7.第14节 二次函数与几何综合-【加速度中考】2025年陕西中考数学备考加速度课件

2025陕西中考·数学 《课堂讲练本》 《基础90分限时练》 《参考答案》 《大小几何压轴题探究》 第三章　函数 第14节　二次函数与几何综合 1 真题模拟明考向 [6年3次，8~10分] 类型1　线段问题 预备知识： i.连接两点的所有线中，________最短；  ii.轴对称图形中，对应点到对称轴上任意点的距离__________ 线段 相等 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 问题1：求线段长 情况 方法 BC∥x轴 BC=____________ AB∥y轴 AB=____________ AC不与坐标轴平行 AC=______________________ |xB－xC| |yA－yB|   第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 问题2：求线段(和)最值 情况 方法 一条线段 利用两点间距离公式、锐角三角函数或相似比表示出线段，然后利用函数增减性求最值 两条线段 利用对称转化线段位置，然后用“两点之间，线段最短”解决(如图，求EP＋DP的最小值可转化为求EP＋FP的最小值EF的长) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 1.如图，已知抛物线y=x2＋2x－3与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.P为第三象限的抛物线上一点(不与点B，C重合)，过点P作PH⊥x轴于点H，PH与线段BC交于点M.设点P的横坐标为t. 第1题图 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 函数图象相关点的求解 (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为_____________，点C的坐标为_____________，顶点D的坐标为________________；  点的表示 (2)t的取值范围为__________，点P的坐标可以表示为______________；  (3)线段BC所在直线的函数解析式为______________，点M的坐标为_______________；  (1，0) (－3，0) (0，－3) (－1，－4) －3＜t＜0 (t，t2＋2t－3) y=－x－3 (t，－t－3) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 线段的表示 (4)BC=______，线段MH的长可以表示为_______，线段PM的长可以表示为_____________；  线段间的数量关系 (5)若点M将线段BC分成长度比为1∶2的两部分，则点M的坐标为___________________________；若点M平分线段PH，则点M的坐标为______________；  3 t＋3 －t2－3t (－2，－1)或(－1，－2) (－1，－2) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 线段(和)最值 (6)当t=________时，线段PM的长度最大，PM的最大值为此时点P的 坐标为______________；  (7)作PE⊥BC于点E，则PE的最大值为__________；  (8)已知Q为抛物线对称轴上一点，若t=－2，则PQ＋BQ的最小值为____.  －     3 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 类型2　面积问题 预备知识： i.三角形的面积公式：__________________；  ii.同底等高的三角形的面积__________ 面积=×底×高 相等 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 面积表示 i.规则图形：如图①，图②，当△ABC中有一条边与坐标轴平行或在坐标轴上时，S△ABC=AB·h(h为AB边上的高)； ii.不规则图形：如图③，当△ABC中三条边与坐标轴均不平行时，S△ABC=a·h. 表示四边形的面积时，可以通过作辅助线，将四边形分成多个易于求解的图形解决 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 面积最值 表示出图形的面积，然后利用函数的增减性求面积最值 面积数量关系 i.面积定值：令图形面积的表达式等于这个值，解方程可得到参数值，进而计算得到所求点坐标； ii.面积相等：①同底等高三角形的面积相等，则未知三角形的第三个顶点与已知三角形的第三个顶点的连线与底边平行；②直接令两个三角形的面积表达式相等求解 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 2.如图，已知抛物线y=x2＋2x－3与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.连接AC，BC，BD，CD，抛物线的对称轴交x轴于点H，BC交对称轴于点E. 面积计算 (1)S△ABC=______，S四边形ACEH=______，S△BCD=______；  (2)连接AE，则AE所在直线的函数表达式为___________，S△AEC= ________；  第2题图 6 4 3 y=x－1 2 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 面积表示 (3)若P是x轴上方抛物线上一动点，横坐标为t.连接PA，PB，则S△PAB=________________________；  (4)若Q是BC下方抛物线上一动点，横坐标为m.连接QB，QC，则S△QBC= ______________________；  面积定值 (5)在(3)的条件下，若S△PAB=10，则点P的坐标为__________________；  2t2＋4t－6(t＞1或t＜－3) －m(－3＜m＜0) (2，5)或(－4，5) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 面积最值 (6)在(4)的条件下，S△QBC有最______(填“大”或“小”)值为____，此 时点Q的坐标为______________；  (6)－1　在(4)的条件下，过点Q作直线l∥BC，当S△QBC最大时，直线l与抛物线有______个交点；  面积数量关系 (7)已知F为抛物线上一动点，连接FB，FC，若S△FBC=S△ABC，则点F的坐标为____________；  大     1 (－4，5) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 (8)在(4)的条件下，若S△QBC=S△BCD，求点Q的坐标. 