也就是要证，即证，................（13分） 令， ∵ ...................................（15分） ∴在上为增函数，，即成立， 故. ...................................（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 6 C A D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD AD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1 13.6 14.4+25 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】1)因为4-1，和B1,3),线段B的中点为(0,2)，且ka1-) 3-1 =1, 则AB的垂直平分线为x+y-2=0, (3分) 由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在x轴上，令y=0,得x=2, 故圆心为C(2,0),半径r=CB=V2-12+0-32=0, (5分） 则圆C的方程为(x-2)2+y2=10 …（6分) 2 由圆心(2,0)到直线x-y=0的距离d= ,(9分) EF=2WP2-d=2W10-2=42 (13分) 16.(15分) 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 【解析】(1)由a2,+2aa,=a2-2a1a, 得a1-a+2a2an+2anad=(an+an)川an1-an+2an1an）=0 an>0，所以a1+an>0,故a1-an+2an+1n=0得 11=2. ,(3分) das d 是公差为2的等差数列，首项为 a 4 4…(3分) 则2=+2m-,由aw= 0得4=3 …(3分) 1 故。=2n+1,于是a,2n+ 4（7分) (2)依题意，b,=(-1)"(2n+1+2"=(-1)(2n+1)+(-2)°， 故7。=+b++b.=[-3+(-2刃+[5+(-2)2]+…+[4n+1+(-2)2], .(10分） 7,=[-3+5-7+…+(4n+1月+[(-2)+(-2y+(-2y+…+(-2)] Tn={(-3+5)+(-7+9列+…+[-4n+1+(4n+1明}+[(-2)+(-2y+(-2y3+…+(-22],(13分) 即7，=2n+20-2]-2n-2+2 (15分) 1-(-2) 33 17.(15分) 【解析】(1)证明：如图，连接AE,由题意知AB为⊙O的直径，所以AE⊥BE, 因为AD,EF是圆柱的母线，所以AD∥EF且AD=EF, 所以四边形AEFD是平行四边形. (3分) 所以AE//DF,所以BE⊥DF.因为EF是圆柱的母线， 所以EF⊥平面ABE,,(5分) 又因为BEc平面ABE,所以EF⊥BE,又因为DF∩EF=F, DF、EFC平面DEF,所以BE⊥平面DEF,…(6分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 B 由(I)知BE是三棱锥B-DEF底面DEF上的高， 由(I)知EF⊥AE,AE∥DF,所以EF⊥DF,即底面三角形DEF是直角三角形. 设DF=AE=x,BE=y,则在RtABE中有：r2+y2=6,(8分) 62 2 (9分) 当且仅当x=y=√5时等号成立，即点E,F分别是B,CD的中点时， 三棱锥B-DEF的体积最大， (10分) 解法二：等积转化法：e=%-r=c=r=亏S.cmr·BC 易得当F与CD距离最远时取到最大值， 此时E、F分别为AB、CD中点)(10分) 下面求二面角B-DF-E的正弦值： 法一：由(1)得BE⊥平面DEF, 因为DFc平面DEF,所以BE⊥DF, 又因为EF⊥DF,EF∩BE=E, 所以DF⊥平面BEF, 因为BFC平面BEF, 所以BF⊥DF,所以∠BFE是二面角B-DF-E的平面角， 由(1)知△BEF为直角三角形，则BF=√(5)+(6)2=3.… (12分) 故sim∠BFE=BE=V5 BF 3 所以二面角B-DF-E的正弦值为 2 （15分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 D B 0 法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直，如图，以点E为原点，EA,EB,EF所在直线 为x,y,z轴建立空间直角坐标系E-9z, 则B(0,V5,0),D(3,0,6),E(0,0,0),F(0,0,6). (11分) 由(1)知BE⊥平面DEF,故平面DEF的法向量可取为EB=(O,√3,0)， 设平面BDF的法向量为万=(x,y,), 由DF=(-√5,0,0)，BF=(0,-√5，√6)， (12分) 得n-DF=0 -√3x=0 x=0 5+6e=0'即 即 nBF=0' y=v22’取：=1， 得元=(0，√2,1). (13分) 设二面角B-DF-E的平面角为9， 1cos8kcos阮，E历F1iEB-巨x5V6 1EB13×53 (14分) 所以二面角B-DF-E的正弦值为 3 …（15分) 18.(17分) 【解析】(1)依题意，∠B4D=90°，焦半径c=2, （1分) 由4P=BF,得a+c-,得。+2a=2-a,n (2分) a 解得：a=】（其中a=-2<0舍去)，…(3分) 所以b2=c2-a2=4-1=3, 故双曲线C的方程为x_ =1: 3 …(5分) 显然直线MN不可能与轴平行， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 故可设直线MN的方程为x=my+n,…(6分) ”3消去x整理得3m-产+6mw+3-=0，(8分 联立 3m2-1≠0 在条件 △>0 下，设My,N(x, 6mn 3到n2-1 则y+=3m-'y=3m-司 9分) 由kk:=-2,得yy:+2(x+1(x1+=0, (10分) 即yy2+2m1+n+1(m,+n+1=0,…(11分) 整理得(2m2+1yy2+2m(n+1(y+:)+2(n+1)2=0, (12分) 代入韦达定理得，3n2-1(2m2+-12mnn+1)+2n+12(3m2-1=0, .(13分) 化简可消去所有的含m的项，解得：n=5或n=-1（舍去)，…(14分) 6 则直线MN的方程为x-my-5=0,得d= Vm2+1 …（15分) 又M,N都在双面线的右支上，放有3m-1<0,0≤m<兮 …（16分) 所以点A到直线MN的距离d的取值范围为3V5,6 (17分） 19.