专题04 实数（考点清单，13个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

清单04 实数（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】无理数 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【清单02】算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于，即x2=，那么这个正数x叫做的算术平方根，记为，读作“根号”， 叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根 (≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即≥0； （2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 【清单03】平方根 定义：如果一个数x的平方等于，即x2=，那么这个数x就叫做的平方根或二次方根.正数的两个平方根记作±，读作“正、负根号”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【清单04】开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【清单05】立方根 定义：如果一个数x的立方等于，即x3=，那么这个数x叫做的立方根或三次方根. 数的立方根记作“”，读作“三次根号”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【清单06】开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【清单07】实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 【考点题型一】无理数的判定 【例1】在实数0，，，，，中，无理数的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】在，7中，非负有理数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1-2】下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法正确的是（ ） A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数 C．两个无理数之和一定是无理数 D．两个无理数之积不一定是无理数 【变式1-4】请写出一个大于且小于的无理数 ． 【变式1-5】在实数0，，，，1.020020002，，中，无理数有 个． 【变式1-6】“一石激起千层浪”，一枚石子投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟渏．如图所示，当半径为的圆的面积为时，则半径是 （填写“有理数”或“无理数”）． 【变式1-7】以下各数中①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个“1”之间依次多1个“0”）；属于无理数的是 （填写序号） 【考点题型二】求一个数的算术平方根 【例2】64的算术平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【变式2-1】一个数的算术平方根是，这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列说法： ①的算术平方根是； ②3的算术平方根是9； ③是7的算术平方根； ④64的算术平方根是8．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】若，则的算术平方根为 ． 【变式2-4】计算： 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； 求下列各数的平方根： (3)； (4)14． 【变式2-5】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 【考点题型三】算术平方根的非负性 【例3】已知，则 ． 【变式3-1】若，其中均是整数，则 ． 【变式3-2】已知，满足，则 ． 【变式3-3】若关于的方程，求的值为 ． 【变式3-4】如图，在数轴上，点为原点，点对应的数分别为，且满足． (1)求点、点在数轴上表示的数； (2)动点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点从点出发，沿数轴以3个单位/秒的速度匀速向左运动，点为的中点，设点的运动时间为秒，请用的式子表示点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，点继续向左运动，点掉头向右运动，两点保持原来的速度不变．在点从起点出发后（即不包括起点）的整个运动过程中，仍设点为的中点，若，直接写出点在数轴上对应的数． 【变式3-5】已知a，b，c为的三边长，且b，c满足，a为方程的解，求的周长． 【考点题型四】求算术平方根的整数部分和小数部分 【例4】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式4-2】定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【变式4-3】已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________． (2)计算的值． (3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值． 【变式4-4】已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式4-5】如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【考点题型五】求一个数的平方根 【例5】下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 【变式5-1】下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 【变式5-3】“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】的平方根是 ， ． 【变式5-5】【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， (1)正方形的面积是________，正方形的边长是________； (2)正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； (3)如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； (4)在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 【考点题型六】求代数式的平方根 【例6】若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【变式6-1】已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式6-2】已知与 互为相反数，求的平方根． 【变式6-3】一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【变式6-4】（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【变式6-5】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 【考点题型七】利用平方根解方程 【例7】根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则 ． 【变式7-1】， 则 ． 【变式7-2】解方程： (1)； (2) 【变式7-3】解方程 (1)； (2)． 【变式7-4】已知一个正数x的两个不同的平方根分别为和，求这个正数x的值． 【变式7-5】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【考点题型八】立方根 【例8】已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【变式8-1】若，，则 ． 【变式8-2】已知，，则 ． 【变式8-3】实数与互为相反数，则a的算术平方根为 ． 【变式8-4】的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ． 【变式8-5】（1）求出下列各数： ①4的平方根； ②的立方根； ③的算术平方根； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并用“”连接． 【变式8-6】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【考点题型九】算术平方根与立方根的综合应用 【例9】已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【变式9-1】若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【变式9-2】已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【变式9-3】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【变式9-4】一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 【变式9-5】（1）计算：； （2）已知a的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 【考点题型十】无理数的估算 【例10】在，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．－2 D．