专题02 全等三角形（7大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题02 全等三角形 一、题型01 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的性质推出，而，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点 ，，在同一直线上，，，，则 的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（21-22七年级下·江西景德镇·期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（    ） A．10° B．20° C．30° D．80° 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题． 4．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，，点在同一条直线上，且，，则的长为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 二、题型02 用SSS证明全等 5．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 6．（17-18八年级·辽宁大连·期末）如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：． 根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线． 故选：B． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点，在的边上．小龙同学现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交②中所画的弧于点，作射线，连接． 根据上述操作，不成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，    在和中， ∵， ∴， ∴． ∴， 故A、B、D都可得到，无法得到C． 故选：C． 8．（19-20八年级上·山东·单元测试）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有 对全等三角形.    【答案】3 【分析】已知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，利用SAS判定△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质可得AB=CD，AD=BC. 再利用SAS判定△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF.由此即可解答． 【详解】∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD， 又BD=DB， ∴△ABD≌△CDB， ∴AB=CD，AD=BC. 又∵BF=DE， ∴BE=DF， ∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∵AD=BC，∠ADB=∠CBD，BF＝DE， ∴△ADE≌△CBF. 综上，共有3对全等三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS及HL. 9．（21-22八年级上·四川眉山·期中）如图，已知点C，F在直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．首先根据可得，可利用证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 10．（23-24八年级上·云南红河·期中）已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据三边相等即可证明． 【详解】解：与全等 理由如下：在和中 ∵（公共边），， ∴ 11．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直接利用“”证明全等，再根据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 12．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 三、题型03 用SAS证明全等 13．（14-15七年级下·全国·课后作业）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A．150° B．180° C．210° D．225° 【答案】B 【分析】根据SAS可证得≌，可得出，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】解：由题意得：，，， ≌， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出≌．. 14．（16-17八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 15．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知：如图，点、在线段上，，，求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的证明，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键．首先证得，再根据即可证得． 【详解】证明：， ，即， 在与中， ， ． 16．（20-21八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据线段的和差得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 四、题型04 用ASA（AAS）证明全等 17．（22-23八年级上·河南漯河·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行逐项分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 18．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴ 又∵，， ∴，故①正确； ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵点F是的中点 ∴，故④正确； ∵ ∴，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 19．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，，且四点共线．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握运用证明三角形全等成为解题的关键． 先根据线段的和差可得，再运用证明三角形全等即可． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ． 20．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴． 21．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 22．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）根据非负性得出，的值，进而解答即可； （）过点作轴于，证明可得结论； （）证明可得为的中点，证明可得结论； 本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过点作轴于， ∵，，， ∴，，， ∵，轴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明: ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值． 23．（23-24八年级上·云南昆明·期末）线段、相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中 ， ， 五、题型05 用HL证明全等 24．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 25．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴ ()， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握直角三角形全等的判定方法是解决此题的关键． 26．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，用证明即可得到． 【详解】证明：， ， 在和中 ， ． ． 27．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB⊥CB，DC⊥CB， E、F 在 BC 上，AF=DE，BE=CF，求证：AB =DC． 【答案】见解析 【分析】由BE＝CF得BF＝CE，由AB⊥CB，DC⊥CB得到∠ABF＝∠DCE＝90°，然后根据“HL”可判断RtABF≌RtDCE，则AB＝DC即可． 【详解】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， 即BF＝CE， ∵AB⊥CB，DC⊥CB， ∴∠ABF＝∠DCE＝90°， ∵在RtABF和RtDCE中， ， ∴RtABF≌RtDCE（HL）， ∴AB＝DC． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等． 六、题型06 角平分线的性质和判定 28．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交于点D．若，则点D到的距离为（    ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查作图-基本作图，角平分线的性质定理；解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 由作图得平分，过D点作于H，根据角平分线的性质得到． 【详解】解：由作图得平分， 过D点作于H，如图， ∵平分，，， ∴． 点D到的距离为2． 故选：A． 29．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，平行线的性质，角平分线的判定，由角平分线的判定定理即可判断②；证明即可判断①；由平行线的性质得到，根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断③；由于只有，并不能得到，即可判断④. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平分，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故③错误； ∵， ∴， 由于只有，并不能得到， ∴不成立，故④错误， 故选：B．    30．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 31．（20-21八年级上·广东广州·阶段练习）点P在的平分线上，点P到边的距离等于3，点D是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，与，由角平分线的性质得，由点到直线的距离垂线段最短得出即可解答． 【详解】如图，过点作于，与，    ∵平分，点P到BA边的距离等于3， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质． 32．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 33．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：5． 34．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可； （2）如图所示，过点D作交于点F，根据角平分线的性质定理得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴； （2）如图所示，过点D作交于点F ∵平分，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 35．（17-18八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ， ， ． 七、题型07 尺规作图相关 36．（11-12八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答． 