(17分) 【解析】(1)由于f(x=ax2+(2a-1x-Inx(aER, 则定义域为(0，+0)，…(3分) 可得：fx=2ar+2a--1 2ax2+(2a-1x-1_（x+l(2ax- (4分) 当as0时，x>0,∴.f'(x<0,故f八x在区间(0，+o)上单调递减： ,(5分) 当a>0时，“>0，六由国0可得>方由k0得x 2a （6分) 故八倒在区间0岩)上单调递减，在区同公云松上单调递蜡 .(7分） (2)证明：：x>0,gx=ax2-lnx-1,为≠x2,不妨设x>x2>0, 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 则有ax2=lnr+,ax=nx2+1,（8分) 两式相加得a(x+x)=n(xx)+2,相减得a(x2-)=ln, 。(9分) +1 消去a得：h()+2=+三n点-号 (10分) x 营>.则a)--2 (11分) 要王>。即正小>-1，也就是要证兰>1即证>小，一0分) 令p0=m-f-+p小 t2+1 F)=14=P- 1(e+1+ >0…(15分) F在，+o上为增函数，F>F山=0，即M>-成立， 2+1 故xx3> e …,(17分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+第二册（空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列、导数）。 4．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．如果，，则 B．如果，，，，则 C．如果，，则 D．如果，，，则 3．若两个非零向量的夹角为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 7．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等．尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 A． B． C． D． 8．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有两个极值点 C．的极小值为 D．在上的最大值为 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：与圆内切，则 13．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 14．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 16．（15分）已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． (1)证明：平面； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 18．（17分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 19．（17分）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数存在两个零点，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+第二册（空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列、导数）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．如果，，则 B．如果，，，，则 C．如果，，则 D．如果，，，则 3．若两个非零向量的夹角为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 7．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等．尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 A． B． C． D． 8．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有两个极值点 C．的极小值为 D．在上的最大值为 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：与圆内切，则 13．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 14．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 16．（15分）已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． (1)证明：平面； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 18．（17分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 19．（17分）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数存在两个零点，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+第二册（空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆 锥曲线的方程、数列、导数）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设直线 : 2 2 0l x y   的倾斜角为 ，则cos的值为（ ） A． 5 5 B． 5 5  C． 2 5 5 D． 2 5 5  2．若 m，n，l为三条不同的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A．如果m  ， l m∥ ，则 l ∥ B．如果m  ，n  ，m  ，n  ，则 ∥ C．如果 ∥ ， l  ，则 l ∥ D．如果 ∥ ，m  ， n  ，则m n∥ 3．若两个非零向量 ,a b  的夹角为 ，且满足 | | 2 | |, ( 3 )a b a b a       ，则cos （ ） A． 2 3  B． 1 3  C． 1 3 D． 2 3 4．