专题01 实数【八大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题01 实数 1 实数的分类 2 实数的相关概念 2.1 数轴 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 2.2 相反数 （1）相反数的概念 像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. （2）相反数的几何意义 (1)在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则的相反数是. (2)互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等. （3）相反数的性质 若，互为相反数，则. 2.3 绝对值 （1）绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作. （2） 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值是. 用字母表示为： 如果，则；如果，则；如果，则. 即. 2.4 倒数 乘积是的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 用字母表示为：，就是说和互为倒数，的倒数是，的倒数是. 3 科学记数法 把一个大于的数表示成的形式(其中，是正整数)，这种记数法是科学记数法. 4 近似数的精确位 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 5 实数的运算 5.1 实数运算次序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行. 5.2 实数的运算律 （1）加法交换律：； （2）加法结合律：; （3）乘法交换律：； （4）乘法结合律：; （5）乘法分配律：。 【题型1】 实数的分类 【典题1】 ，3，，，0.1010010001…，，0，，， (1)正数集合：{                                                 …} (2)无理数集合：{                                               …}； (3)分数集合：{                                                 …}； (4)非正整数集合：{                                             …}； 【典题2】下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．②的平方根是．③的立方根是．④是一个分数．⑤是一个无理数．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1.下列实数中，有（  ）个有理数． 、、、、、9、0.01001000100001… A．2 B．3 C．4 D．5 2.在实数、、、、中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 4.关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 【题型2】实数与数轴 【典题1】 在数轴上表示数：．按从小到大的顺序用“”连接起来． 【典题2】如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】 1.数a和数b在直线上的对应点的位置如下图，数b可以用下列算式（    ）表示． A． B． C． D． 2.数轴上的点M表示，将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N，那么点N表示的数是（   ） A．6 B． C． D． 3.如图，数轴上两点A，B所表示的数分别为，1．若点C在数轴上，且，则点C表示的数是（    ） A．8 B．5 C．5或 D．5或 4.数轴上点、、、对应的有理数都是整数，若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5.如图，半径为 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一圈，圆上一点由原点 到达点 ，这个点 表示的数为 ，它是 数． 6.如图，数轴上依次有三点，它们对应的数分别是，若 则点对应的数为 ． 【题型3】相反数和倒数的应用 【典题1】下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【典题2】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是绝对值等于2的负数，则的值为（    ） A．3 B．7 C．3或7 D．无法计算 【巩固练习】 1.下列几组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 3.若与互为相反数，则等于（    ） A． B． C． D． 4.已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 5.若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（    ） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【题型4】 化简绝对值 【典题1】已知三角形的三边长为，化简： ． 【典题2】已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，    (1)判断下列各式与0的大小： ①______；②______；③______； (2)化简式子：． 【巩固练习】 1.已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B．a C． D．b 3.若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 4.若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 5.，，三个数在数轴上的位置如图所示， 且 (1)比较，， 的大小； (用连接) (2)化简 【题型5】绝对值的非负性 【典题1】若，则的值是（    ） A． B．1 C．0 D．2 【巩固练习】 1.已知，则的值分别是（   ） A．1， B．1， C． D． 2.如果与互为相反数，那么代数式的值是（　　） A． B． C． D．2008 3.若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【题型6】实数的混合运算 【典题1】（1）；          （2）； （3）；     （4）． 【巩固练习】 1.下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．其算符号意义不变，按上述规定计算（    ） A． B． C． D． 3.计算 (1)(2) (3) (4) 4.计算 (1)；(2)． 【题型7】绝对值的几何意义 【典题1】阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【巩固练习】 1. 