5.探究点五 旋转背景下的全等、相似问题-【加速度中考】2025年陕西中考数学备考加速度课件

2025陕西中考·数学 《课堂讲练本》 《基础90分限时练》 《参考答案》 《大小几何压轴题探究》 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 大几何练综合 小几何练方法 1 2 如图①，在△ABC中，D，E分别为AB边和AC边上的点，∠ADE= ∠ABC，则△ADE∽△ABC，如图②③④，将△ADE绕点A逆时针旋转，则△ABD∽△ACE.特别地，当AB=AC或AD=AE时，△ABD≌△ACE. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 1. 旋转的性质 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，连接AC'，AA'，则∠CAC'=__________°.  第1题图 15 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 2. 利用全等解决 如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，B，D，E三点共线，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=________°.  第2题图 55 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 3. 全等＋勾股定理 [2024陕师大附中八模节选]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D为边BC上一点，以AD为边作等腰直角三角形ADE，其中∠DAE=90°，连接CE.若BD=2，AB=4，则△CDE的面积为______.  第3题图 6 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 4.利用边角关系或全等解决解题策略开放如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥CB的延长线，垂足为F，则DF=________.  第4题图 1 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】解法1：如答图①，延长DA，BC交于点G.∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠BAG=90°.∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=2，∠ABC=60°，∴AG=AB·tan∠ABC=2，∴DG=AD＋AG=2＋2.∵∠G=30°，DF⊥BC，∴DF=DG=1. 第4题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 解法2：如答图②，过点E分别作EG⊥DF于点G，作EH⊥CB延长线于点H，则∠BHE=∠DGE=90°.∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB= 2，∠ABC=60°.∵四边形ABED是正方形，∴BE=DE=2，∠ABE= ∠BED=90°，∴∠EBH=180°－∠ABC－∠ABE=30°，∴EH= BE·sin∠EBH=1，BH=BE·cos∠EBH=.∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF=∠EHF=∠GFH=90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG=EH=1，∠BEH＋∠BEG=∠GEH=90°.∵∠DEG＋∠BEG=90°，∴∠BEH=∠DEG.在△BEH和△DEG中， ∴△BEH≌△DEG(AAS)， ∴DG=BH=，∴DF=DG＋FG=1. 第4题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 5.相似＋垂线段最短如图，已知△ABC∽△ADE，∠BAC= ∠DAE= 90°，AB=3，AC=4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是______.  第5题图 2 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】∵△ABC∽△ADE，∴=.又∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD= ∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴==，∴△BAD∽△CAE，∴∠B= ∠ACE.∵∠BAC=90°，∴∠B＋∠ACB=90°，∴∠ACB＋∠ACE= 90°，∴∠DCE=90°.∵P为线段DE的中点，∴DP=PE，∴CP=DE. ∵△ABC∽△ADE，∴当AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小.∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，∴BC==5.由“垂线段最短”可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD= =.∵===，∴DE=AD=4，∴CP的最小值为×4=2. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 6.相似的性质如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F.如果AB=3，BC=5，那么DF的长是____.  第6题图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ADC=90°，AB=CD=3，BC=AD=5，AB∥CD，∴AC==.∵S△ADC=AD·CD =AC·DE，∴DE==.∵DE⊥AC，∴CE= =.∴AE=AC－CE=.∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCA.∵∠DCA＋∠CDE=∠CDE＋∠ADE=90°，∴∠DCA=∠ADE，∴∠ADE=∠BAE. ∵BE⊥FE，DE⊥AC，∴∠FEA＋∠AEB=∠FEA＋∠DEF=90°. ∴∠AEB=∠DEF.∴△DEF∽△AEB.∴==，∴DF=AB=. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 7.相似的性质如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，D是线段AB上一动点，作△CDE∽△CAB，连接BE.若△BCE是等腰三角形，则∠CDB=__________________.  第7题图 64°或106° 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】∵△CDE∽△CAB，∴=，∠DCE=∠ACB，∠CED= ∠CBA，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∠EBC=∠A=32°.∵∠ACB=90°，∴∠ABE=∠CBA＋∠CBE=∠CBA＋∠A=90°∴∠CBA=58°，∴∠CED=58°.当CE=BE时，∠ECB=∠CBE= 32°，∴∠BEC=180°－∠ECB－∠CBE=116°，∴∠ADC=∠BEC= 116°，∴∠CDB=180°－116°=64°.当BC=BE时，∠BCE=∠BEC=× (180°－32°)=74°，∴∠ADC=∠BEC=74°，∴∠CDB=180°－74°= 106°.当BC=CE时，∠CEB＞∠CED=∠CBA=58°，∠CBE=∠A=32°，∴∠CEB＞∠CBE，∴BC≠CE.综上所述，∠CDB=64°或106°. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 8.构造全等＋点圆最值如图，AB⊥BC，AB=BC=4，以AB为直径作半圆O，D是半圆O上一个动点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AC，AE，则AE的最小值是__________.  第8题图 22 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】如答图，以AC为直角边构造等腰直角三角形ACM，连接OM，DM，AM，DO.∵AB=BC=4，AB⊥BC，∴AC=AB=4，∴AM=AC =8.∵∠MCA=∠DCE=90°，∴∠ACM－∠ACD=∠DCE－∠ACD，∴∠MCD=∠ACE.又∵CM=CA，CD=CE，∴△MCD≌△ACE(SAS)，∴MD=AE，∠MAO=∠CAB＋∠MAC=90°.∵DM≥MO－OD，∴当M，D，O三点共线时，DM最小，即AE最小. ∵OM==2， ∴AE=DM=MO－OD=22. 第8题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 9.垂线段最短如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，=，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______.  第9题图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】如答图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG. ∵==，∠ABC=∠EBF，∴△ABC∽△EBF， ∴∠CAB=∠FEB.∵∠APB=∠EGB =90°， ∴△ABP∽△EBG，∴====， ∠ABP=∠EBG，∴∠ABE=∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BAE=∠BPG，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变，∴点G的运动轨迹为一条线段，∴当CG⊥PG时，CG最小.设此时AE=x. ∵==，∴PG=x.∵CG⊥PG，∠BPC=90°，∴∠PCG＋∠CPG= 第9题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 ∠BPG＋∠CPG，∴∠PCG=∠BPG= ∠BAC，∴=.又∵PG=x，解得CP=x.∵BP⊥AC，∴∠BPC=∠ABC=90°.∵∠PCB=∠BCA，∴∠CBP=∠CAB，∴CP=BC·sin∠CBP=BC·sin∠BAC=，∴x=，∴AE=.∵AC==10，∴CE=AC－AE=. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 10.中位线＋勾股定理解题策略开放[2024交大附中一模]如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在CB的延长线上，当BE=2时，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CD于点F，连接EF，H是EF的中点，连接BH，则BH=______.  第10题图 2 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 【解析】解法1：如答图，设EF交AB于点G，过点H作HK⊥BC于点K，则HK∥CF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠BAD= ∠ABC=90°，∴∠ABE=∠ADF=90°.∵AE⊥AF，∴∠EAF=∠BAD= 90°，∴∠BAE＋∠BAF=∠DAF＋∠BAF，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴AE=AF，BE=DF.∵AB=6，BE=2，∴AE==2=AF，∴EF==4.∵H是EF的中点，∴EH=EF=2.∵CD=6，DF=BE=2，∴CF=CD－DF=4.∵H是EF的中点，HK∥CF，∴HK是△ECF的中位线，∴HK=CF=2，∴EK==4，∴BK=EK－BE=2，∴BH==2. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 解法2：分别以BA，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，表示出点E，点B的坐标，同解法1求得BE=DF，进而得到点F的坐标，进一步利用中点坐标公式得到点H的坐标，最后利用两点间距离公式求得BH的长. 第10题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 11.全等的性质旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题. (1)【尝试解决】如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是BC上的一点，BM=1 cm，CM=2 cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM=______cm；  第11题图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 (2)【类比探究】如图②，在四边形ABCD中，AB=AD=a，CB=CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，P，Q分别是AB，AD上的点，且∠PCB＋∠QCD=∠PCQ，求△APQ的周长(结果用含a的代数式表示)； (3)【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD，AD=CD，∠ADC=60°，∠ABC=75°，AB=2，BC=2，直接写出四边形ABCD的面积. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 解：(1) (2)如答图①，延长AB到点E，使BE=DQ，连接CE. ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠CBE=∠CDQ=90°. 在△CDQ和△CBE中， ∴△CDQ≌△CBE(SAS)， ∴∠DCQ=∠BCE，CQ=CE. 第11题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 ∵∠PCB＋∠QCD=∠PCQ， ∴∠PCB＋∠BCE=∠PCQ=∠PCE. 在△QCP和△ECP中， ∴△QCP≌△ECP(SAS)，∴PQ=PE， ∴△APQ的周长为AQ＋PQ＋AP=AQ＋PE＋AP=AQ＋BE＋PB＋AP=AQ＋DQ＋AB=AD＋AB=2AB=2a. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 (3)如答图②，连接BD. 由于AD=CD，可将△BCD绕点D按顺时针方向旋转60°，得到△B'AD. 连接BB'，延长BA，作B'E⊥BA交BA的延长线于点E. 由旋转得△BCD≌△B'AD， ∴BD=B'D，∠BDB'=60°，∠CBD=∠AB'D， ∴S四边形ABCD=S四边形BDB'A，△BDB'是等边三角形. ∵∠ABC=75°，∠ADC=60°， ∴∠BAB'=∠BDB'＋∠AB'D＋∠ABD=135°， ∴∠B'AE=45°. 第11题答图 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 ∵B'A=BC=2，∴B'E=AE=， ∴BE=AB＋AE=3， ∴BB'==2. 设等边三角形BB'D的高为h，则h=BB'·sin 60°=， ∴S四边形ABCD=S四边形BDB'A=S△BDB'－S△ABB'=BB'·hAB·B'E=52. 探究点五　旋转背景下的全等、相似问题 2025陕西中考 数学 $$