已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的中心是坐标原点O， F 是椭圆E的焦点.若椭圆E上存在点 P，使 OFP△ 是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ） A． 3 1 B．4 2 3 C． 1 2 D． 3 2 5．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F，抛物线上一点 (1, )P t 满足 2PF  ，则抛物线方程为（ ） A． 2 1 4 y x B． 2 1 2 y x C． 2 2y x D． 2 4y x 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减 一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一 天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人第一天走 的路程为（ ） A．228 里 B．192 里 C．126 里 D．63 里 7．阿波罗尼斯（约公元前 262 年～约公元前 190 年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、 《论切触》等．尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成， 进一步提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲 线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的 左、右焦点分别为 1F ， 2F ，其离心率 5e  ，从 2F 发出的光线经过双曲线 C 的右支上一点 E 的反射， 反射光线为 EP，若反射光线与入射光线垂直，则 2 1sin F FE  A． 5 6 B． 5 5 C． 4 5 D． 2 5 5 8．已知 ABC 是面积为 9 3 4 的等边三角形，其顶点均在球O的表面上，当点 P在球O的表面上运动时，三 棱锥P ABC 的体积的最大值为 9 3 4 ，则球O的表面积为（ ） A．16 B． 32 3  C． 27 4  D． 4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知函数   3 21 4 2 f x x x x   ，则（ ） A． 1x  是  f x 的极小值点 B．  f x 有两个极值点 C．  f x 的极小值为1 D．  f x 在 0,2 上的最大值为2 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上 层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球， .设第n层有 na 个球，从上往下n层球的总数为 nS ， 则（ ） 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … A． 1 1n na a n    B． 6 35S  C．   1 1 , 2 2n n n n S S n     D． 1 2 3 2022 1 1 1 1 4044 2023a a a a      11．已知空间中三点 (0,1,1)A ， (2, 2,1)B ， (2,1, 0)C ，则（ ） A． 2BC   B．BC  方向上的单位向量坐标是 2 2 0, , 2 2         C． (1, 2,2)n    是平面 ABC的一个法向量 D． AC  在BC  上的投影向量的模为 2 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若圆M ： 2 2( 3) ( 1) 4x y    与圆 2 2( ) 25x y m   内切，则m  13．已知点O是坐标原点，点Q是圆 2 2( 3) ( 4) 1x y    上的动点，点 ( , 4)P t t  ，则当实数 t变化时， PQ PO 的最小值为 14．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120时，费马点 与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120，根据以 上性质，已知 ( 2, 0), (2,0), (0, 4)A B C ， P为 ABC 内一点，记 ( ) | | | | | |f P PA PB PC   ，则 ( )f P 的最 小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）若圆 C经过点  1,1A  和  1,3B ，且圆心在 x轴上，则： (1)求圆 C的方程． (2)直线 y x 与圆 C交于 E、F两点，求线段EF 的长度． 16．（15 分）已知正项数列 na 满足 100 1 201 a  ，且 2 2 2 21 1 12 2n n n n n na a a a a a     ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)设 1 ( 1) 2n nn n b a         ，求数列 nb 的前2n项和 2nT ． 17．（15 分）如图， ABCD为圆柱OO的轴截面，EF 是圆柱上异于 ,AD BC的母线． (1)证明：BE 平面DEF ； (2)若 6AB BC  ，当三棱锥B DEF 的体积最大时，求二面角B DF E  的正弦值． 18．（17 分）双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b     的左顶点为A ，焦距为 4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线 交C于 B、D两点，且 ABD△ 是直角三角形． (1)求双曲线C的方程； (2)M 、N 是C右支上的两动点，设直线 AM 、 AN 的斜率分别为 1k 、 2k ，若 1 2 2k k   ，求点A 到直线 MN 的距离d 的取值范围． 19．（17 分）设函数      2 2 1 ln Rf x ax a x x a     . (1)讨论  f x 的单调性； (2)若函数      2 1 1g x f x a x    存在两个零点 1 2,x x ，证明： 1 2 1 e x x  .