精品解析：广东省深圳市宝安区沙井中学2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

沙井中学2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数、0、，中，无理数是（ ） A B. 0 C. D. 2. 下列各选项中，关于y轴对称的一对点是（　　） A 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列为勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 5，12，13 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是（ ）cm A. B. C. D. 12 6. 如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是( ) A. B. C. D. 8. 甲、乙两人以各自的交通工具、相同路线，前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②乙走了8km后遇到甲；③乙出发6分钟后追上甲；④甲走了28分钟时，甲乙相距3km．其中正确的是（　　） A. 只有① B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为__________． 10. 比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 11. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 12. 函数和的图象相交于点，则方程的解为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为_____． 三．解答题（共7小题） 14. 计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图，平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）在y轴上画出点P，使最小． 16. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 17. 兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系． （1）求哥哥步行的速度． （2）已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB=90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y=x+b经过点B，交y轴于点D． （1）求证；△AOC≌△CEB； （2）求△ABD的面积． 19. 刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30 【探索发现】 （1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点． （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： （3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 20. 项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路的长； （2）道路__________米； （3）任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沙井中学2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数、0、，中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：、0、是有理数， 是无理数， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2. 下列各选项中，关于y轴对称的一对点是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握点的对称特点是解决本题的关键．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等可得答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3. 下列为勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数，欲判断是否为勾股数，首先判断是否为正整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：观察可知，只有选项D的三个数均为正整数，且，是勾股数；其他选项中数都不是正整数，不是勾股数； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法法则及二次根式的性质逐一计算即可得答案． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是（ ）cm A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得． 【详解】解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面、右面得到长方形的两边为3+4=7cm和5cm，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74； （2）展开前面、上面得到长方形的两边为5+3=8cm和4cm，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80； （3）展开左面、上面得到长方形的两边为5+4=9cm和3cm，由勾股定理得AB2=（4+5）2+32=90； 所以最短路径长为cm， 故选B． 【点睛】此题是平面展开图--最短路径问题，主要考查了勾股定理的应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 6. 如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴． 先用勾股定理求出，再根据数轴上点与实数的对应关系，即可求出点C表示的数． 【详解】解：， ∴点C表示的数为， 故选：B． 7. 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正比例函数的性质可得，再根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而增大， ， 一次函数的随的增大而减小，与轴的交点位于轴正半轴， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 8. 甲、乙两人以各自的交通工具、相同路线，前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②乙走了8km后遇到甲；③乙出发6分钟后追上甲；④甲走了28分钟时，甲乙相距3km．其中正确的是（　　） A. 只有① B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答． 【详解】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确； ④根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷＝15（千米/时）， ∴甲走了28分钟时走了15×＝7千米， ∴甲乙相距3千米；故④正确； ③设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x＝×（18+x），解得x＝6，故③正确； ②乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6×＝6（km），故②错误； 所以正确的结论的是①③④， 故选D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，结合图象上点的坐标和行程问题的相等关系是解题关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用有序数对表示位置，根据战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为即可得出战士乙的位置． 【详解】解：每列8人，第二列从前面数第3个，表示为， 战士乙应表示为， 故答案为： 10. 比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较无理数大小，根据、，估计出、，比较大小即可得到答案，熟记、是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ∴， 故答案为：． 11. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 【答案】50 【解析】 【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边． ∵AB=5， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 12. 函数和的图象相交于点，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，方程的解为其交点的横坐标，进而可得结果． 【详解】解：由题意知的解为两直线交点的横坐标 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点与一次方程解的关系．解题的关键在于理解一次函数图象的交点与一次方程解的关系． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 以为边作等边三角形，连接，过点作于，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于， 点的坐标为， 点为的中点， 是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， 当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值， 的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 14. 计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式； （4）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）在y轴上画出点P，使最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据分割法即可求得的面积； （3）连接与y轴的交点为P，可使最小． 【小问1详解】 如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 的面积为：； 故答案为：6.5； 【小问3详解】 如图，连接与y轴的交点为P，P点即为所求． 【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 16. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）17.62米 （2）7米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； 小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 17. 兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系． （1）求哥哥步行的速度． （2）已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②能追上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以时间，即可解答； （2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可． 【小问1详解】 解：由图可得， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100米/分． 【小问2详解】 ①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴． ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整， 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． ∵妺妺的速度是160米/分． 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． 联立方程， 解得， ∴米，即追上时兄妺俩离家300米远． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB=90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y=x+b经过点B，交y轴于点D． （1）求证；△AOC≌△CEB； （2）求△ABD的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得AC=BC，∠ACB=90°，根据余角的性质，可得∠OAC=∠BCE，根据AAS可证； （2）根据全等三角形的性质，可得B点的坐标，根据待定系数法，可求得b的值，最后根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ACB=90°，AC=BC ∴∠ACO+∠BCE=90° BE⊥CE， ∴∠BCE+∠CBE=90° ∴∠ACO=∠CBE ∴△AOC≌△CEB （2）解：∵△AOC≌△CEB ∴BE=OC=2,CE=OA=4 ∴点B的坐标为（6，2） 又一次函数y=x+b经过点B（6，2） ∴2=6+b ∴b=-4 ∴点D的坐标为（0，-4） ∴|AD|=4+4=8 在△ABD中，AD边上高的长度就是B点纵坐标的绝对值. ∴S△ABD=×8×6=24 ∴△ABD的面积为24. 19. 刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30 【探索发现】 （1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点． （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： （3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】（1）见解析；（2）在同一条直线上，；（3）66厘米；（4） 【解析】 【分析】（1）根据题意描出各点，即可； （2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上，再利用待定系数法解答，即可求解； （3）把代入函数解析式，即可求解； （4）把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图， （2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上， 设这条直线所对应函数表达式为， 根据题意得：， 解得：， ∴这条直线所对应的函数表达式为； （3）当时，， ∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米； （4）当时，，解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午，， ∴当箭尺读数为96厘米时是． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 20. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路的长； （2）道路__________米； （3）任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 【答案】（1）米 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解； （2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解． （3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点； ②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴． ∴， 故道路的长为25米； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ 又∵ 在中， ∵ ∴，， ∵ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 ①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示： ②解：∵， ∴ ∴ ∵在上，即的垂直平分线上， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$