高二数学期末模拟卷（北师大版2019选择性必修第一册）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 2 3 8 C B C B C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2 12. 13.513 14.v6 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与的关系， 由题意知1= 1+2+3+4+5+6+7+8+9列=5， -2分 51800-5×120008200 ≈-0.97 相关系数 8470 24-可2- 7.7×1100 -6分 故可以用线性回归模型拟合y与的关系， -7分 (2)可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量.------9分 理由如下： ①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型 进行预 1 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 测： ---11 分 ②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持 不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的。… -----13 分 16.(15分) 【详解】(1)由题意，X的可能取值为8,9,10,11,12,13,14， -1分 则PX=8)=03x03=009 P(X=9)=2×0.3×0.2=0.12 PX=10)=2×0.3×0.4+0.2×0.2=0.28 P(X=11)=2×0.3×0.1+2×0.2×0.4=0.22 P(X=12)=2×0.2×0.1+0.4×0.4=0.2 PX=13)=2×0.4×0.1=0.08 P(X=14)=0.1×0.1=0.01 -4分 则X的分布列为： X 8 9 10 11 12 13 14 0.0 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 -6分 (2)记为当n=1 时购买零件所需费用，的可能取值为2000,2320,2640,2960,3280，--7分 则PX=20)=PX≤10)=0.09+0.12+0.28=049Py=2320)=PX=1n=02 PY=2640=PX=12)=0.2 2 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 PY=2960=PX=13)=0.08 PY=3280=P(X=14)=0.01 -9分 则E)=2000x0.49+2320x0.2+2640x0.2+2960×0.08+3280x0.01=228 -10分 记%为当n=11时购买零件所需费用，%的可能取值为2200,2520,2840,3160，----11分 则P3=200)=PX≤1=0.09+0.12+028+0.2=0.71.Py=2520)=PX=12)=02 Py2=2840=P(X=13)=0.08 PY,=3160)=P(X=14)=0.01 -13分 Ey2)=2200×0.71+2520×0.2+2840×0.08+3160×0.01=2324.8 -14分 显然E1<E() 所以应选择n=10 -15分 17.(15分) 【详解】(1)由题意得： 2c=25,4如=8，即=5，a=2,则=d2-2=2,-3分 =1 所以椭圆C的方程为：42 5分 :x=y+1 (2)由题意知：直线斜率不为，可设 -6分 O/E 3 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 x=y+1 由店+子消去x得：P2+2030 -7分 则4=4+12(+2到=162+24>0 -8分 2r 3 设PX,Qxy小，则y+⅓=+2,4=7+2， -9分 可得-=V+-4为= 42 12 2W4r2+6 +2+2 2+2, -11分 又因为4-20，则=1-(-2到=3 -12分 所以5m=E-⅓小2x26- 212+2 ，解得：1=士1，-14分 所以直线，的斜率k=!=1 -15分 18.(17分) AB,CD G.H 【详解】(1)设 PG.GH,PH 的中点分别为，连接 在△PCD中，由PC=PD,所以PH⊥CD 由CH=3,所以PH=VPC2-CH=45 -1分 因为GH⊥CD所以二面角p-CD-A的平面角为∠PG,∠PG=君 则PG=VPH+GH'-2PH.GHeos∠PHG=2N5 -2分 因为GHOPH=H,GH,PH 平面PGH,所以CD平面PGH 由PGc平面PGH,所以CD⊥PG,则AB⊥PG, -3分 所以PB=√BG+PG=V2 又P8+BC2=PC ,所以PBLBC 4分 4 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 又因 AB⊥BC,ABOPB=B,AB,PBC平面PAB 所以BC⊥平面PAB,因为BCC平面ABCD -5分 所以平面PAB⊥平面ABCD.- -6分 (2)因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB, PG⊥AB,PGC平面PAB, …7分 所以PG⊥平面ABCD,即四棱锥的高为PG, -8分 所以四棱锥p-ABCD的体积为/=写PGE方n=x6x6x25=245 3 9分 (3)以C为坐标原点， GB.GH,GP ,y,2 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则4-3,0,01，B3,0,0),C(36,0,D(-36,0,P0.0.25 -10分 i记GHn4c=0,则003,0,0F=0,-32W5. 连接OM,BD 设PW=APD0s元s) 11分 则PD=-3,6-25.Pm=P而--3,6a,-25, 0M=0m+Pw=-32,-3+62,25-23,BD=(-6,60 12分 因为平面PGM1CL平面MBCD,平面M1Cn平面 BCD=AC,BD⊥AC BDC平面ABCD,所以BDL平面MAC -13分 因为OMc平面MAC,所以BD⊥OM, 则BD.0N=-6×-3+6-3+6=0,解得2= 3 -14分 5 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 则网22 又=3,025， 所西=严m22 PB=3,0,-25,BC=(0,6,0. -15分 设平面PBC的法向量为m=(x少习】 m.PB=0,3x-25z=0, 则由mBc=0,得6y=0,取z=5,得m=20,V5 -16分 设直线AM与平面PBC所成的角为B, m·AM sin0 =cos(m,AM 2V210 AM 35· 2W210 所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为35 -17分 19.(17分) 【详解】()当=0时，4：y-3=0,4:x+2=0 时山，交点为 -2,3) ,此 -1分 当0时，由：-y+21+3=0 斜率为， 由1，：x+y+3+2=0,斜率为7心41，综上，11 2分 直线恒过(-2)，直线恒过2-》，若P为的交点，则PE1PF,设点代” 所以点P的轨迹是以EF为直径的圆， -3分 又因为当=-2，)=-3代入方程得到6=0不成立，所以点P的轨迹不包含点F 则惯心为F的中点C20,圆的半径为r--3,故p的轨迹方程为+2+y广=9+-》 2 4分 (2) M(1,0) 设Ax1,y1,Bx2,y2, 当斜率存在时，直线的方程为y=红+m,故 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 6=出上 (kr +m)(kxz+m)x+km(+x)+m 名-1为-】2-(x++12(x+x)+1xx2-(x++1’-5分 [y=kx+m 将直线方程与圆的方程进行联立(x+2)'+y2=9, 整理得：1+)r+(2m+4x+m2-5=0 --6分 1+2,5m-5 5+5=-4+2km 1+k2 -7分 将其带入人，中可得：6，=m-5-4m。