0 【变式10-1】如图，数轴上表示的点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式10-2】对估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，已知数轴上的点A、B、C、D、E分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表示4﹣的点应落在线段（　　） A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DE上 【变式10-4】估算的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式10-5】规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定： （1） ；（2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 【变式10-6】已知a是的整数部分，b是的小数部分，则（－a）3＋（2＋b）2= ； 【考点题型十一】实数的分类与性质 【例11】下列说法错误的是（    ） A．零是整数 B．两个无理数的和可能是有理数 C．的倒数一定是 D．任何数不大于它的绝对值 【变式11-1】实数a，b的位置如图，化简： ． 【变式11-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 ． 【变式11-3】把下列各数的序号填入相应的括号里． ①        ②        ③        ④        ⑤0        ⑥ (1)整数：______． (2)分数：______． (3)无理数：______． 【变式11-4】把下列各数填在相应的括号内：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 分数：___________________________________________． 有理数：_________________________________________． 无理数：_________________________________________． 【变式11-5】材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【考点题型十二】实数的混合运算 【例12】计算： (1)； (2)． 【变式12-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式12-2】计算： (1)； (2)． 【变式12-3】初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【变式12-4】计算： (1)； (2) 【考点题型十三】实数运算的应用 【例13】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【变式13-1】如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【变式13-2】观察下列等式： …… 则的值为 ． 【变式13-3】定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【变式13-4】对于有理数a，b，定义一种新运算“※”规定． (1)计算______； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； 【变式13-5】根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【变式13-6】先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 实数（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】无理数 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【清单02】算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于，即x2=，那么这个正数x叫做的算术平方根，记为，读作“根号”， 叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根 (≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即≥0； （2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 【清单03】平方根 定义：如果一个数x的平方等于，即x2=，那么这个数x就叫做的平方根或二次方根.正数的两个平方根记作±，读作“正、负根号”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【清单04】开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【清单05】立方根 定义：如果一个数x的立方等于，即x3=，那么这个数x叫做的立方根或三次方根. 数的立方根记作“”，读作“三次根号”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【清单06】开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【清单07】实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 【考点题型一】无理数的判定 【例1】在实数0，，，，，中，无理数的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键； 【详解】0，是整数，属于有理数不是无理数， ，是无限不循环小数，是无理数， ，是正整数，属于有理数不是无理数， ，是分数，是有理数，不是无理数， ，是无限循环小数，是有理数不是无理数 ，是有限小数，是有理数，不是无理数， 故无理数共有1个， 故选：B． 【点睛】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【变式1-1】在，7中，非负有理数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键． 【详解】解：在，，0，，，，，7中，非负有理数有： ，0，，7共4个， 故选：C． 【点睛】无限不循环小数叫无理数，根据非负有理数的定义逐一判断即可． 【变式1-2】下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】、无限循环小数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、，是有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：． 【点睛】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【变式1-3】下列说法正确的是（ ） A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数 C．两个无理数之和一定是无理数 D．两个无理数之积不一定是无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义和运算是解题关键．根据无理数的定义和运算逐项判断即可得． 【详解】解：A、带根号的数不一定是无理数，如是有理数，此项错误； B、无限不循环小数都是无理数，此项错误； C、两个无理数的和不一定是无理数，如，此项错误； D、两个无理数之积不一定是无理数，如，此项正确； 故选：D． 【点睛】无限不循环小数叫无理数，根据非负有理数的定义逐一判断即可． 【变式1-4】请写出一个大于且小于的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了无理数的概念。 【变式1-5】在实数0，，，，1.020020002，，中，无理数有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【详解】解：，，，是无限不循环小数，它们是无理数，共4个； 0是整数，是分数，1.02002002是有限小数，它们不是无理数； 故答案为：4． 【点睛】解题的关键是明确初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【变式1-6】“一石激起千层浪”，一枚石子投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟渏．如图所示，当半径为的圆的面积为时，则半径是 （填写“有理数”或“无理数”）． 【答案】无理数 【分析】本题主要考查无理数的识别，根据圆的面积计算公式可求出圆的半径再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即半径是无理数， 故答案为：无理数． 【点睛】本题主要考查无理数的识别，根据圆的面积计算公式即可求出。 【变式1-7】以下各数中①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个“1”之间依次多1个“0”）；属于无理数的是 （填写序号） 【答案】②④⑦ 【分析】本题考查了无理数，即无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②与有关的数，③规律性的数，如（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数；根据定义即可判断得出答案． 【详解】解：， 无理数是无限不循环小数，所以属于无理数的是：（每两个“1”之间依次多1个“0”）， ． 故答案为：②④⑦． 【点睛】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【考点题型二】求一个数的算术平方根 【例2】64的算术平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．直接根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴．即64的算术平方根是8． 故选：A． 【点睛】此题解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．直接根据算术平方根的定义即可求出结果． 【变式2-1】一个数的算术平方根是，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故选：． 