12.2 全等三角形的判定 学案 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第六讲 全等三角形的判定1 核心要点 1. 判定方法1（SSS）： 2. 方法2（SAS）： 3.利用无刻度直尺和圆规作一个角等于已知角的理论依据是 考点梳理 【考点1】三边分别相等的两个三角形全等 例题1．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在的边，上分别取，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与，重合（即）．此时过直角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（   ） A． B． C． D． 例题2.如图，，，和相交于点．求证：． 【针对训练】 1.如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 2.如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 3.已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【考点2】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 例题1如图，在中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为12，求的面积． 【针对训练】 1如图，是的中点，，．求证：． 2.如图，，，，求证：． 3.如图，点在线段上，，，．求证：． 【考点3】尺规作图 例题1.如图，是的角平分线． 尺规作图（保留作图痕迹）：过点A作，交于点； 【针对训练】 1.如图所示，已知．尺规作图：过作的平行线，使得，在直线的异侧； 2．已知： 求做： 使 (画出图形并保留作图痕迹)． 3.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法） (1)如图1，作图：已知线段a，b，作一条线段，使它等于 (2)如图2，已知， 且， 作，使； (3)如图3，以点B为顶点、射线为一边，作，使． 【综合提升，强化能力】 1.如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2.如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（ ） A． B． C． D． 3.如图，已知，能直接用“”证明的条件是（   ） A． B．C． D． 4．如图，与相交于点P，，则利用“”证明时，还需添加的条件是（    ） A． B．C． D． 5．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6.如图，在中，，为上一点，，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.如图，是的中线，，，则 ． 8.如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 9.如图，在中，点是的中点，交于点，连，若的周长是，则的周长等于 ． 10.如图，已知，，．求证：． 11.如图所示，在三角形屋架中，是的中线，．求证：． ． 12.如图，已知，求证： 13．如图，点B，C，E在一条直线上，在和中，C是的中点，，．求证：． 14．如图，点B，E，C，F在直线l上（E，C之间不能直接测量），点A，D在l同侧，测得．求证：． 15．如图所示，在中，已知：，、是边的三等分点，且．求证：． 16.如图，，，，求证：． 17.如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    18.如图，点E，F在上，．求证：． 19.图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 20.如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． 说明：． 21．如图，点、在上，已知，，，求证：． 22．如图，已知，，．和全等吗？为什么？ 23.如图，C是的中点，，求证：． 24.已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 25.如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 26．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知：如图，点D是三角形边上一点． 求作：点E，使，．（找到满足条件的一个点E即可） 27．如图，已知，，延长至点D． (1)过点C作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲 全等三角形的判定1 核心要点 1. 判定方法1（SSS）： 2. 方法2（SAS）： 3.利用无刻度直尺和圆规作一个角等于已知角的理论依据是 考点梳理 【考点1】三边分别相等的两个三角形全等 例题1．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在的边，上分别取，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与，重合（即）．此时过直角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意：，，， ， ． 例题2.如图，，，和相交于点．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 【针对训练】 1.如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，利用证明，可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴， ∴是角平分线， 2.如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3.已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 【详解】证明：， ， . 在和中， ， ． 【考点2】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 例题1如图，在中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为12，求的面积． 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形中线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵在中，D是的中点 ∴， ∵， ， ∵， ． 【针对训练】 1如图，是的中点，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，掌握全都三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 2.如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 3.如图，点在线段上，，，．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质定理．熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键． 首先由得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【考点3】尺规作图 例题1.如图，是的角平分线． 尺规作图（保留作图痕迹）：过点A作，交于点； 【分析】本题主要考查了尺规作图之作一个角等于已知角、平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．根据同位角相等，两直线平行，作角相等即可得解； 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点，即为所求． 【针对训练】 1.如图所示，已知． 尺规作图：过作的平行线，使得，在直线的异侧； 【分析】以点B为圆心，为半径，画弧分别交于，于两点M和G，以点A为圆心，以为半径，画弧交于于点N，以点N为圆心，以长为半径画弧，交于一点K，连接并延长，点D在线段的左边，所以，即可作答． 【详解】解：平行线如图所示： 2．已知： 求做： 使 (画出图形并保留作图痕迹)． 【分析】本题主要考查了基本作图——作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的步骤； ①以点O为圆心，以任意长度为半径画弧，交于点E，交于点F；②画射线；③以点为圆心，以为半径画弧，交于点；④以点为圆心，以为半径画弧，与已知作的弧交点与点；⑤连接得射线，即可得出答案． 