专题04 实数（考题猜想，易错必刷60题10种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

专题04 实数（易错必刷60题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 无理数的认识 · 求算术平方根的整数部分和小数部分 · 利用平方根解方程 · 算术平方根与立方根的综合应用 · 实数的性质与大小比较 · 求算术平方根 · 求平方根 · 求立方根 · 无理数的估算应用 · 实数的综合运算 · 一．无理数的认识（共6小题） 1．在数0，，，，（相邻两个1之间依次增加1个0），中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，（相邻两个1之间依次增加1个0），是无理数， 故选：A． 2．实数，，，，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无限不循环小数是无理数是解题关键． 根据无理数的概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴实数，，，，，中，无理数有，，共有2个， 故选：B． 3．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．3.14 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数；熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键：开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数．根据无理数的定义及类型逐项分析判断即可． 【详解】解：A.是无理数，故选项符合题意； B. 3.14是有理数，故选项不符合题意； C. 是有理数，故选项不符合题意； D. 0是有理数，故选项不符合题意； 故选：． 4．在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，， 在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数为，，（相邻两个之间的个数逐次加），共个， 故选：C． 5．在实数，，，中，是无理数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； ，是有理数； 有限小数，有理数； 是分数，有理数； 故答案为：． 6．请你写出一个无理数，使得，则为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：∵一个无理数，使得， ∴可以是、等， 故答案为：（答案不唯一）． 二．求算术平方根（共6小题） 7．下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【解析】略 8．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，算术平方根，熟练掌握有理数的乘方，算术平方根的运算法则是解题的关键． 利用有理数的乘方，算术平方根运算法则求解即可． 【详解】解：A．，故原选项计算正确，不符合题意； B．，故原选项计算正确，不符合题意； C．，故原选项错误，符合题意； D．，故原选项计算正确，不符合题意． 故选：C． 9．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义，得出这个自然数是，则它的下一个自然数是，再根据算术平方根根的定义，即可解答． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是， ∴这个自然数是， ∴它的下一个自然数是， ∴它的下一个自然数的算术平方根是， 故选：C． 10．计算 的结果为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 11．若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质得到，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故答案为： 12．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． (1)若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (2)若输出的值是，求的负整数值． 【答案】(1)1或2或3，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （2）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （2）解：若1次运算就是， ∴， ∴， ∴解得或， ∵x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴， ∴， ∴解得或， ∵， ∴不符合题意， 综上所述，． 三．求算术平方根的整数部分和小数部分（共6小题） 13．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 14．的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 【答案】1 【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴的整数部分为10，的整数部分为2， ∴a=   b= 代入得：           =12018 =1 【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法. 15．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 16．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 【答案】（1）2和3之间，见解析；（2）或 【分析】（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用算术平方根可求解； （2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由方格可得： 正方形ABCD的面积为：， ∴， ∵， ∴介于2和3之间； （2）由（1）得：，由点A与原点重合，则有： 当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为， 当点B在原点的右侧时，点B表示的数为； 综上所述：点B在数轴上所表示的数为或． 【点睛】本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键． 17．如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3） 【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长； （2）对进行估值，即可解答； （3）对，估值，分别求出a，b的值即可． 【详解】解：（1）阴影部分面积为：， ∵阴影部分是一个正方形， ∴边长为：， 故答案为：13，． （2）不大于的所有正整数为：1，2，3． （3）∵， ∴， ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法． 18．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 【答案】． 【详解】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可． 试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3， 即的整数部分是2， 所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2， 即x=4，y=-2，所以=． 四．求平方根（共6小题） 19．若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 20．若，则记．例如：，于是．若，则c的值为（   ） A．16 B． C．2或 D．16或 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以． 21．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 则的平方根为． 22．求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1），225的平方根是．用式子表示为； （2），的平方根是．用式子表示为； （3），的平方根是，用式子表示为； （4），的平方根是，用式子表示为 23．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 24．请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 五．利用平方根解方程（共6小题） 25．方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查利用平方根的定义解方程．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得或， 故选：C． 26．如果 ，那么x的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质，平方根的性质，直接开平方，即可得一个数的平方根． 【详解】解：，那么， 故选：C． 27．，则x值为 ；9是 的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）根据算术平方根的定义求9的平方即可． 【详解】解∶(1)原方程变形得 则 (2)9是所求数算术平方根 则所求数为 故答案为：第一空：，第二空： 28．求下列式子中的x：． 【答案】或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，先移项、化系数为1，再运用平方根知识进行求解即可． 【详解】解：移项，得， 系数化为1，得， ∵， ∴， 解得：或． 