先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 2.数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．我们知道，表示数轴上所对应的点与原点之间的距离．这个结论可推广为：若、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为距离．例如，数轴上表示和的两点之间的距离为，表示和的两点之间的距离为．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ． (2)若表示一个有理数，数轴上表示和两点之间的距离可表示为 （用含的式子表示）． (3)若表示一个有理数，且，则 ． (4)若表示一个有理数，且，则 ． 3. 我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【题型8】数轴上的动点问题 【典题1】【阅读理解】 定义：点A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是有序点对的乐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1，则点C到点A的距离，点C到点B的距离，那么点C是有序点对的乐点；但点C不是有序点对的乐点．    【知识运用】 (1)判断，如图1，点D_____有序点对的乐点，点D_____有序点对的乐点（两空均填“是”或“不是”）； (2)如图2，x、y为数轴上两点，点x所表示的数为，点y所表示的数为6．数轴上的点S在线段上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对的乐点； (3)如图3，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为25，点F所表示的数为55．有一只电子蚂蚁P从表示的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①当点P在点E左边时，用含t的代数式表示点P和点E的距离 ，点P和点F的距离 ． ②当t为何值时，P是E、F两点所组成的有序点对的乐点？ 【巩固练习】 1.如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 2.已知数轴上、两个点表示的有理数分别为，，且． (1)求，的值； (2)从绝对值的定义来看，我们知道数轴上任意两点间的距离公式为；点在数轴上表示的数是，且与、两点的距离和为，求的值． (3)小蜗牛甲以个单位长度的速度从点出发向其左边个单位长度外的食物爬去，后位于点的小蜗牛乙收到它的信号，以个单位长度的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上点相遇，则点表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？ 3.如图，数轴上点，对应的实数分别为和8，数轴上一条线段从点出发（刚开始点与点重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），线段，设线段的运动时间为秒． (1)如图1，当时，求出点对应的有理数和点与点之间的距离； (2)如图2，当线段从点出发时，在数轴上的线段从点出发在点的右侧，刚开始点与点重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），，点为线段的中点，点为线段的中点． ①当点第一次到达原点之前，若点、点到数轴原点的距离恰好相等，求的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当，两点第一次在整点处重合时，请求出此时点对应的数． 4.如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数为最大的负整数，点在点的右边，．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，另有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上点表示的数是______；点表示的数是______． (2)当时，数轴上有一点到点的距离与到点的距离之和最小，求出这个最小值，并指出此时点所表示数的取值范围． (3)若定义一个点到点、其中一个点的距离是到另一个点距离的倍，则称点是的“嗨点”．已知点是线段的中点，点、分别从、两点同时出发，点向左运动到点立即返回，返回到点时停止，动点一直向右运动到点后停止运动．求当为何值时，点为的“嗨点”？ 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数 1 实数的分类 2 实数的相关概念 2.1 数轴 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 2.2 相反数 （1）相反数的概念 像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. （2）相反数的几何意义 (1)在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则的相反数是. (2)互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等. （3）相反数的性质 若，互为相反数，则. 2.3 绝对值 （1）绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作. （2） 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值是. 用字母表示为： 如果，则；如果，则；如果，则. 即. 2.4 倒数 乘积是的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 用字母表示为：，就是说和互为倒数，的倒数是，的倒数是. 3 科学记数法 把一个大于的数表示成的形式(其中，是正整数)，这种记数法是科学记数法. 4 近似数的精确位 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 5 实数的运算 5.1 实数运算次序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行. 5.2 实数的运算律 （1）加法交换律：； （2）加法结合律：; （3）乘法交换律：； （4）乘法结合律：; （5）乘法分配律：。 【题型1】 实数的分类 【典题1】 ，3，，，0.1010010001…，，0，，， (1)正数集合：{                                                 …} (2)无理数集合：{                                               …}； (3)分数集合：{                                                 …}； (4)非正整数集合：{                                             …}； 【答案】(1)3，0.1010010001…，， (2)0.1010010001…， (3)，，， (4)，0， 【分析】本题考查了实数的分类、化简多重符号、求绝对值，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． （1）根据正数的定义即可解答； （2）根据无理数的定义即可解答； （3）根据分数的定义即可解答； （4）根据非正整数的定义即可解答． 