【点睛】本题掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【变式2-2】下列说法： ①的算术平方根是； ②3的算术平方根是9； ③是7的算术平方根； ④64的算术平方根是8．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：①没有算术平方根，原说法错误； ②3的算术平方根是，原说法错误； ③是7的算术平方根，原说法正确； ④64的算术平方根是8，原说法正确． ∴说法错误的有2个， 故选：B． 【点睛】此题解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．直接根据算术平方根的定义即可求出结果． 【变式2-3】若，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此得到，则；对于两个实数a、b若a为非负数且满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2， 故答案为：2． 【点睛】此题解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．直接根据算术平方根的定义即可求出结果． 【变式2-4】计算： 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； 求下列各数的平方根： (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题（1）（2）考查了一个正数的算术平方根； （3）（4）考查了一个正数的平方根． 【详解】（1）900的算术平方根是30， （2）1的算术平方根是1， （3）的平方根是， （4）14的平方根是． 【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，注意正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根；正数的算术平方根有一个，0的算术平方根是0． 【变式2-5】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题（1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a，再求出这个数即可； （2）先根据a的值，求出的值，再求出其算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：由（1）知， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． 【考点题型三】算术平方根的非负性 【例3】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题解题的关键是掌握非负数的性质．根据非负数的性质求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握非负数的性质．根据非负数的性质求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【变式3-1】若，其中均是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 【变式3-2】已知，满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题根据绝对值的性质和非负数的性质求出，的值，再代入进行计算求解． 【详解】解：由题意可知，， 所以， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，理解非负数的性质是解答关键． 【变式3-3】若关于的方程，求的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性，利用非负性可得，再整体代入求值即可． 【详解】由题可知， ， 得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，理解非负数的性质是解答关键． 【变式3-4】如图，在数轴上，点为原点，点对应的数分别为，且满足． (1)求点、点在数轴上表示的数； (2)动点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点从点出发，沿数轴以3个单位/秒的速度匀速向左运动，点为的中点，设点的运动时间为秒，请用的式子表示点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，点继续向左运动，点掉头向右运动，两点保持原来的速度不变．在点从起点出发后（即不包括起点）的整个运动过程中，仍设点为的中点，若，直接写出点在数轴上对应的数． 【答案】(1)点、点在数轴上表示的数为 (2) (3)或 【分析】本题（1）根据，可得； （2）根据题意和数轴上两点之间的距离是由较大的数减去较小的数，再根据中点坐标公式求解即可； （3）先求的长度，再分在点左侧和右侧两种情况求，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：根据，可得， 解得， 点、点在数轴上表示的数为 （2）解：点为，点为， 点为的中点， 点表示的数为； （3）解：当点与点相遇时，，解得， 当时，， ①当时，可得，解得，不符合题意 ②当时，可得，解得，符合题意，此时点为； 当时，点为，点为， 则，点表示的数为； ③当时，可得，不成立， ②当时，可得，解得，符合题意，此时点为， 综上，点在数轴上对应的数为或． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用以及数轴上点性质，关键是确定数轴上点所表示的数． 【变式3-5】已知a，b，c为的三边长，且b，c满足，a为方程的解，求的周长． 【答案】17 【分析】本题依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长； 【详解】解：， ，， 解得，． ∴a为方程的解， ∴或1． 当时，，不能构成三角形， ∴a=1不符合题意； 当时，，能构成三角形， 此时，的周长为． 综上，的周长为17． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键． 【考点题型四】求算术平方根的整数部分和小数部分 【例4】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 【点睛】本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【变式4-1】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【变式4-2】定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 【变式4-3】已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________． (2)计算的值． (3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值． 【答案】(1)，，5，0 (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值． （1）根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案； （2）将（1）中数值代入计算即可； （3）根据x是c的算术平方根的小数部分，，得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身， ，， ，，且与乘积小于0，， ，， 故答案为：，，5，0； （2）解：由（1）得： ； （3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【变式4-4】已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【变式4-5】如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【考点题型五】求一个数的平方根 【例5】下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【变式5-1】下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的，平方根的求解，根据算术平方根，平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【变式5-2】已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【变式5-3】“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【变式5-4】的平方根是 ， ． 【答案】 3或/或3 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和化简绝对值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据算术平方根、平方根和绝对值的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是3或； ． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【变式5-5】【数学中的活动设计】如图①，方格纸中每个小正方形的边长均为1．正方形的顶点都在格点上， (1)正方形的面积是________，正方形的边长是________； (2)正方形的边长是________数（填选“有理”或者“无理”）； (3)如果正方形的边长在有理数和之间，那么的平方根是________； (4)在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并直接写出你设计的正方形的边长． 