专题4.3 幂函数、函数应用（考点清单，4个考点梳理+16题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题4.3 幂函数、函数应用 【清单01】幂函数 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 【清单02】常见的5种幂函数的图象 1.常见的5种幂函数的图象 2.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 【清单03】三种函数增长速度的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 【清单04】函数的应用 1.常见函数模型： (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分式函数模型 (7)分段函数模型 2.解题策略与注意点： （1）解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域． （2）在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个． 【考点题型一】幂函数解析式与求值 【例1】（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】设幂函数的一般式，代入题干即可求解. 【详解】设幂函数的解析式为，，所以. 故选：D 【变式1-1】（24-25高一上·广东·期中）若幂函数的图象经过点，则（    ） A．16 B． C．64 D． 【答案】D 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数图象所过点的坐标，求出解析式，再求函数值即可. 【详解】设，则，得，所以. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】利用待定系数法求解即可. 【详解】设， 由的图象过点， 则，解得， 所以， 故选：A 【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 【答案】D 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、求幂函数的解析式 【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值. 【详解】由题可知：，则， 所以，且， 则 . 故选：D 【变式1-4】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】4 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】先由幂函数经过点求出即可得函数解析式，进而即可求函数值. 【详解】由题可得，所以，所以， 所以. 故答案为：4. 【考点题型二】幂函数相关定义域问题 【例2】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、求幂函数的解析式 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【变式2-1】（2024高二下·湖南·学业考试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、求幂函数的定义域 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【变式2-3】（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、具体函数的定义域 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 【变式2-4】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、具体函数的定义域 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 【考点题型三】幂函数相关值域问题 【例3】（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值域 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 综上当幂函数的值域与定义域相同时，则集合. 故答案为：. 【变式3-1】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求幂函数的值域、求与幂函数有关的复合函数值域、基本不等式求和的最小值 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求对数函数在区间上的值域、求幂函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 【变式3-3】（20-21高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【知识点】求二次函数的值域或最值、求与幂函数有关的复合函数值域 【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 【变式3-4】（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数图象的变换、求与幂函数有关的复合函数值域 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 【考点题型四】幂函数的图象 【例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案. 【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A 【变式4-1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用 【分析】待定系数法得到，得到答案. 【详解】设，将代入得，解得， 故，其定义域为，由幂函数的常见函数图象可知，C正确. 故选：C 【变式4-3】（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【答案】B 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的图象确定正确答案. 【详解】，和的图象都过点. 的图象都过点. A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确. B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误. C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确. D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确. 故选：B 【变式4-4】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知，则函数的大致图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用幂函数的单调性，奇偶性逐项判断即可. 【详解】当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于原点对称，故B正确； 当时，，在上单调递增， 且，所以图象关于轴对称，故A正确； 当时，，在上单调递增，故D错误； 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于原点对称，与C不符合， 当时，，在上单调递增，， 且，所以图象关于轴对称，故C正确. 故选：ABC 【考点题型五】幂函数图象过定点问题 【例5】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、幂函数图象过定点问题 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【变式5-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂函数图象过定点问题、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 【变式5-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数定义及单调性得到方程，求出，从而，结合指数函数性质得到定点坐标. 【详解】由题意得且，解得， ，令得，此时， 故的图像过定点. 故选：A 【变式5-4】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 【考点题型六】幂函数的单调性 【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域，再由复合函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，解得或， 即函数的定义域为. 令，则的图像开口向上，且对称轴为直线，在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 的单调递减区间是. 故选：B 【变式6-1】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可. 【详解】对于A,区间,，在单调递增，A正确； 对于B,区间,，在单调递减，B错误； 对于C,区间,，在单调递减，C错误； 对于D,区间,，在单调递减，D错误. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故C正确； 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故D错误. 故选:C 【变式6-4】（多选）（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 【答案】AB 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值域、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得，则， 对A，当，，所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故CD错误，B正确， 故选：AB． 【考点题型七】根据幂函数单调性求参数范围 【例7】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【答案】(1)1 (2)在区间单调递增，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】（1）由幂函数定义，求出，由函数在上单调递减验证即可. （2）由（1）可得，用定义证明即可. 【详解】（1）由题意知，解得：或2， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；    当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以的值为1． （2），在区间单调递增．    证明如下：任取， 则，    由可得：，， 则，即，    故在区间单调递增． 