-1 m2+2m+k22 化简得3m-6m-92=0 ∴.m=3k或m=-k, -8分 由于M与A,B不重合，则直线的方程 y=:+3k=k(x+3) -3.0 恒过定点()： 当直线的斜率不存在时， 汤A(七，，)，B-k=kkk三-2，则4=←=V 2 ,k= 2 -9分 故可得4-3,2W58-3-2W2,即则直线：x=-3,仍恒过定点-3,0， 综上可得，则直线恒过定点-30 -11分 (3) R(-1,0),Q(0,V2) 易知R、Q在该圆内， D叭-3 又由题意可知圆C上一点P1,0)满足PR=2,取D(7,0),则|PD=6,满足PR -12分 下面证明任意一点Ak小，都清足冷-3，即PDF3PR, 3PR=3Vx+l)2+y2=3Vx+1)2+9-(x+2y2=3N-2x+6 -13分 7 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 PDVx-7y2+y2=Vx-7)2+9-(x+2y2=-18x+54=3-2x+6 -14分 即3 PRHPDI所以3PR+IPOHPDI+-POLDOPDI+|POI -15分 1DQ=V0-7+(2-0=V51,即当且仅当D,P,Q三点共线，且P位于D,Q之间时，等号成立. 5 即PR+PQ的最小值为 -17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 3．某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 5．若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 6．为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 7．已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．样本数据的下四分位数是17 B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11 C．若随机变量，则 D．若随机变量，若，则 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 13．若的展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，则 . 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 16．（15分）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点，椭圆的左顶点为A，当面积为时，求直线l的斜率k. 18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为． (1)证明：平面平面． (2)求四棱锥的体积． (3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. (1)求点的轨迹方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； (3)当点在曲线上运动时，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册。 4．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 3．某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 5．若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 6．为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 7．已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．样本数据的下四分位数是17 B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11 C．若随机变量，则 D．若随机变量，若，则 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 13．若的展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，则 . 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 16．（15分）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点，椭圆的左顶点为A，当面积为时，求直线l的斜率k. 18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为． (1)证明：平面平面． (2)求四棱锥的体积． (3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. (1)求点的轨迹方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； (3)当点在曲线上运动时，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册。 4．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 2．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 3．某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 因为，，所以，即； 因为，所以， 所以； 因为，，所以，即，， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：C. 4．海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 【答案】B 【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有种； 再安排剩下四天的行程有，所以一共有种安排方法. 故选：B 5．若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以. 反之由能推出， 所以“”是“”的充分且必要条件. 故选：C 6．为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 【答案】A 【详解】解：由列联表中数据，计算， 且， 所以有的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”. 故选：A. 7．已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为，令，则，，    由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理， 得， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 故在中，由余弦定理， 得， 整理得，则. 故选：C. 8．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．