29．求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是平方根的性质； （1）先把原式变形为，再依据平方根的定义得到x的值即可； （2）先把原式变形为，再依据平方根的定义得到x的值即可． 【详解】（1）解： ∴解得； （2）解：， ∴， ∴， 解得． 30．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． （1）移项，利用平方根，解方程即可； （2）利用平方根，解方程即可； （2）整理，利用平方根，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得； （2）解：， 开方得， 即，， 解得或； （3）解：， 整理得， 开方得， 即，， 解得或． 六．求立方根（共6小题） 31．下列说法中，不正确的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．是49的平方根 C．是的立方根 D．是27的立方根 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根以及立方根，熟练掌握定义解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：5是25的算术平方根，正确，故选项A不符合题意； 是49的平方根，正确，故选项B不符合题意； 是的立方根，正确，故选项C不符合题意； 是27的立方根，错误，故选项D符合题意； 故选D． 32．当x取 时，有意义． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【详解】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数． 故答案为：任意实数． 33．的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了立方根和倒数．根据立方根的定义先化简，再求其倒数即可． 【详解】解：， 4的倒数是， 故答案为：． 34．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了利用平方根以及立方根的性质解方程． （1）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解； （2）直接利用立方根定义计算即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴． 35．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值，根据立方根、算术平方根、绝对值进行化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 36．已知的立方根是3，的平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根．熟练掌握这两个定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 根据立方根、平方根的定义求出、的值，再计算，最后求平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴． ∴． ∵的平方根是， ∴． ∴． ∴． 而16的平方根是， 所以的平方根是． 七．算术平方根与立方根的综合应用（共6小题） 37．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 38．立方根等于其本身的数是 ；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ． 【答案】 ， 1或0 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点．立方根等于其本身的数是，；设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a． 【详解】解：立方根等于其本身的数是，； 设这个数为a，由题意知， ， 解得：或0， 故答案为：，；1或0． 39．已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 40．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为9的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， ∴的平方根是． 41．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 42．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．首先根据平方根和算术平方根的性质得到，，然后代入求解立方根即可． 【详解】解：根据题意可知，的平方根是， 所以， 解得：，     因为的算术平方根是4， 所以，     解得：，     所以， 故的立方根为2． 八．无理数的估算应用（共6小题） 43．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 44．正方形的面积是27，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】D 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出正方形的边长是解题关键．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围． 【详解】解：∵一个正方形的面积为27， ∴正方形的边长为：， ， ， ∴它的边长在5和6之间． 故选：D． 45．如图，数轴上表示的点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大小是解题的关键． 先估算的大小，进一步估算的大小，再结合数轴表示数的方法即可得出答案． 【详解】解：， 即， ， 即， 观察数轴可得表示的点在线段上， 故选：B． 46．设的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需首先对 估算出大小，从而求出其整数部分a，再进一步表示出其小数部分b，然后将其代入所求的代数式求值． 【详解】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴-3＜ ＜-2． ∴2＜＜3． ∴a=2， ∴b=5--2=， ∴a-b=2-3+= 故选：B． 47．设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（　　） A．1 B．是一个有理数 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】首先确定的整数部分，然后即可确定小数部分b，由题意可知b=-2，把它代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ 的小数部分为b， ∴b=-2， 把b=-2代入式子（4+b）b中， 原式=（4+b）b=（4+-2）×（-2）=3． 故选D. 48．对于实数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{1，－2}＝－2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则a－2b的立方根为 ． 【答案】－2 【解析】略 九．实数的性质与大小比较（共6小题） 49．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴ ∴， 故选：C． 50．下列说法错误的是（   ） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．负数没有平方根 C．的相反数是 D．立方根是本身的数只有，0，1 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、相反数、立方根等知识，根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 正数的算术平方根不一定比它本身小，例如，故选项错误，符合题意； B. 负数没有平方根，故选项正确，不符合题意； C. 的相反数是，故选项正确，不符合题意；     D. 立方根是本身的数只有，0，1，故选项正确，不符合题意． 故选：A 51．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴推出，，再化简绝对值和计算算术平方根，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解；由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 52．的相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 ，绝对值与相反数的和为 ． 【答案】 / 0 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，倒数，绝对值和实数的运算，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是； 的绝对值是， 的绝对值和相反数的和为， 故答案为：；；；． 53．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2)． 【分析】先将无理数估算出来，再根据实数的大小比较的方法比较即可，本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 54．如图，数轴上存在由4个相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)该图形中阴影部分是一个正方形，则阴影部分面积______，边长______． (2)请在数轴上表示下列各数：4，，． (3)请比较以上三个数大小：__________________． 