高二数学期末模拟卷01（人教A版2019选择性必修第一册+第二册第4章)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）。 4．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 【答案】C 【解析】过点和点的直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：C 2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】设该等差数列的公差为d，则， 则，. 故选：D 3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点， . 故选：D 4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设，可得：， 从而：， 结合题意可得：，整理可得：， 即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆. 故选：A. 5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（    ）是的一个方向向量． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】同理可得平面与的一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则， 故选：A. 6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以. 故选：B 7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为.由， 可得，因，解得. 则 . 故选：A. 8．如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ,则||= ，||=，， ∴． ．． 设平面OEB的一个法向量为， 由 取，得 又,∴F到平面OEB的距离, ∴四面体OEBF的体积. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 【答案】AB 【解析】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：，故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确； 焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误. 故选：AB. 10．已知数列满足，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的最小项为4 D．的前项和为 【答案】ABD 【解析】由， 因此是以为首项，公比为的等比数列，因此有 . A：因为，所以A正确； B：因为 ， 所以数列是等差数列，因此B正确； C：， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因为是正整数， 所以上述不等式等号不成立，即，所以C错误， D：因为，所以的前项和为，所以D正确； 故选：ABD 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】分别取的中点，连接，由正三柱性质可知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由，可得， 所以， 又，且； 所以. 故答案为： 14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为.    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）三个顶点的坐标分别是. (1)求外接圆的方程； (2)若圆与直线交于两点，求的弦长. 【解析】（1）设，（1分） ……（3分） ……（5分） 所以外接圆的方程为.……（6分） （2）圆心到直线的距离……（10分） 所以 ，……（12分） 得.……（13分） 16．（15分）如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）解法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的坐标系.    ，， 设面的法向量为，，令，则， 且平面， 平面； 解法二：如图，连接，    且，平行四边形中，平面平面， 同理，，则平面且，平面平面， 又为的中点，平面平面； 解法三：连接交交于点，连接，    为平面的中心是的中点，四边形是平行四边形， ，是的中点，是的中点， ，，四边形是平行四边形，， 平面平面平面. （2）解法一：设到面的距离为，. 解法二：设到面的距离为，， 由，得，解得. 17．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 【解析】（1）时，，有，……（3分） 又时，，有，……（5分） 所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．……（6分） （2）由（1）得数列的通项公式，……（7分） 设 则① ②……（10分） ①②得： ……（14分） .……（15分） 18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 【解析】（1）因为平面平面ABCD，所以，……（1分） 又，所以 ……（3分） 又平面PAD 所以平面PAD，……（4分） 又平面PCD，所以平面平面PCD.……（5分） （2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系 设，则， 则……（7分） 设， ，……（8分） 假设存在满足，因为等价于，……（9分） 解得，（1分）所以不存在……（10分） （3）因为，所以，    ， 设，其中，又，， 设平面PBC法向量，依题意，即 令则，所以，……（12分） 因为PD与平面PBC成角大小，所以 或，……（13分） 即……（15分） 又，此方程组无解……（16分） 综上可得.……（17分） 19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【解析】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，……（2分） 则，，……（3分） 因此，椭圆方程为，.……（4分）双曲线方程为.……（5分） （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，，……（6分） 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，……（7分） 因为，这两个等式作差可得，……（8分） 所以，，可得，……（9分） 所以，直线的方程为，即，……（10分） 检验：联立可得， 则，合乎题意，……（11分） 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为.……（12分） （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，……（15分） 所以，.……（17分） 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）。 4．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（     ） A． B． C． D． 4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（    ）是的一个方向向量． A． B． C． D． 6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 8．如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 10．已知数列满足，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的最小项为4 D．的前项和为 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）三个顶点的坐标分别是. (1)求外接圆的方程； (2)若圆与直线交于两点，求的弦长. 16．（15分）如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（     ） A． B． C． D． 4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（    ）是的一个方向向量． A． B． C． D． 6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 8．如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 10．已知数列满足，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的最小项为4 D．的前项和为 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）三个顶点的坐标分别是. (1)求外接圆的方程； (2)若圆与直线交于两点，求的弦长. 16．（15分）如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A A B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设，（1分） ……（3分） ……（5分） 所以外接圆的方程为.……（6分） （2）圆心到直线的距离……（10分） 所以 ，……（12分） 得.……（13分） 16．（15分） 【解析】（1）解法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的坐标系.    ，， 设面的法向量为，，令，则， 且平面， 平面；（7分） 解法二：如图，连接，    且，平行四边形中，平面平面， 同理，，则平面且，平面平面， 又为的中点，平面平面；（7分） 解法三：连接交交于点，连接，    为平面的中心是的中点，四边形是平行四边形， ，是的中点，是的中点， ，，四边形是平行四边形，， 平面平面平面.（7分） （2）解法一：设到面的距离为，.（15分） 解法二：设到面的距离为，， 由，得，解得.……（15分） 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）时，，有，……（3分） 又时，，有，……（5分） 所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．……（6分） （2）由（1）得数列的通项公式，……（7分） 设 则① ②……（10分） ①②得： ……（14分） .……（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为平面平面ABCD，所以，（1分） 又，所以 ……（3分） 又平面PAD 所以平面PAD，……（4分） 又平面PCD，所以平面平面PCD.……（5分） （2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系 设，则， 则……（7分） 设， ，……（8分） 假设存在满足，因为等价于，……（9分） 解得，（1分）所以不存在……（10分） （3）因为，所以，    ， 设，其中，又，， 设平面PBC法向量，依题意，即 令则，所以，……（12分） 因为PD与平面PBC成角大小，所以 或，……（13分） 即……（15分） 又，此方程组无解……（16分） 综上可得.……（17分） 19．（17分） 【答案】(1)，(2)(3) 【解析】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，……（2分） 则，，……（3分） 因此，椭圆方程为，.……（4分）双曲线方程为.……（5分） （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，，……（6分） 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，……（7分） 因为，这两个等式作差可得，……（8分） 所以，，可得，……（9分） 所以，直线的方程为，即，……（10分） 检验：联立可得， 则，合乎题意，……（11分） 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为.……（12分） （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，……（15分） 所以，.……（17分） 试卷第2页，共6页 试卷第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$