样本数据的下四分位数是17 B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11 C．若随机变量，则 D．若随机变量，若，则 【答案】ABD 【详解】对于A.从小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由，所以下四分位数是17正确； 对于B，正确； 对于C，由二项分布可得：，错误； 对于D，由正态分布的对称性可得：，正确 故选：ABD 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 【答案】 【详解】由题意知，解得， 所以. 故答案为：. 13．若的展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，则 . 【答案】 【详解】解：设，则展开式中二项式系数和为, 所有项系数和为，所以. 故答案为： 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． (1)可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 【详解】（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系， 由题意知，----------------------------------------------------------------------2分 相关系数．---------------------------------6分 故可以用线性回归模型拟合与的关系．------------------------------------------------------------------------------7分 （2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量．-------------------9分 理由如下： ①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分 ②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的．-------------------------------------13分 16．（15分）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【详解】（1）由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14，----------------------------------1分 则， ， ， ， ， ， ，---------------------------------------------------------------------------------------------------------4分 则的分布列为： 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280，------7分 则，， ， ， ，------------------------------------------------------------------------------------9分 则.----------------------10分 记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160，--------------11分 则，， ， ，-------------------------------------------------------------------------------------13分 ，----------------------------------------14分 显然， 所以应选择.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分 17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点，椭圆的左顶点为A，当面积为时，求直线l的斜率k. 【详解】（1）由题意得：，即，则，------------------------3分 所以椭圆的方程为：.----------------------------------------------------------------------------------------5分 （2）由题意知：直线斜率不为，可设，------------------------------------------------------------6分 由消去x得：，-----------------------------------------------------------------7分 则，------------------------------------------------------------------------------------8分 设，则，，------------------------------------------------9分 可得，-------------------------------------11分 又因为，则，--------------------------------------------------------------------------12分 所以，解得：，-------------------------------------14分 所以直线的斜率.------------------------------------------------------------------------------------------------15分 18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为． (1)证明：平面平面． (2)求四棱锥的体积． (3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）设的中点分别为，连接． 在中，由，所以． 由，所以，-------------------------------------------------------------------------1分 因为，所以二面角的平面角为， 则．----------------------------------------------------------2分 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，则，--------------------------------------------------------3分 所以． 又，所以．----------------------------------------------------------------------------4分 又因为，平面， 所以平面，因为平面，---------------------------------------------------------------5分 所以平面平面．---------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）因为平面平面，平面平面， ，平面，----------------------------------------------------------------------------------------7分 所以平面，即四棱锥的高为，----------------------------------------------------------------8分 所以四棱锥的体积为．