解：由(1)得S△BCD=3，由(4)得S△QBC= －m2－m. ∵S△QBC=S△BCD，∴S△QBC=即－m2－m= 解得m1=m2=. 将m1=代入y=x2＋2x－3，得y1= 将m2=代入y=x2＋2x－3，得y2= ∴点Q的坐标为或. 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 类型3　三角形全等、相似问题 预备知识： i.全等三角形：对应边________，对应角________；  ii.相似三角形：对应角________，对应边____________ 解决全等三角形 问题的一般思路 先观察已知三角形是否是特殊三角形或者是否存在特殊角，然后求出两个三角形中的已知线段，设出未知点坐标，利用全等三角形的对应边相等建立方程确定点坐标 相等 相等 相等 成比例 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 解决相似三角形 问题的一般思路 i.找等角：直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角； ii.表示边长：设出所求点的坐标，表示出对应边长； iii.对于对应关系不确定的三角形相似问题，需按照等角的两边分别对应成比例列方程，分情况讨论，然后计算求解 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 3.如图，抛物线y=－x2＋x＋2交x轴于点A，B，与y轴交于点C.连接AC，BC. 第3题图 备用图 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 全等三角形的求解 (1)若D为y轴上一点，△BOD与△AOC全等，请在图中标出点D的位置； 解：如答图①，点D1，D2即为所求. 第3题答图① 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 (2)若D为坐标系平面内一点，且△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为_____________________________；  (3)设抛物线的对称轴l与x轴交于点H.Q为抛物线上一动点，P为对称轴上一动点，PQ⊥PB.过点Q作QE⊥l于点E.当点Q在抛物线上运动时，存在△QEP与△PHB全等. ①请在坐标系中标出所有满足题意的点Q的大致位置； ②当点Q在对称轴右侧时，求出点Q的坐标. (1，2)，(1，－2)或(0，－2) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 解：①如答图②，点Q1，Q2即为所求. ②∵y=－x2＋x＋2，∴抛物线的对称轴为直线x=－=. 令y=－x2＋x＋2=0，解得x1=－1，x2=2，∴B(2，0). 由答图②可知△BHP1≌△P1E1Q1，则Q1E1=P1H，P1E1=BH=OB－OH=. 设点P1的坐标为则P1H=a，∴Q1E1=a， ∴Q1. 又∵点Q1在抛物线上，将点Q1的坐标代入y=－x2＋x＋2， 解得a1=a2=－(不符合题意，舍去)， ∴Q1(1，2). 第3题答图② 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 相似三角形的求解 (4)G为y轴上一动点，若△BOG∽△AOC(不含全等)，则点G的坐标为_____________________；  (5)F为线段BC上一点，连接OF.若△BOF与△BAC相似，则点F的坐标为 ______________________.  (0，4)或(0，－4)   第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 类型4　特殊三角形的存在性问题 预备知识： i.等腰三角形 (1)两条腰长________；(2)两个底角________；(3)________________垂直平分底边；  ii.直角三角形 (1)勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于______________；  (2)斜边上的中线等于斜边的__________ 相等 相等 过顶点的中线 斜边的平方 一半 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 等腰三 角形的 存在性 问题 已知线段AB，在直线l上作一点C，使得△ABC为等腰三角形 解法 i.几何法 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C1，C2；以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C3，C4；作线段AB的垂直平分线，交直线l于点C5(C1，C2，C3，C4，C5即为所求). 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 等腰三角形 的存在性 解法 ii.代数法 设动点C的坐标，然后利用动点的坐标表示出其他点，进而表示三角形的腰长，可利用两条腰长相等建立方程求解. 【注意】当顶点不确定时，需分类讨论①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三种情况 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 直角三角形 的存在性 问题 已知线段EF，在直线l上作一点G，使得△EFG为直角三角形 解法 i.几何法 过点E作EF的垂线，交直线l于点G1，连接FG1；过点F作EF的垂线，交直线l于点G2，连接EG2；以EF为直径作圆，交直线l于点G3，G4，连接EG3，FG3，EG4，FG4(G1，G2，G3，G4即为所求). 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 直角三角形 的存在性 解法 ii.代数法 设出点G的坐标，分别表示出EG，FG，EF的长，然后利用勾股定理建立方程求解.在具体问题中，也可以结合题图中直角三角形背景利用三角函数解决. 