【详解】（1）解：，， 正数集合：{ 3，0.1010010001…，，} （2）解：无理数集合：{0.1010010001…，} （3）解：分数集合：{，，，} （4）解：非正整数集合：{，0，}． 【典题2】下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．②的平方根是．③的立方根是．④是一个分数．⑤是一个无理数．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了实数，利用平方根、立方根的意义，无理数的意义是解题关键．根据平方根、立方根的意义，无理数的意义，可得答案． 【详解】解：①负数没有个平方根，故①不符合题意； ②的平方根是，故②符合题意； ③的立方根是，故③不符合题意； ④是一个无理数，故④不符合题意； ⑤是一个无理数，故⑤符合题意； 故选：． 【巩固练习】 1.下列实数中，有（  ）个有理数． 、、、、、9、0.01001000100001… A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了实数的分类，把需要化简的数化简后，进行判断即可. 【详解】解：，，， 在、、、、、9、0.01001000100001…中，、、、9是有理数，共4个， 故选：C 2.在实数、、、、中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的概念是解本题的关键． 根据无理数的定义逐个进行分析即可解答． 【详解】由无理数的定义可知，这一组中无理数有：、、，共3个 有理数有：、，共2个． 故选：B． 3.下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，平方根，立方根的性质，根据绝对值的性质，平方根的性质，立方根的性质“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”，由此即可求解． 【详解】解：A、，是正数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、是正无理数，不是负数，不符合题意； D、是负数，符合题意； 故选：D ． 4.关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的定义有关知识，分数是有理数．利用有理数的定义进行判断即可． 【详解】是分数，是有理数，是无理数，不是分数， 故选：C． 【题型2】实数与数轴 【典题1】 在数轴上表示数：．按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和多重符号，先化简绝对值和多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：， 数轴表示如下所示： ∴． 【典题2】如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据题意，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由图可知：， ，①错误； ，④错误； ， ， ，③正确； ， ，②正确； 综上所述，正确的选项有②③，共两个， 故选：B． 【巩固练习】 1.数a和数b在直线上的对应点的位置如下图，数b可以用下列算式（    ）表示． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用数轴表示数，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，结合有理数的计算法则，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴数b可以用表示； 故选:D． 2.数轴上的点M表示，将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N，那么点N表示的数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右移动是加，计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由M为数轴上表示的点，将点M沿数轴向右平移5个单位，再向右平移3个单位到点N，此时点N所对应的数为， 因此点N所表示的数为6． ， 故选：A． 3.如图，数轴上两点A，B所表示的数分别为，1．若点C在数轴上，且，则点C表示的数是（    ） A．8 B．5 C．5或 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握用数轴上的点表示数． 利用数轴知识先确定线段的长，再求出线段的长，确定C点表示的数． 【详解】解：∵A，B所表示的数分别为，1， ∴， ∵点C在数轴上，且， ∴， ∴点C表示的数是，或． 故选：D． 4.数轴上点、、、对应的有理数都是整数，若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴及整式的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，由数轴可知：因为得进而求出从而可以选出答案． 【详解】解：由数轴上点B、点C对应有理数的位置，可知 ∵ 将代入上式得： ∴B点表示的数是，C点表示的数是， ∴数轴上原点应是D点， 故选：D． 5.如图，半径为 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一圈，圆上一点由原点 到达点 ，这个点 表示的数为 ，它是 数． 【答案】 无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的识别，根据题意，可得圆滚动一周即为圆的周长即为，结合含的最简式子即为无理数，由此即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， ∴圆的周长为， 当圆上一点由原点滚动一周到达点时，即滚动的距离是圆的周长， ∴点表示的数是，且是无理数， 故答案为：①；②无理数 ． 6.如图，数轴上依次有三点，它们对应的数分别是，若 则点对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，由可得，即得，再根据数轴上两点间距离公式可得，，即得，，再代入即可求解，掌握数轴上两点间距离计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵三点对应的数分别是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型3】相反数和倒数的应用 【典题1】下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 【典题2】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是绝对值等于2的负数，则的值为（    ） A．3 B．7 C．3或7 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据题意，，，，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，，，， ∴ ， 故选B． 