----------------------9分 （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，．---------------------------------------------------10分 记，则．连接． 设，---------------------------------------------------------------------------------------------------------11分 则， ．-----------------------------------------------------12分 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面．------------------------------------------------------------------------------------13分 因为平面，所以， 则，解得，--------------------------------------------------------------14分 则．又， 所以，．-------------------------------------------15分 设平面的法向量为， 则由得取，得．-------------------------------------------------16分 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为．-----------------------------------------------------------17分 19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. (1)求点的轨迹方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； (3)当点在曲线上运动时，求的最小值. 【详解】（1）当时，，此时，交点为----------------------------1分 当时，由，斜率为t， 由，斜率为，综上，.-----------------------------------------------------2分 直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以EF为直径的圆，--------------------------------------------------------------------------------3分 又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点. 则圆心为EF的中点，圆的半径为，故的轨迹方程为---------------------------------------------------------------------------4分 （2），设， 当斜率存在时，直线的方程为，故 ------------5分 将直线方程与圆的方程进行联立， 整理得：，----------------------------------------------------------------6分 ∴ ------------------------------------------------------------------------------7分 将其带入中可得：， 化简得， ∴或，---------------------------------------------------------------------------------------------------8分 由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）； 当直线的斜率不存在时， 设，则，------------------------------------------9分 故可得，即则直线，仍恒过定点， 综上可得，则直线恒过定点----------------------------------------------------------------------------------11分 （3），易知R、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足.---------------------12分 下面证明任意一点，都满足，即，--------------------------------------------------------13分 -------------------------------------14分 即,所以 ----------------------------------15分 ，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立. 即的最小值为----------------------------------------------------------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知空间向量  6,2,1a   ，  2, , 3b x   ，若  2a b a   ，则 x （ ） A．4 B．6 C． 23 4 D． 21 4 2．已知圆 2 21 : 4C x y  ，圆 2 2 2 : 4 4 4 0C x y x y     ，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A． 2 0x y   B． 2 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   3．某椭圆的两焦点坐标分别为 1( 5,0)F  ， 2 ( 5,0)F ， P是椭圆上一点，若 1 2PF PF ， 1 2 8PF PF  ，则该 椭圆的方程是（ ） A． 2 2 1 7 2 x y   B． 2 2 1 2 7 x y   C． 2 2 1 9 4 x y   D． 2 2 1 4 9 x y   4．海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小 组计划利用 5 月 1 日至 5 月 5 日共 5 天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿 地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园 5 个湿地公园，每天考察 1 个，其中对美舍河湿地公园的考 察安排在 5 月 1 日或 5 月 2 日，则不同的考察安排方法有（ ） A．24 种 B．48 种 C．98 种 D．120 种 5．若事件A ， B发生的概率分别为  P A ，  P B ，     0, 0P A P B  ，则“    P B A P B ”是 “    P A B P A ”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 6．为了检测某种新药的效果，现随机抽取 100 只小白鼠进行试验，得到如下2 2 列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（ ） 附：      2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       （其中n a b c d    ）. 