【注意】斜边不确定时，需分类讨论EF，FG和EG分别为斜边时的情况 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 4.如图，抛物线y=－x2＋x＋2交x轴于A，B两点，与y轴交于点C.连接AC，BC. 第4题图 备用图 (1)点A，B，C的坐标分别为A__________，B__________，C________；  (－1，0) (2，0) (0，2) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 求解等腰三角形 (2)已知P为x轴上一动点，若△PBC是以BC为腰的等腰三角形，则点P的坐标为________________________________________；若△APC是以AC 为底边的等腰三角形，则点P的坐标为____________；  (2－20)或(2＋20)或(－2，0)   第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 (3)已知Q为抛物线对称轴上一点，连接BQ，CQ.若△BCQ为等腰三角形： ①请在图中画出所有满足要求的点Q； ②求出点Q的坐标. 解：①如答图①，点Q1，Q2，Q3，Q4，Q5即为所求. 第4题答图① 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 ②∵抛物线y=－x2＋x＋2，∴抛物线的对称轴为直线x=－=. 设Q. 由B(2，0)，C(0，2)，得BC=2. 当BQ为底边时，CQ=BC=2∴＋(yQ－2)2=(2)2，解得yQ=2＋或2－. 当CQ为底边时，BQ=BC=2∴=解得yQ=或－. 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 当BC为底边时，CQ=BQ，∴＋(yQ－2)2=解得yQ=. 综上所述，当△BCQ为等腰三角形时，点Q的坐标为或. 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 求解直角三角形 (4)M为坐标轴上(不与原点重合)一动点，若△ACM是以AC为直角边的直 角三角形，则点M的坐标为________________________；  (4，0)或 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 (5)N为抛物线对称轴上一点，连接BN，CN.若△BCN为直角三角形： ①请在图中画出所有满足条件的点N； ②求出点N的坐标. 解：①如答图②，点N1，N2，N3，N4即为所求 第4题答图② 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 ②设N. BC2=(2)2=8，CN2=＋(yN－2)2=－4yN＋BN2=. 当BN为斜边时，BC2＋CN2=BN2，即8＋－4yN＋=解得yN=. 当CN为斜边时，BC2＋BN2=CN2，即8＋=－4yN＋解得yN=－. 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 当BC为斜边时，CN2＋BN2=BC2，即－4yN＋=8，解得yN=1＋或1－. 综上所述，点N的坐标为或. 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 (6)D为坐标系平面内一动点，连接AD，CD，若△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，求点D的坐标. 解：如答图③，以AC为直径作圆，作AC的垂直平分线交圆于点D1，D2，过点D1作y轴的平行线，过点C作该平行线的垂线，垂足为H1，y轴的平行线交x轴于点H2，则∠AD1C=90°，CD1=AD1，H1H2=2. ∵∠CD1H1+∠AD1H2=∠D1AH2+∠AD1H2=90°，∴∠CD1H1+∠D1AH2. 又∵∠CH1D1+∠D1H2A，CD1=D1A， 第4题答图③ 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 ∴△CD1H1≌∠D1AH2（AAS），∴CH1=D1H2，H1D1=H2A. 设D1H2=a，则AH2=H1D1=H1H2-D1H1=2-a.∵AC2=2AD12=5，∴AD12=. 在Rt△AD1H2中，D1H22+AH22=AD12，a2+（2-a）2=解得a1=，a2=（不符合题意，舍去）. 当a=时，点D1的纵坐标为，横坐标为AH2-AO=2-a-1=，∴D1=. ∵A（-1，0），C（0，2），∴AC的中点坐标为. ∵点D1，D2关于AC对称，∴D2. 综上所述，点D的坐标为或. 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 类型5　特殊四边形的存在性问题 预备知识： i.平行四边形：对边________且________，对角线互相________；  ii.矩形：对边________且________，对角线________且互相________；  iii.菱形：四条边________，对边________且________，对角线互相____________；  iv.正方形：四条边________，对角线________且互相______________ 平行 相等 平分 平行 相等 相等 平分 相等 平行 相等 垂直平分 相等 相等 垂直平分 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 平行四边形问题的解决思路 若存在▱ABCD，则xA＋xC=xB＋xD 矩形问题的 解决思路 若存在矩形ABCD，则xA＋xC=xB＋xD且kAB·kBC=－1. 也可以过矩形一顶点分别作坐标轴的平行线，利用一线三等角相似求解相关数据(如上图) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 菱形问题的 解决思路 若存在菱形ABCD，则xA＋xC=xB＋xD且AB=BC=CD=AD.利用两点间距离公式推理或AC2＋BD2=4AB2 正方形问题 的解决思路 若存在正方形ABCD，通常可讨论其中三个点的情况，利用构造全等三角形的方法先得到几个点坐标之间的数量关系(如下图)，然后利用点在相关函数图象上建立其他等量关系进行求解 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 5.