【答案】(1)2， (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小． （1）由题意知一个小正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：，边长为． （2）由，在数轴上表示出各实数即可． （3）根据数轴比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1， ∴阴影部分的面积为：，边长为． 故答案为：2，． （2）解：， 则在数轴上表示如下： （3）解：由（2）可知： 一十．实数的综合运算（共6小题） 55．以下4个等式：①；②；③；④．一定要满足实数，的值同时为零的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】按照实数的运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：①实数，的值至少有一个为零，则； ②实数，互为相反数，则； ③一定要满足实数，的值同时为零，则； ④一定要满足实数，的值同时为零，则． ∴一定要满足实数，的值同时为零的有2个， 故选：C 56．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 57．观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 58．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据有理数的乘方、零指数幂和算术平方根的运算法则计算，再加减运算即可． 【详解】解： ． 59．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)22 (3) (4)2 【分析】本题主要考查实数的运算及有理数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的乘法分配律可进行求解； （3）根据立方根、算术平方根及有理数的运算可进行求解； （4）根据实数的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． $$专题04 实数（易错必刷60题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 无理数的认识 · 求算术平方根的整数部分和小数部分 · 利用平方根解方程 · 算术平方根与立方根的综合应用 · 实数的性质与大小比较 · 求算术平方根 · 求平方根 · 求立方根 · 无理数的估算应用 · 实数的综合运算 · 一．无理数的认识（共6小题） 1．在数0，，，，（相邻两个1之间依次增加1个0），中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．实数，，，，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．3.14 C． D．0 4．在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．在实数，，，中，是无理数的是 ． 6．请你写出一个无理数，使得，则为 ． 二．求算术平方根（共6小题） 7．下列说法错误的是（   ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 8．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 9．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 10．计算 的结果为 ． 11．若，则的算术平方根是 ． 12．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． (1)若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (2)若输出的值是，求的负整数值． 三．求算术平方根的整数部分和小数部分（共6小题） 13．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 14．的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 15．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 16．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 17．如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 18．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 四．求平方根（共6小题） 19．若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 20．若，则记．例如：，于是．若，则c的值为（   ） A．16 B． C．2或 D．16或 21．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 22．求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 23．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 24．请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 五．利用平方根解方程（共6小题） 25．方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 26．如果 ，那么x的值为（   ） A．3 B． C． D． 27．，则x值为 ；9是 的算术平方根． 28．求下列式子中的x：． 29．求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 30．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 六．求立方根（共6小题） 31．下列说法中，不正确的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．是49的平方根 C．是的立方根 D．是27的立方根 32．当x取 时，有意义． 33．的倒数是 ． 34．解下列方程 (1)； (2)． 35．计算：． 36．已知的立方根是3，的平方根是，求的平方根． 七．算术平方根与立方根的综合应用（共6小题） 37．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 38．立方根等于其本身的数是 ；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ． 39．已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 40．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 41．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 42．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 八．无理数的估算应用（共6小题） 43．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 44．正方形的面积是27，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 45．如图，数轴上表示的点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 46．设的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ）． A． B． C． D． 47．设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（　　） A．1 B．是一个有理数 C．-3 D．3 48．对于实数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{1，－2}＝－2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则a－2b的立方根为 ． 九．实数的性质与大小比较（共6小题） 49．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 50．下列说法错误的是（   ） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．负数没有平方根 C．的相反数是 D．立方根是本身的数只有，0，1 51．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 52．的相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 ，绝对值与相反数的和为 ． 53．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 54．如图，数轴上存在由4个相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)该图形中阴影部分是一个正方形，则阴影部分面积______，边长______． (2)请在数轴上表示下列各数：4，，． (3)请比较以上三个数大小：__________________． 一十．实数的综合运算（共6小题） 55．以下4个等式：①；②；③；④．一定要满足实数，的值同时为零的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 56．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 57．观察下列等式： …… 则的值为 ． 58．计算：． 59．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 60．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． $$