临界值表：  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 7．已知双曲线 2 2 2 2 : 1 x y C a b   ，两焦点分别为 1F ， 2F ，过右焦点 2F 作直线 l交右支于A ， B点，且 2 5 3 AB AF   ，若 1 π 3 F AB  ，则双曲线C的离心率为（ ） A． 3 2 B． 5 3 C． 7 5 D．2 8．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1, 2,AB BC AB BC AA P    为线段 1 1AB 的中点，Q为线段 1C P上 一点，则 BCQ△ 面积的取值范围为（ ） A． 2, 6   B． 2, 5     C． 3, 5     D． 2, 5     试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（ ） A．样本数据20,19,17,16, 22, 24, 26的下四分位数是 17 B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为 10，平均值为 9，第二层的样本量为 20，平均 值为 12，则所抽样本的平均值为 11 C．若随机变量 1 5, 3 X B        ，则   82 243 P X   D．若随机变量    24, 0X N    ，若  2 0.8P x   ，则  6 0.2P x   10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学 问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎 样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流 m，n，其方程分别为2 0x y  ， 0y  ，将军的出 发点是点  3,1A ，军营所在位置为  6,3B ，则下列说法错误的是（ ） A．若将军先去河流 m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为  1,2 B．将军先去河流 n饮马，再返回军营的最短路程是 5 C．将军先去河流 m饮马，再去河流 n饮马，最后返回军营的最短路程是 85 D．将军先去河流 n饮马，再去河流 m饮马，最后返回军营的最短路程是2 13 11．已知椭圆 1C ： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a b  ）与双曲线 2C ： 2 2 2 2 1 x y m n   （ 0m  ， 0n  ）有公共焦点 1F ， 2F ， 1C 与 2C 在第一象限的交点为 P，且 1 2PF PF ，记 1C ， 2C 的离心率分别为 1e ， 2e ．下列结论正确的 是（ ） A．若 1 7 1PF   ， 2 7 1PF   ，则 2 2e  B．若 1 2 7 7 e  ，则 2 2e  C． 1 2e e 的最小值为 1 D．记 1 2F PF 的内心为 I ， 2C 的右顶点为E，则 IE x 轴 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．随机变量的分布列如下：  0 1 2 P 1 3 a b 若   1E   ，则  D   ． 13．若  92 x 的展开式中二项式系数和为 A，所有项系数和为 B，则 A B  . 14．过抛物线 2 4y x 上一动点 P作圆 2 2 2: ( 4) ( 0)C x y r r    的两条切线，切点分别为 ,A B，若 | | | |AB PC 的最小值是12，则 r  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国 2015 年至 2023 年氮氧化物排放量（单位： 万吨）的折线图，其中年份代码 1~9 分别对应年份 2015~2023． 已知 9 1 12000i i y   ，   9 2 1 1100i i y y    ，   9 2 1 7.7i i t t    ， 9 1 51800i i i t y   ． (1)可否用线性回归模型拟合 y 与 t的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型  138 2025ty    ，可否用此模型来预测 2024 年和 2034 年我国的氮氧化 物排放量？请说明理由． 附：相关系数     1 9 9 22 1 1 n i i i i i i i t y nty r t t y y           ． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 16．（15 分）某工厂打算购买 2 台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零 件作为备件，价格为每个 200 元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个 320 元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数 T的分布列为 T 4 5 6 7 P 0.3 0.2 0.4 0.1 X 表示 2 台设备使用期间需更换的零件个数，n代表购买 2 台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求 X 的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在 10n  和 11n  中，应选择哪一个? 17．（15 分）已知椭圆𝐶: + = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且 1 2 2 2FF ，动直线 l与 椭圆交于 P，Q两点：当直线 l过 2F 时， 1PQF△ 的周长为 8. (1)求椭圆 C的方程； (2)若直线 l过点  1,0E ，椭圆的左顶点为 A，当 APQ△ 面积为 10 时，求直线 l的斜率 k. 18．（17 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD为正方形， 6, 57AB PC PD   ，二面角 P CD A  的大小为 π 6 ． (1)证明：平面PAB 平面 ABCD． (2)求四棱锥P ABCD 的体积． (3)若点M 在线段PD上，且平面MAC 平面 ABCD，求直线 AM 与平面PBC 所成角的正弦值． 19．（17 分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠， 他研究发现：如果一个动点 P到两个定点的距离之比为常数 ( 0   且 1)  ，那么点 P的轨迹为圆，这 就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知 ( 1, 0), (0, 2 )R Q 直线 1 : 2 3 0l tx y t    ，直线 2 : 3 2 0l x ty t    ，点 P为 1l 和 2l 的交点. (1)求点 P的轨迹方程C； (2)点M 为曲线C与 x轴正半轴的交点，直线 l交曲线C于 A，B两点，M 与 A，B两点不重合，直线 MA、MB的斜率分别为 1 2k k、 ，且 1 2 1 2 k k   ，证明直线 l过定点，并求出该定点； (3)当点 P在曲线C上运动时，求 3 1 | | | | 2 2 PR PQ 的最小值. 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！