专题14 整式的乘法与因式分解重难点检测卷（培优卷） 2024—2025学年人教版八年级数学上册

第14章 整式的乘法与因式分解重难点检测卷（培优卷） 【人教版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·辽宁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24八年级·山东枣庄·期中）若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 3．（3分）（23-24八年级·四川成都·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（23-24八年级·福建福州·期末）若，则k的值为（    ） A．109 B．110 C．111 D．112 6．（3分）（23-24八年级·湖北荆门·期末）一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是”智慧数“的是（　　） A．987 B．988 C．30 D．32 7．（3分）（23-24八年级·安徽·期末）设，，则a、b的大小关系是(　　) A．a=b B．a＞b C．a＜b D．以上三种都不对 8．（3分）（23-24八年级·四川资阳·期末）已知a为任意实数，有多项式，，且，当多项式A中不含2次项时，a的值为（    ）． A．－1 B．0 C． D．1 9．（3分）（23-24八年级·辽宁丹东·期末）已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 10．（3分）（23-24八年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（     ） A．24 B．29 C．41 D．45 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·湖南永州·期末）计算的结果是 ． 12．（3分）（23-24八年级·山东菏泽·期末）若三角形的一边长为，该边上的高为，则此三角形的面积是 ． 13．（3分）（23-24八年级·全国·单元测试）满足，分解因式 ． 14．（3分）（23-24八年级·江苏南通·期末）已知，求 ． 15．（3分）（23-24八年级·福建三明·阶段练习）观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 16．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）若多项式可化为的形式，则单项式可以是 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·全国·期末）把下列多项式分解因式： (1) (2)． 18．（6分）（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值； 19．（6分）（23-24八年级·云南曲靖·期末）多项式． (1)化简多项式A． (2)若，求A 的值． 20．（8分）（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 21．（8分）（23-24八年级·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 22．（9分）（23-24八年级·全国·单元测试）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 23．（9分）（23-24八年级·陕西汉中·期末）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 24．（10分）（23-24八年级·江西南昌·期末）阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决.例：若，，试比较x，y的大小. 解：设，那么， ∵ ∴ 看完后，你学会这种方法了吗？不妨尝试一下，相信你能行！ 计算： 25．（10分）（23-24八年级·云南大理·期末）【阅读理解】： 若x满足：，求的值． 解：设，， 则，， 所以，． 【尝试应用】：请运用上面的方法求解下面的问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； 【问题解决】： （3）如图：已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，求长方形的周长．     2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 整式的乘法与因式分解重难点检测卷（培优卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·辽宁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查整式乘除运算，涉及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中计算错误，不符合题意； B、，选项中计算正确，符合题意； C、，选项中计算错误，不符合题意； D、，选项中计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）（23-24八年级·山东枣庄·期中）若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 3．（3分）（23-24八年级·四川成都·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、变形错误，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 4．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算计算即可求解，掌握同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5．（3分）（23-24八年级·福建福州·期末）若，则k的值为（    ） A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式得到即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 6．（3分）（23-24八年级·湖北荆门·期末）一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是”智慧数“的是（　　） A．987 B．988 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，解决的方法就是对分解的每种情况进行验证． 如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m，n，设，即智慧数 ，因为是非0的自然数，因而和n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否写成两个非0自然数的和与差． 【详解】解：A、； B、； C、，不能表示为两个非零自然数的平方差； D、． 故选C． 7．（3分）（23-24八年级·安徽·期末）设，，则a、b的大小关系是(　　) A．a=b B．a＞b C．a＜b D．以上三种都不对 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、积的乘方的逆用 【分析】先求出a除以b所得的商，再根据商与1的关系确定a与b的大小关系． 【详解】a÷b=÷=×===1； ∵a÷b=1； ∴a=b． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数的大小的比较，积的乘方，其中此题主要利用作商法比较大小，其中合理化简是正确解答本题的关键． 8．（3分）（23-24八年级·四川资阳·期末）已知a为任意实数，有多项式，，且，当多项式A中不含2次项时，a的值为（    ）． A．－1 B．0 C． D．1 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键． 9．（3分）（23-24八年级·辽宁丹东·期末）已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形三边关系，首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的值是取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， ， 的最大边的值可能是7、8、9、10．共4个． 故选A． 10．（3分）（23-24八年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（     ） A．24 B．29 C．41 D．45 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y，根据题意得，，两式相加可得，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积，代入计算即可． 