【答案】(1)， (2)无理 (3) (4)见解析，（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义、无理数的估算及算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． （1）用大正方形面积减去四个三角形面积可得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义可得正方形的边长； （2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数， （3）利用“夹逼法”估算的取值范围，进而得出，再求的平方根即可求解； （4）利用网格画出正方形，同（1）的方法求出边长即可． 【详解】（1）解：如图，设大正方形为， ∴． ∵， ∴正方形的面积是17，边长是． 故答案为：， ． （2）∵是无理数， ∴正方形的边长是无理数， 故答案为：无理． （3）∵， ∴，则 ∴，的平方根是 的平方根是 故答案为：． （4）如图所示正方形即为所求， ∵小正方形的面积=， ∴小正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【考点题型六】求代数式的平方根 【例6】若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义． 【变式6-1】已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【变式6-2】已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式6-3】一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． 【变式6-4】（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根的应用，注意平方根有两个． 【变式6-5】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 【答案】(1)2 (2)和 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵AB＝2， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵|2c＋6|与互为相反数， ∴， ∵，， ∴2c＋6＝0，d−4＝0， ∴c＝−3，d＝4， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． 【考点题型七】利用平方根解方程 【例7】根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根的性质解方程，根据平方根的定义直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据平方根的性质解方程，根据平方根的定义直接计算即可． 【变式7-1】， 则 ． 【答案】或 【分析】本题根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 即或， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用平方根的性质解方程，熟知一个正数有两个平方根是正确解决本题的关键． 根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 【变式7-2】解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题（1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键。 【变式7-3】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2） 或 解得：或． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键。 【变式7-4】已知一个正数x的两个不同的平方根分别为和，求这个正数x的值． 【答案】9 【分析】本题根据一个正数的平方根有两个且互为相反数即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴这个正数为． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式7-5】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 【点睛】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． 【考点题型八】立方根 【例8】已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【答案】C 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动1位． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【变式8-1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【变式8-2】已知，，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，正确理解定义是解题的关键． 【变式8-3】实数与互为相反数，则a的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题先求出的立方根，再求出它的相反数，然后根据算术平方根的定义，即可求出答案． 【详解】解：，实数与互为相反数， ∴， ， ∴a的算术平方根为； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相反数，立方根，算术平方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键． 【变式8-4】的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，根据概念及计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ∴，，， ∴平方根是，算术平方根是，立方根是， 故答案为：①；②； ③． 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算． 【变式8-5】（1）求出下列各数： ①4的平方根； ②的立方根； ③的算术平方根； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并用“”连接． 【答案】（1）①  ②  ③3  （2）数轴见解析； 【分析】此题①根据平方根、求解即可； ②根据立方根、算术平方根的定义求解即可； ③根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，可将（1）中求出的每个数表示在数轴上；根据数轴上左边的数比右边的数小来解答． 【详解】解：（1）①4的平方根是； ②的立方根是； ③的算术平方根是3； （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下： 用“”连接为：． 【点睛】此题考查实数与数轴，实数大小的比较，平方根、立方根、算术平方根的定义．解题关键在于先画出了数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 【变式8-6】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题（1）将方程变形为，再利用平方根解方程即可得解； （2）将方程变形为，再利用立方根解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键． 【考点题型九】算术平方根与立方根的综合应用 【例9】已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 【点睛】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 【变式9-1】若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根。 【变式9-2】已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题（1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 【点睛】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根。 【变式9-3】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题（1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． 【变式9-4】一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 【答案】 【分析】本题根据题意求出，再求出，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查平方根，立方根的知识。 【变式9-5】（1）计算：； （2）已知a的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题（1）先计算算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，从而得出的值，再根据平方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）根据题意得：，， ，， ，， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【考点题型十】无理数的估算 【例10】在，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．－2 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，由可得它们的算术平方根的大小，根据两个负数比较，绝对值大的反而小，即得，进而得到答案． 【详解】， ， ， ， 在，，，中，最小的数是． 故选C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【变式10-1】如图，数轴上表示的点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题先估算的大小，进一步估算的大小，再结合数轴表示数的方法即可得出答案． 