期末提分练案（复习 三角形的证明）课件 2023—-2024学年北师大版数学八年级下册

期末提分练案 复习1　三角形的证明 3　常考题型专练 专项　与等腰三角形性质有关的常考类型 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 2 3 4 习题链接 2 返回 证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC. ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠D，∴∠ABC＝2∠D. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∴∠C＝2∠D. 1. 如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D. 3 2. 已知△ABC是等边三角形． (1)如图①，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形； 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°， ∴△ADE是等边三角形． (2)如图②，△ADE是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，直接写出∠BEC的度数及线段AE，BE，CE之间的数量关系． 解：∠BEC＝60°，BE＝AE＋CE. 返回 5 3. (2)若∠ABC＝30°，CD＝3，点E是BC边的中点，则AC＋AE的最小值是________． 7 【点拨】 如图，延长CD到C′，使C′D＝CD＝3，连接AC′，C′E. ∵CD是AB边上的高， ∴BD所在直线是CC′的垂直平分线，∴AC′＝AC， ∴AC＋AE＝AC′＋AE≥C′E， ∴AC＋AE的最小值为C′E的长． ∵∠ABC＝30°，CD＝3，∴BC＝2CD＝6. ∵CC′＝CD＋C′D＝6，∴BC＝CC′. ∵点E是BC边的中点，∴CE＝3，∴CE＝CD. 返回 4. △ABC是等边三角形，动点P，Q以相同的速度，同时从点A，B出发，分别沿射线AB，BC运动． (1)如图①，连接AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA. ∵点P，Q同时出发且运动速度相同， ∴AP＝BQ. ∴△ABQ≌△CAP(SAS)． (2)如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动(不与端点重合)时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 解：∠QMC的大小不变．由(1)可知△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP. ∵∠QMC是△ACM的一个外角， ∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC. ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°， ∴∠QMC＝60°. 11 (3)如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，请直接判断∠QMC的大小是否变化． 解：∠QMC的大小不变． 返回 12 [2024佛山顺德区期中]如图，在△ABC中，CD是AB边上的高． (1)若∠ABC＝∠ACB＝15°，求证：CD＝AB； 证明：∵∠ABC＝∠ACB＝15°， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠ABC＋∠ACB＝30°， ∵CD是AB边上的高，∴CD＝AC， ∴CD＝AB. 3 在△BCD和△C′CE中， ∴△BCD≌△C′CE(SAS)，∴BD＝C′E. 在Rt△BCD中，由勾股定理， 得BD＝＝＝3， ∴C′E＝3，即AC＋AE的最小值为3. $$期末提分练案 复习1　三角形的证明 1　考点梳理与达标训练 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 C A B B D D C A 答 案 呈 现 13 14 15 16 习题链接 2 返回 C 1. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，连接AC，添加下列条件后仍不能判定△ABC与△ADC全等的是(　　) A．AB＝AD B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 一、选择题(每题4分，共32分) 达标训练 3 返回 2. [2024渭南期末]如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，BC⊥AC，要求BC为3 m，则AB的长为(　　) A 达标训练 返回 3. 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设(　　) A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b B 达标训练 返回 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　) A．28° B．59° C．60° D．62° B 达标训练 返回 5. 如图，上午8时，渔船从点A以25海里/时的速度向正西方向航行，上午10时到达点B.从点A测得灯塔C在南偏西30°方向上，距点A 50海里．则点B到灯塔C的距离是(　　) A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 D 达标训练 返回 6. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 达标训练 返回 7. [2024榆林期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，连接AD，S△ACD：S△ABD＝AC：AB，若∠B＝54°，则∠BAD的度数为(　　) A．20° B．16° C．18° D．36° C 达标训练 返回 8. 如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D处，且ED⊥BC.则∠EFD＝(　　) A．45° B．50° C．40° D．55° A 达标训练 返回 9. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，线段BC的垂直平分线分别交AC，BC于点P和点Q，则PA的长度为________． 二、填空题(每空4分，共16分) 达标训练 11 返回 10. 如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，连接AF，若∠FAC＝53°，则∠B的度数为________． 53° 达标训练 12 返回 11. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC于点E，交BC于点D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，连接BF，设∠C＝α，∠DBF＝β，则∠BAC的大小为________． 达标训练 13 返回 12. 在平面直角坐标系中，点A(0，3)，B(4，0)，点P在x轴正半轴上，若△ABP是等腰三角形，则点P的坐标是 ______________． 达标训练 14 返回 13. (8分)如图，已知△ABC，请用尺规在平面内确定一点O，使得点O到AC，BC两边的距离相等，且点O到A，B两点的距离也相等．(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，点O即为所作． 