【详解】解：如图：即为所求角． 3.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法） (1)如图1，作图：已知线段a，b，作一条线段，使它等于 (2)如图2，已知， 且， 作，使； (3)如图3，以点B为顶点、射线为一边，作，使． 【分析】（1）作射线，在上依次截取，，使，则即为所求； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，再在的内部作，则即为所求； （3）由题意知，这样的有两个，分别根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，为所求， （2）解：如图，为所求， （3）解：如图，，为所求． 【综合提升，强化能力】 1.如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查三角形全等的判定．理解判定三角形全等的是解答关键． A．根据来判断两个三角形全等；B．两个三角形中，两边对应相等，一边的对应角对应相等，不能判定两个三角形全等；C．根据来判断两个三角形全等；D．根据来判断两个三角形全等． 【详解】解：A．在和中，，添加，利用得到，故此项不符合题意； B．在和中，，添加，，不能得到三角形全等，故此项符合题意； C．在和中，，添加，，利用得到，用得到两个三角形全等，故此项不符合题意； D．在和中，，添加，，得到三角形全等，故此项不符合题意． 2.如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 3.如图，已知，能直接用“”证明的条件是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 4．如图，与相交于点P，，则利用“”证明时，还需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 利用“”证明时，已知，，需添加． 【详解】添加时， 在和中， 5．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 6.如图，在中，，为上一点，，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 7.如图，是的中线，，，则 ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，证明即可求得答案． 【详解】∵是的中线， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 8.如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 9.如图，在中，点是的中点，交于点，连，若的周长是，则的周长等于 ． 分析】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据证明．先根据证明，进而利用全等三角形的性质和三角形周长解答即可． 【详解】解：点是的中点， ， 在与中， ， ， ， 的周长是，， 的周长 ， 10.如图，已知，，．求证：． 【分析】根据等式的性质，三角形全等的判定解答即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵ ∴，即 在和中 ∴． 11.如图所示，在三角形屋架中，是的中线，．求证：． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由是边上的中线，则，然后根据进行判定即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． 12.如图，已知，求证： 【分析】此题考查了全等三角形的判定．，，根据即可证明． 【详解】证明：∵，， 如图，，，且，，，四点共线，求证： 【分析】本题考查全等三角形的判定，先根据线段的和差可得，再运用SSS证明三角形全等即可．解题的关键是掌握证明一般三角形全等的方法有：、、、；证明直角三角形全等的方法有：、、、、． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 13．如图，点B，C，E在一条直线上，在和中，C是的中点，，．求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由线段中点的定义得到，再利用即可证明． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， 在和中， ∴． 14．如图，点B，E，C，F在直线l上（E，C之间不能直接测量），点A，D在l同侧，测得．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定．先证明，再根据即可证明． 【详解】证明：， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 15．如图所示，在中，已知：，、是边的三等分点，且．求证：． 【分析】本题考查了线段的等分点，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由、是边的三等分点可证得，进而利用全等三角形的判定方法可得结论． 【详解】证明：、是边的三等分点， ， 在和中， ， ． 16.如图，，，，求证：． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 由知，结合、，利用“”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 17.如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 18.如图，点E，F在上，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据平行线的性质得到，再证明，然后根据“”可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 19.图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 20.如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． 说明：． 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质．先证明，，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 21．如图，点、在上，已知，，，求证：． 【详解】由推出，再利用直接证明三角形全等即可．本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【分析】证明：， ， 即． 在和中， ， ． 22．如图，已知，，．和全等吗？为什么？ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， 理由如下： ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴． 23.如图，C是的中点，，求证：． 【分析】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．根据是的中点，结合，再利用证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ． 24.已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 25.如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果． 【详解】解：如图，． 26．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 已知：如图，点D是三角形边上一点． 求作：点E，使，．（找到满足条件的一个点E即可） 【分析】本题主要考查了平行线和线段的尺规作图，先过点E作，再以D为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求． 【详解】解；如图所示，点E即为所求； 先过点E作，再以D为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求． 27．如图，已知，，延长至点D． (1)过点C作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数． 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行线的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$