【详解】在和中， ， ， ， 故选D． 37．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点若，，则的面积是（    ）      A．60 B．30 C．22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图；作已知角的角平分线．也考查了角平分线的性质．利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到点D到的距离为5，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：过点D作于点H，    由作图可知，射线为的平分线， ， ， 的面积为 故选：B 38．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交 ，于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可知平分，则由角平分线的性质得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，已知中，是边上的高． (1)求作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，以及三角形内角和定理的应用． （1）利用基本作图作平分； （2）先利用三角形内角和计算出∠BAC=80°，再利用角平分线的定义得到，接着利用互余计算出，然后计算即可． 【详解】（1）如图，为所作； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴， ∴． 八、题型08 添加条件使三角形全等 40．（11-12七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，结合判定全等的方法添加条件即可．解题的关键是掌握：判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：A．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； B．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； C．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； D．添加，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 41．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点D在上，点E在上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 【详解】解：A、在和中， ， ，故本选项不符合题意； B、根据，和不能推出，故本选项符合题意； C、在和中， ， ，故本选项不符合题意； D、在和中， ， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 42．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图所示，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 【详解】解：A. ，利用定理可以判断，选项符合题意； B. ，不能判断，选项不符合题意； C. ，不能判断，选项不符合题意； D. ，不能判断，选项不符合题意； 故选A． 43．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，点C，B，E，F在一条直线上，于B，于E，，请你添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法添加条件． 【详解】解：，， ， ， 当添加时，， 当添加（或时，， 当添加时，， 当添加（或时，． 故答案为：（或或或或或）．答案不唯一 九、题型09旋转模型 44．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 十、题型10 垂直模型 45．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 十一、题型11 倍长中线模型 46．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 47．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 48．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 49．（23-24七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 试卷第48页，共48页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 一、题型01 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．10 2．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点 ，，在同一直线上，，，，则 的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（21-22七年级下·江西景德镇·期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（    ） A．10° B．20° C．30° D．80° 4．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，，点在同一条直线上，且，，则的长为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 二、题型02 用SSS证明全等 5．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 6．（17-18八年级·辽宁大连·期末）如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点，在的边上．小龙同学现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交②中所画的弧于点，作射线，连接． 根据上述操作，不成立的结论是（    ） A． B． C． D． 8．（19-20八年级上·山东·单元测试）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有 对全等三角形.    9．（21-22八年级上·四川眉山·期中）如图，已知点C，F在直线上，．求证：． 10．（23-24八年级上·云南红河·期中）已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 11．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，，求证． 12．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．    三、题型03 用SAS证明全等 13．（14-15七年级下·全国·课后作业）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A．150° B．180° C．210° D．225° 14．（16-17八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知，，，求证：． 15．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知：如图，点、在线段上，，，求证：    16．（20-21八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，，求证：．    四、题型04 用ASA（AAS）证明全等 17．（22-23八年级上·河南漯河·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 18．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 19．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，，且四点共线．求证：． 20．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 21．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：． 22．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 23．（23-24八年级上·云南昆明·期末）线段、相交于点，，，求证：． 五、题型05 用HL证明全等 24．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，于点，于点，．求证：． 27．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB⊥CB，DC⊥CB， E、F 在 BC 上，AF=DE，BE=CF，求证：AB =DC． 六、题型06 角平分线的性质和判定 28．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交于点D．若，则点D到的距离为（    ） A．2 B．4 C．3 D．5 29．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 31．（20-21八年级上·广东广州·阶段练习）点P在的平分线上，点P到边的距离等于3，点D是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 33．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 34．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 35．（17-18八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 七、题型07 尺规作图相关 36．（11-12八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点若，，则的面积是（    ）      A．60 B．30 C．22 D．13 38．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交 ，于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 39．（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，已知中，是边上的高． (1)求作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 八、题型08 添加条件使三角形全等 40．（11-12七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A． B． C． D． 41．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点D在上，点E在上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图所示，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，点C，B，E，F在一条直线上，于B，于E，，请你添加一个条件： ，使得． 九、题型09旋转模型 44．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 十、题型10 垂直模型 45．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 十一、题型11 倍长中线模型 46．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 47．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 48．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 49．（23-24七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 试卷第16页，共16页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$