【巩固练习】 1.下列几组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 【详解】解：A、，，不是相反数，故A不符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，是相反数，故C符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：C． 2.如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 3.若与互为相反数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，利用互为相反数两数之和为，列出方程，求出方程的解即可得到的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴，解得：， 故选：． 4.已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值最小的负整数为，得到，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 5.若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（    ） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、 ，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、 a，b（，）互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； C、 ，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、 a，b（，）互为相反数， 当为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【题型4】 化简绝对值 【典题1】已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【典题2】已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，    (1)判断下列各式与0的大小： ①______；②______；③______； (2)化简式子：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据图形可知：，，然后根据有理数的加、减、乘运算法则进行判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并即可得． 【详解】（1）解：由，，在数轴上对应点的位置可知： ，， ∴①，②，③， 故答案为：；；； （2） ． 【点睛】本题考查绝对值、相反数、数轴表示数以及整式的运算．理解绝对值、相反数的定义以及数轴表示数的方法是解题的关键． 【巩固练习】 1.已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和去绝对值，根据数轴分别判断，，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 2.实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B．a C． D．b 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由图可知：，， ． 故选：D 3.若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键．先利用完全平方公式，二次根式性质，绝对值的性质，结合进行化简，再合并同类项即可得解． 【详解】解： ， ，， ． 故选A． 4.若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值后，解方程即可. 本题考查了绝对值方程，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键. 【详解】解：， 故或， 解得或. 故选C. 5.，，三个数在数轴上的位置如图所示， 且 (1)比较，， 的大小； (用连接) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数轴，可知且，由此可知，，便可解决； （2）结合，，的大小关系分别判断出绝对值符号内各式的正负，然后去掉绝对值符号进行化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴上，，三个数的位置，可得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，，，， ∴． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值以及有理数比较大小，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【题型5】绝对值的非负性 【典题1】若，则的值是（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方等知识．熟练掌握绝对值的非负性，有理数的乘方是解题的关键． 由题意得，，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， 故选：B． 【巩固练习】 1.已知，则的值分别是（   ） A．1， B．1， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 故选：D． 2.如果与互为相反数，那么代数式的值是（　　） A． B． C． D．2008 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质、相反数、代数式求值等知识，根据相反数的定义以及非负数的性质确定的值是解题关键．根据非负数的性质可得，，结合“0的相反数为0”可得，，解得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， 又∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 3.若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：A． 【题型6】实数的混合运算 【典题1】（1）；          （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）12；（2）；（3）8；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算． （1）去括号后进行加减运算即可； （2）利用有理数加法运算律计算即可； （3）先计算乘方，然后进行乘除法运算，最后进行加减运算即可； （4）利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【巩固练习】 1.下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是熟练掌握先乘方，再乘除，最后算加减的运算顺序和各运算法则，是解决问题的关键．