【详解】解：设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y， 则，，， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积为， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积为， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·湖南永州·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】逆用积的乘方公式和同底数幂乘法公式解答即可． 本题考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（3分）（23-24八年级·山东菏泽·期末）若三角形的一边长为，该边上的高为，则此三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据三角形面积公式列式，再按照整式的乘法运算法则进行计算即可． 本题考查了三角形的面积公式和平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】此三角形的面积为， 故答案为：． 13．（3分）（23-24八年级·全国·单元测试）满足，分解因式 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，非负数的性质，先根据非负数的性质得到，再利用平方差和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（3分）（23-24八年级·江苏南通·期末）已知，求 ． 【答案】8 【知识点】幂的混合运算 【分析】根据幂的乘方可得，，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵， 即， ∴， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 15．（3分）（23-24八年级·福建三明·阶段练习）观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查多项式乘法的展开式中系数的规律问题，理解题目中各项的次数，系数之间的关系是解题的关键．观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8，9，10，11的等式右边各项的系数，可推出的展开式含项的系数． 【详解】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8，9，10，11的等式， 右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1； 1，11，55，165，330，462，330，165，55，11，1； ∴的展开式中含项的系数是， 故答案为：． 16．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）若多项式可化为的形式，则单项式可以是 ． 【答案】或或或 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可． 【详解】解：①当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为： ，即， ∴； ②当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为： ，即， ∴，解得：； ③当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为： ，即， ∴，解得：； 故答案为：或或或． 【点睛】此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式和分类讨论是解此题的关键． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·全国·期末）把下列多项式分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据平方差公式，可分解因式； （2）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公方式，可得答案． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 18．（6分）（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值； 【答案】（1），；（2）72 【知识点】整式的加减中的化简求值、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法， （1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再求出答案即可． （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值； 【详解】解：（1） ， 当时，原式． （2）∵，， ∴原式． 19．（6分）（23-24八年级·云南曲靖·期末）多项式． (1)化简多项式A． (2)若，求A 的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式——化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值： （1）先根据多项式乘以多项式的计数法则和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简即可得到答案； （2）利用完全平方公式得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ． 20．（8分）（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查单项式乘以多项式的应用，利用面积的计算列出代数式是解决问题的关键． （1）根据图形表示出绿地面积即可； （2）将的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题图可知，绿地面积 （2）当时，． 21．（8分）（23-24八年级·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 22．（9分）（23-24八年级·全国·单元测试）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、代入消元法 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出与的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 所以，① ② 由②得，代入①得， 所以 所以 所以 （2）解：当 时，由得 23．（9分）（23-24八年级·陕西汉中·期末）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（10分）（23-24八年级·江西南昌·期末）阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决.例：若，，试比较x，y的大小. 解：设，那么， ∵ ∴ 看完后，你学会这种方法了吗？不妨尝试一下，相信你能行！ 计算： 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了对题干运算方法的理解和整式的混合运算，正确掌握相关运算方法，即可解题． 【详解】解：设，则，， 原式 , 故答案为：． 25．（10分）（23-24八年级·云南大理·期末）【阅读理解】： 若x满足：，求的值． 解：设，， 则，， 所以，． 【尝试应用】：请运用上面的方法求解下面的问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； 【问题解决】： （3）如图：已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，求长方形的周长．     【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其变形应用，灵活运用完全平方公式及其变形式的是解决本题的关键； （1）设，，根据已知确定出，，所求即为，利用完全平方公式即可求解； （2）设，，根据已知确定出，，所求即为，利用完全平方公式即可求解； （3）用含的式子表示出与，设，根据长方形的面积是得到，且，确定长方形的周长关键是确定，结合完全平方公式变形式即可确定，进而得解. 【详解】解：（1）设，， 则， ， 所以 （2）设，， 则， ， 所以 （3），， ，， 长方形的面积为， ， 设，， 则， ， ， ， ， 长方形的周长 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$