三、解答题(共52分) 达标训练 14. (12分)[2024榆林期中]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上一点，且AD＝BE，连接DE，CE，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC. 达标训练 返回 达标训练 15. (14分)如图，在等边三角形ABC中，点B，P，Q在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ.判断△APQ的形状，并说明理由． 达标训练 返回 达标训练 16. (18分)如图，已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上(不与点O重合)，且OA>OB，OP平分∠MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF＝OA，连接CF. (1)依题意补全图形； 解：如图即为补全的图形． 达标训练 (2)求证：CB＝CF； 达标训练 21 (3)用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明． 返回 达标训练 22 A．6 m B．3 m C．9 m D．9 m 90°－β　 (9，0)或 证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°. ∵∠A＝90°，∴∠B＝90°. ∵∠1＝∠2，∴DE＝EC. 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)． 解：△APQ是等边三角形．理由： ∵△ACB是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 在△ABP与△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(ASA)，∴AP＝AQ.∵∠BAP＝∠CAQ， ∴∠BAP＋∠PAC＝∠CAQ＋∠PAC，即∠PAQ＝∠BAC＝60°， ∴△PAQ是等边三角形． 证明：如图，连接CA，∵OP是∠MON的平分线， ∴∠AOC＝∠FOC，在△AOC和△FOC中， ∴△AOC≌△FOC(SAS)，∴CA＝CF. ∵直线CD是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB，∴CB＝CF. 解：AB＝CF.证明：∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO＝∠CFB， ∵CF＝CB，∴∠CBF＝∠CFB，∴∠CAO＝∠CBF. ∵∠CBF＋∠CBO＝180°， ∴∠CAO＋∠CBO＝180°，∴∠AOB＋∠ACB＝180°， ∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°， 又∵CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形， ∴易得AB＝CB，∴AB＝CF. $$期末提分练案 复习1　三角形的证明 2　易错专项训练 专项　与全等和等腰三角形有关的易错题型 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 5 2 6 3 7 4 习题链接 2 1. [2024抚州南城校级月考]如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？小马虎是这样分析的：因为AC＝AB，CD＝BE，∠CAD＝∠BAE，所以△ADC≌△AEB(SSA)．他的思路正确吗？ 如果正确，请说明理由；如果不正确， 请写出正确的解答过程． 3 返回 返回 2. 已知等腰三角形ABC的两边长a，b满足a2＋b2－4a－10b＋29＝0，则△ABC的周长是__________． 12 返回 3. 36°或90° 4. 已知△ABC中，∠B＝20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A＝___________________________． 100°，70°，40°或10° 【点拨】 ③当CD＝CA时，∠A＝∠ADC＝40°. 第二种情况：BC＝CD，∵∠B＝20°， ∴∠BDC＝∠B＝20°， ∴∠ADC＝180°－∠BDC＝160°， ∴当△ADC是等腰三角形时，有∠A＝∠ACD， ∵∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，∴∠A＝10°. 第三种情况：BC＝BD，则有∠BDC＝∠BCD， ∵∠B＝20°，∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°， ∴∠BCD＝∠BDC＝80°， ∴∠ADC＝180°－∠BDC＝100°， ∴当△ADC是等腰三角形时，有∠A＝∠ACD， ∵∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°， ∴∠A＝40°. 综上所述，∠A的度数为100°，70°，40°或10°. 返回 返回 5. 已知等腰三角形的周长为15 cm，一腰上的中线把周长分为两部分，这两部分的差为6 cm，则这个等腰三角形的腰长为________． 7 cm 6. 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数． 解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. 则∠ABC＝∠C，∠BDC＝90°. ①若高与底边的夹角为25°， 则高一定在△ABC的内部， 如图①所示．∵∠DBC＝25°， ∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°. ∴∠ABC＝∠C＝65°. ∴∠A＝180°－2×65°＝50°. ②若高与另一腰的夹角为25°，当高在△ABC的内部时，如图②所示．∵∠ABD＝25°， ∴∠A＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°. ∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°. 当高在△ABC的外部时，如图③所示． ∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°. ∴∠BAC＝180°－65°＝115°. ∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°. 故这个三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°. 返回 返回 7. 如图，点O在射线AB上，且∠AOC＝120°，OA＝ 10 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发，沿OC以1 cm/s的速度移动，若点P，Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是____________． 解：小马虎的思路不正确．正确的解答过程如下： 因为AB＝AC，D，E分别为AB，AC的中点， 所以AD＝AE. 在△ADC和△AEB中， 所以△ADC≌△AEB(SAS)． 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的，我们称这样的三角形为“半角三角形”．若等腰三角形ABC为“半角三角形”，则△ABC的顶角度数为________． 第一种情况：BD＝CD，∵∠B＝20°， ∴∠DCB＝∠B＝20°，∴∠ADC＝∠B＋∠DCB＝40°. ①当DA＝DC时，∠A＝∠ACD， ∵∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°， ∴∠A＝∠ACD＝×(180°－40°)＝70°； ②当DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝40°， ∴∠A＝180°－∠ADC－∠ACD＝100°； s或10 s $$