利用有理数混合运算的顺序和法则对各项进行运算，判断，即得． 【详解】A、 ，故A不符合题意； B、 ，故B不符合题意； C、 ，故C不符合题意； D、 ，故D符合题意． 故选：D． 2.定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．其算符号意义不变，按上述规定计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，理解新运算的计算规则，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A ． 3.计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4.计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】绝对值的几何意义 【典题1】阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【答案】(1)或 (2)有最大值是3 (3)小；2 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答； （2）根据绝对值的非负性解答； （3）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据材料所求为x与之间的距离， ①x在左侧的数轴上时，， 即，， ②x在右侧的数轴上时，， 即，，； （2）解：代数式有最大值， ∵， ∴， 即时， 此时：有最大值是3； （3）解：根据绝对值的定义可知：表示点x到1与3两点距离之和， ， ∴点x在1与3之间时， 有最小值，其值为2． 故答案为：小；2． 【巩固练习】 1. 先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值方程的解法，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据题中所给解法求解即可； （2）根据的最小值为，得出表示的点与表示的点的距离为，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 当，即时，原方程可化为：，解得：， 当，即时，原方程可化为：，解得． ∴原方程的解是：或． （2）解：的最小值为， 表示的点与表示的点的距离为， ，， 或． 2.数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．我们知道，表示数轴上所对应的点与原点之间的距离．这个结论可推广为：若、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为距离．例如，数轴上表示和的两点之间的距离为，表示和的两点之间的距离为．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ． (2)若表示一个有理数，数轴上表示和两点之间的距离可表示为 （用含的式子表示）． (3)若表示一个有理数，且，则 ． (4)若表示一个有理数，且，则 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据两点间距离的列式计算即可得解； （2）依据点与点两点之间的距离表示为，即可得到表示和的两点之间的距离； （3）当在表示数与的两点及两点之间时，利用绝对值性质化简即可； （4）根据“”的意义，对的取值范围进行分类讨论，进而求出答案． 【详解】（1）解：， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵表示一个有理数，且， ∴． 故答案为：． （4）解：“”所表示的意义为：数轴上表示数的点到表示数和数的距离之和， 因为表示数的点和表示数的点之间的距离为， 又因为， 所以表示数的点在表示数的点的左边或在表示数的点的右边． 当时， ， 解得 ． 当时， ， 解得， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了列代数式、绝对值、数轴及有理数，熟知数轴上两点之间距离的求解公式及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 3. 我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4 (2)3，0 (3)或 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 【题型8】数轴上的动点问题 【典题1】【阅读理解】 定义：点A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是有序点对的乐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1，则点C到点A的距离，点C到点B的距离，那么点C是有序点对的乐点；但点C不是有序点对的乐点．    【知识运用】 (1)判断，如图1，点D_____有序点对的乐点，点D_____有序点对的乐点（两空均填“是”或“不是”）； (2)如图2，x、y为数轴上两点，点x所表示的数为，点y所表示的数为6．数轴上的点S在线段上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对的乐点； (3)如图3，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为25，点F所表示的数为55．有一只电子蚂蚁P从表示的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①当点P在点E左边时，用含t的代数式表示点P和点E的距离 ，点P和点F的距离 ． ②当t为何值时，P是E、F两点所组成的有序点对的乐点？ 【答案】(1)是；不是 (2)S表示的数是3 (3)①，；②当t为1秒、9秒、11秒和19秒时，P是E、F两点的乐点 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，解一元一次方程，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）求出，根据定义即可判断； （2）设表示的数是，则，由定义建立方程，求解即可； （3）分类讨论，点在点的左侧，点在点之间，点在点右侧，分别表示出建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，， ∴点D是有序点对的乐点，点D不是有序点对的乐点， 故答案为：是，不是； （2）解：设表示的数是，， 由题意得，， 解得：， ∴点表示的数是3时符合题意； （3）解：①∵一开始蚂蚁在的位置时，， ∴当运动时间为秒时，， 故答案为：；； ②当点在点左侧时， 由题意得， 由①知， ∴， 解得， 当点在点和点之间时，，点与一开始的距离为 则设此时的，则， 由题意得或 ∴或 解得或， ∴或， 当点在点右侧时， 此时， 设此时的，则， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当t为1秒、9秒、11秒和19秒时，P是E、F两点的乐点． 【巩固练习】 1.