已知抛物线y=x2－2x－3交x轴于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D. 平行四边形的存在性 (1)如图①，连接AD，M为x轴上一点，N为y轴上一点，若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AD为平行四边形的边，请在图中画出符合条件的平行四边形，并计算点M的坐标为_________________；  第5题图① (2，0)或(－2，0) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 解：如答图①，▱ADM1N1，▱ADN2M2即为所求. 第5题答图① 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 矩形的存在性 (2)如图②，以A，D为顶点作矩形AEDF，则点E的坐标为___________，点F的坐标为_______________；  第5题图② (1，0) (－1，－4) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 (3)如图③，连接AD.请在抛物线的对称轴上找一点G，在坐标平面内找一点H，使得以A，D，G，H为顶点的四边形是矩形，并求出点G的坐标； 第5题图③ 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 解：如答图②，当AD为矩形的对角线时，∠AG1D=90°，此时点G1在x轴上，∴G1(1，0). 当AD为矩形的边时，∠DAG2=90°. ∵y=x2－2x－3=(x＋1)(x－3)=(x－1)2－4， ∴D(1，－4)，A(－1，0)，B(3，0)， ∴AG1=2，DG1=4. ∵∠G2AG1＋∠DAG1=∠ADG1＋∠DAG1=90°， ∴∠G2AG1=∠ADG1， ∴tan∠G2AG1=tan∠ADG1，∴=解得G1G2=1，∴G2(1，1). 综上所述，点G的坐标为(1，0)或(1，1). 第5题答图② 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 菱形的存在性 (4)如图④，连接AD，J为抛物线的对称轴上一动点，K为坐标系平面内任意一点，若以A，D，J，K为顶点的四边形是菱形： 请在图中画出满足条件的菱形； 第5题图④ 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 解：如答图③，菱形AJ1DK1，菱形ADJ2K2，菱形ADJ3K3，菱形ADK4J4即为所求. 第5题答图③ 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 ②若AD为菱形的对角线，则点J的坐标为___________，菱形的边长为 ______；  ③若AD为菱形的边，则菱形的边长为______________，点K的坐标为_____________________________________；      2 (－1，－2)或(3，0) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 正方形的存在性 (5)如图⑤，连接AD.已知P，Q为平面内两个点.若以A，D，P，Q为顶点的四边形是正方形： ①请在图中画出满足条件的正方形； 第5题图⑤ 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 解：如答图④，正方形ADP1Q1，正方形AP2DQ2，正方形ADQ3P3即为所求. 第5题答图④ 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 ②若AD为正方形的边，根据①中作出的正方形，点P的坐标为___________________，点Q的坐标为___________________；  ③若AD为正方形的对角线，则正方形的边长为____；根据①中作出的正方形，此时点P的坐标为___________，点Q的坐标为_______________.  (5，－2)或(－5，－2) (3，2)或(－3，－6)   (2，－1) (－2，－3) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 类型6　角度问题 预备知识： i.如果两个角相等，那么这两个角对应的三角函数值________；  ii.常见的锐角三角函数值 ①sin 30°=_____，cos 30°=______，tan 30°=______；  ②sin 45°=_____，cos 45°=______，tan 45°=______；  ③sin 60°=_____，cos 60°=______，tan 60°=______ 相等           1       第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 求一个角等 于已知角 方法1：将两个角分别放在两个三角形中，证明两个三角形相似，利用对应边成比例求解点的坐标； 方法2：两个角相等，则这两个角对应的三角函数值相等，作辅助线将未知角放在直角三角形中，然后表示出其三角函数值进一步求解 已知一个角 为固定度数 一般情况下已知数据均为特殊角，作辅助线将该未知角放在直角三角形中，利用锐角三角函数的方法进行求解 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 6.已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2). (1)该抛物线的函数解析式为________________；  y=－x＋2 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 已知角度求点坐标 (2)如图①，D为x轴上方抛物线上的一点，连接DO，若∠DOB=45°，则DO所在直线的函数解析式为__________，点D的坐标为_________；  第6题图 y=x (2，2) 第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 已知角度关系求点坐标 (3)如图②，K为抛物线上一点，连接KB，若∠ABC=∠KBA，则点K的坐标为______________；  (4)如图②，P为抛物线对称轴上一点，连接PC，若∠PCB=2∠ABC，则 点P的坐标为____________________.  (－4，－4)   第三章　第14节　二次函数与几何综合 2025陕西中考 数学 $$