【详解】解：， 即， ， 即， 观察数轴可得表示的点在线段上， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大小是解题的关键． 【变式10-2】对估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 【变式10-3】如图，已知数轴上的点A、B、C、D、E分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表示4﹣的点应落在线段（　　） A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DE上 【答案】D 【分析】估算的近似值，再得出4﹣的近似值，进而得出答案． 【详解】解：∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴2＜4﹣＜3， 又点D在数轴上表示的数为2，点E在数轴上表示的数为3， ∴4﹣在线段DE上， 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的估算，估算4﹣的近似值是正确判断的前提． 【变式10-4】估算的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】由4＜＜5，再利用不等式的基本性质可得的范围，从而可得答案． 【详解】解：∵4＜＜5， ∴5＜＜6． 故选：D． 【点睛】本题考查的是无理数的估算，不等式的基本性质，掌握无理数的值的估算方法是解题的关键． 【变式10-5】规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定： （1） ；（2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题（1）估算，所以； （2）估算，所以； （3）因为，所以，即，进一步即可求得答案． 【详解】（1）， ， 故答案为：1． （2）， ， ， 故答案为：． （3）， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算和不等式的计算，对符号的理解是解答本题的关键． 【变式10-6】已知a是的整数部分，b是的小数部分，则（－a）3＋（2＋b）2= ； 【答案】0 【分析】根据4＜8＜9，开方求出的整数部分，表示出小数部分，确定出a与b的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】∵4＜8＜9，∴2＜＜3， ∴的整数部分a=2，小数部分b=-2， 则原式=-8+8=0． 故答案为0. 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分与小数部分． 【考点题型十一】实数的分类与性质 【例11】下列说法错误的是（    ） A．零是整数 B．两个无理数的和可能是有理数 C．的倒数一定是 D．任何数不大于它的绝对值 【答案】C 【分析】本题根据整数、无理数、有理数的概念、倒数、绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：、零是整数是正确的，故选项不符合题意； 、两个无理数的和，如，故两个无理数的和可能是有理数是正确的，故选项不符合题意； 、（除外）的倒数是，原说法是错误的，故选项符合题意； 、任何数不大于它的绝对值是正确的，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了无理数，有理数的概念，倒数，绝对值的意义等知识点，熟练掌握相关定义和概念是解题的关键． 【变式11-1】实数a，b的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根。 【变式11-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 ． 【答案】 / / 0 【分析】本题根据倒数、绝对值、平方根的性质，即可求解． 【详解】解：的相反数为， 的绝对值是， 0的平方根是0． 故答案为：，，0． 【点睛】本题主要考查了倒数、绝对值、平方根的性质． 【变式11-3】把下列各数的序号填入相应的括号里． ①        ②        ③        ④        ⑤0        ⑥ (1)整数：______． (2)分数：______． (3)无理数：______． 【答案】(1)③⑤ (2)②⑥ (3)①④ 【分析】本题（1）根据算术平方根及整数的概念可进行求解； （2）根据分数的概念可进行求解； （3）根据立方根及无理数的概念可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴整数的有，0； 故答案为③⑤； （2）分数有，； 故答案为②⑥； （3）无理数的有，； 故答案为①④． 【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键。 【变式11-4】把下列各数填在相应的括号内：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 分数：___________________________________________． 有理数：_________________________________________． 无理数：_________________________________________． 【答案】，，；，，，0，；，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 【分析】本题根据实数分类，逐个选出分数，有理数，无理数即可． 【详解】解：∵，， ∴分数：，，， 有理数：，，，0，， 无理数：，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）． 【点睛】本题考查了实数分类，理解分数，有理数，无理数的类概念是解题的关键． 【变式11-5】材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数。 【考点题型十二】实数的混合运算 【例12】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题（1）按照混合运算法则，先算乘除，后算加减即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算． 【变式12-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题（1）根据从左到右的顺序进行计算即可； （2）先化简绝对值、再求出算术平方根，最后进行加减法即可； （3）先计算乘方、把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 【点睛】此题考查了有理数的混合运算、实数的混合运算． 【变式12-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题（1）先计算立方根，平方根的值，在根据实数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，最后再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，掌握立方根，平方根，有理数乘方的计算，实数的混合运算法则是解题的关键． 【变式12-3】初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题（1）根据裂项计算即可； （2）根据裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可； （4）先去绝对值符号，再错位相减计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，根据题意找出运算规律是解题关键． 【变式12-4】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题（1）先根据有理数的乘法运算法则，结合乘法分配律计算，再加减运算求解即可； （2）先计算立方根、乘方、绝对值，再加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 【考点题型十三】实数运算的应用 【例13】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 【点睛】本题考查了程序设计与实数运算。 【变式13-1】如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题（1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． 【变式13-2】观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【变式13-3】定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题（1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程。 【变式13-4】对于有理数a，b，定义一种新运算“※”规定． (1)计算______； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用4与的和的绝对值加上4与的差的绝对值，求出结果即可； （2）根据a，b在数轴上的位置，可得，，据此化简即可； 【详解】（1）依据新运算的定义“※”得， （2）从a，b数轴位置得，，， ∴，， ∴ 【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，有理数的混合运算，注意运算顺序，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“※”的运算方法． 【变式13-5】根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． 【变式13-6】先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题（1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 【点睛】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$