如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)， (2)当点运动秒时，点与点相遇 【分析】（）根据两点之间的距离为个单位列式即可解答； （）设点运动秒时追上点，根据题意列出关于的方程即可解答； 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程等知识点，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，， ∴数轴上点表示的数是， 由题意得：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）设点运动秒时追上点， 根据题意得：， 解得：， 答：点运动秒时，点与点相遇． 2.已知数轴上、两个点表示的有理数分别为，，且． (1)求，的值； (2)从绝对值的定义来看，我们知道数轴上任意两点间的距离公式为；点在数轴上表示的数是，且与、两点的距离和为，求的值． (3)小蜗牛甲以个单位长度的速度从点出发向其左边个单位长度外的食物爬去，后位于点的小蜗牛乙收到它的信号，以个单位长度的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上点相遇，则点表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？ 【答案】(1)， (2)或 (3)点表示的有理数是，小蜗牛甲共用去7秒． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，几个非负数的和为0的性质等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）根据几个非负数的和为0的性质得到，，求出、的值； （2）分类讨论：点在点的左边时或点在点的右边，利用数轴上两点间的距离表示方法得到关于的方程，解方程求出的值即可； （3）设小蜗牛乙收到信号后经过秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得到，解方程得，点表示的有理数是，小蜗牛甲共用的时间为． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 解得，． （2）①当点在点的左边时， ， 解得； ②当点在点的右边时， ， 解得； 的值为或． （3）设小蜗牛乙收到信号后经过秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得： ， ， ， ． 答：点表示的有理数是，小蜗牛甲共用去7秒． 3.如图，数轴上点，对应的实数分别为和8，数轴上一条线段从点出发（刚开始点与点重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），线段，设线段的运动时间为秒． (1)如图1，当时，求出点对应的有理数和点与点之间的距离； (2)如图2，当线段从点出发时，在数轴上的线段从点出发在点的右侧，刚开始点与点重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），，点为线段的中点，点为线段的中点． ①当点第一次到达原点之前，若点、点到数轴原点的距离恰好相等，求的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当，两点第一次在整点处重合时，请求出此时点对应的数． 【答案】(1)点A对应的有理数为，点与点之间的距离为10 (2)①1或；②2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离． （1）根据起始点求出点和点对应的数，进而可得答案； （2）①分别用含的代数式表示出点和点，再分情况列方程即可； ②当时，点与点重合时不在整点处；当时，由题意得，解方程可得答案． 【详解】（1）解：点起始点在处，当时， ， 点对应的有理数为， ∵， ∴点起始点在处， 当时， ， 点对应的有理数为， 点与点之间的距离为； （2）解：①∵点起始点在处，点起始点在处，点P为中点， ∴点起始点在处， ∵运动时间为秒，线段的运动速度为1， ∴当点第一次到达原点之前， 此时点一直往右运动， 点对应的有理数为， ∵点D起始位置为8，， ∴点C起始位置为， ∵点Q为中点， ∴点起始点在6处， 当运动时间为秒时， ，线段速度为2， 此时点一直往左运动， 点对应的有理数为， 点、点到数轴原点的距离相等，， 当原点是中点时，， 解得， 当、重合时，， 解得． 综上，的值是1或； ②当时，由①可得点与点重合时不在整点处； 当时，由题意得， 解得， 此时，故点对应是有理数为． 4.如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数为最大的负整数，点在点的右边，．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，另有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上点表示的数是______；点表示的数是______． (2)当时，数轴上有一点到点的距离与到点的距离之和最小，求出这个最小值，并指出此时点所表示数的取值范围． (3)若定义一个点到点、其中一个点的距离是到另一个点距离的倍，则称点是的“嗨点”．已知点是线段的中点，点、分别从、两点同时出发，点向左运动到点立即返回，返回到点时停止，动点一直向右运动到点后停止运动．求当为何值时，点为的“嗨点”？ 【答案】(1)； (2)点到点的距离与到点的距离之和的最小值为，此时点所表示数的取值范围为 (3)当为或或或时，点为的“嗨点” 【分析】本题考查了数轴及一元一次方程的应用， （1）由点表示的数为最大的负整数及线段的长可得出点，表示的数，再结合点，的出发点、运动速度及运动方向，可找出当时点，表示的数； （2）分，及三种情况考虑，利用数轴上两点之间的距离公式可找出的长，利用一次函数的性质即可解决最值问题； （3）由点，表示的数结合点为线段的中点，可找出点表示的数，分，和三种情况，根据点为，的“嗨点”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 【详解】（1）解：点表示的数为最大的负整数，点在点的右边，， 点表示的数为，点表示的数为． 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， 当时，点表示的数为； 点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，运动时间为秒， 当时，点表示的数为． 故答案为：9；2． （2）当时，， ， 的长随着的增大而减小， 当时，的长取得最小值，最小值； 当时，； 当时，， ， 的长随着的增大而增大， 当时，的长取得最小值，最小值． 点到点的距离与到点的距离之和的最小值为7，此时点所表示数的取值范围为． （3）点表示的数为，点表示的数为11，点为线段的中点， 点表示的数为5． （秒，秒，（秒． 当时，点表示的数为，点表示的数为， 点为，的“嗨点”， 或， 即或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 点为，的“嗨点”， 或， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，点表示的数为，点表示的数为11， 点为，的“嗨点”， 或， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：当为或或或时，点为，的“嗨点”． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$