【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】求出幂函数为上减函数充要条件，再由充分条件，必要条件概念得解. 【详解】由是幂函数可知，解得或， 由幂函数在上是减函数可知， 所以满足不等式，不满足不等式， 综上知，幂函数在上是减函数的充要条件为， 因为或是的必要不充分条件， 所以“或”是“幂函数在上是减函数”的 必要不充分条件， 故选：C 【变式7-2】（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（文））已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ） A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断 【答案】C 【解析】 函数是幂函数，则，解得或. 当时，，在上为减函数，排除； 当时，，在上为增函数，满足； ，函数为奇函数，故在上单调递减. ，故，，故. 故选：. 【变式7-3】（2022·江苏泰州·高一期末）若幂函数在区间上是减函数，则整数________． 【答案】2 【分析】由题意可得，求出的取值范围，从而可出整数的值 【详解】因为幂函数在区间上是减函数， 所以，解得， 因为， 所以， 故答案为：2 【变式7-4】（24-25高三上·江西·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则 . 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为： 【考点题型八】幂函数奇偶性问题 【例8】（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值. 【详解】由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的性质，结合奇函数的定义，可得答案. 【详解】函数的定义域为，是非奇非偶函数，故A错误； 函数的定义域为，是奇函数，故B正确； 函数的定义域为，而当时，， 此时函数值不为零，故函数不是奇函数，故C错误； 函数的定义域为，是偶函数，故D错误. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用给定的幂函数性质，结合函数奇偶性定义求出的范围. 【详解】当时，，则，且，函数是奇函数，不符合题意； 当且时，关于数0不对称，此时幂函数是非奇非偶函数， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知幂函数是偶函数，则 . 【答案】1 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求解． 【详解】由题意，解得或， 时函数为，不是偶函数，舍去， 时函数为，是偶函数，满足题意． 故答案为：1. 【变式8-4】（24-25高一上·贵州·期中）已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为 . 【答案】3 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出实数的值. 【详解】由幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意；当时，函数是奇函数， 所以实数的值为3. 故答案为：3 【考点题型九】幂函数单调性、奇偶性综合问题 【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数， 所以或， 又因为幂函数在上是减函数， 所以，即，所以. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据一般幂函数的奇偶性、单调性判断各函数是否满足题设即可. 【详解】在上递增，A不符；、为奇函数，B、C不符； 为偶函数且在上递减. 故选：D 【变式9-2】（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、幂函数的奇偶性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义以及初等函数的单调性对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，可得A错误； 对于B，函数定义域为，且满足，为奇函数； 且由幂函数性质可得在区间上为增函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，且满足，为奇函数； 再根据对勾函数性质可知，其在上单调递减，即C错误； 对于D，函数定义域为，且满足，为偶函数，即D错误. 故选：B 【变式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】D 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 又的图象经过点，所以，解得， 所以，则为上的增函数， 则，则函数的定义域为， 所以非奇非偶函数，且为上的减函数. 故选：D. 【变式9-4】（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】选项A和B，根据函数表达式，即可判断出正误；选项C，利用函数单调性的定义，任取，且，通过化简变形得，即可判断选项C的正误；对于选项D，根据奇偶函数的判断方法，可得为奇函数，即可判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，因为，所以，得到的定义域为，所以选项A正确， 对于选项B，由知，所以选项B错误， 对于选项C，任取，且，则， 因为，所以，，又， 所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：ACD. 【考点题型十】应用幂函数性质比较大小 【例10】（24-25高一上·河北邢台·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数函数，以及幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为是减函数，所以，即．易得， 则幂函数是增函数，所以， 又是减函数，所以．故． 故选：D. 【变式10-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设则的大小关系为  （        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对数函数、幂函数等知识来确定正确答案. 【详解】， 在上单调递增，所以， 所以. 故选：D 【变式10-2】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由幂函数，指数函数单调性可得答案. 【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增. 则．所以． 故选：B 【变式10-3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】由在上单调递增可得，由在上单调递增可得即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 因为， 又因为在上单调递增，所以，， 所以. 故选：A. 【变式10-4】（24-25高一上·山东淄博·期中）下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据题意构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较. 【详解】对于A，构造函数，函数为增函数，， 所以，A错误； 对于B，构造函数，因为，所以函数在第一象限递增， 因为，所以，B正确； 对于C，构造函数，函数为增函数，所以， 构造函数，函数为减函数，所以， 所以，C错误； 对于D，构造函数，函数为减函数，所以， 构造函数，函数为增函数，所以， 所以，D错误. 故选：B 【考点题型十一】应用幂函数性质解不等式 【例11】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）由幂函数的概念及奇函数即可求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. （2）由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数， 所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 【变式11-1】（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 【变式11-2】（24-25高一上·河北邢台·期中）已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】设，代入求出，再利用其单调性解出不等式即可. 【详解】设，由，得，则． 因为在上单调递增，所以由， 得，即． 故答案为：. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】 【知识点】判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式 【分析】由的单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为在上单调递增，， 所以，解得. 故答案为： 【变式11-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围 . 【答案】或 【知识点】由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，先得到，将所求不等式化为，结合幂函数的单调性转化为自变量的不等式（组），解得即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 又因为，所以或； 因为幂函数的图象关于轴对称， 所以为偶数，故. 不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或. 故的取值范围是或. 故答案为：或. 【考点题型十二】幂函数图象和性质的综合应用 【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【答案】(1)1 (2)①在区间上单调递增，证明见解析；② 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②由①知，在区间单调递增， 又由可得：，解得解得，所以实数t的取值范围是. 【变式12-1】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知幂函数，其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的图象是中心对称图形 D．恒过定点 【答案】ABD 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数图象过定点问题、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的定义域性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，故A正确； 当时，，根据幂函数性质可知， 此时在上是增函数，所以，故B正确； 当时，，满足，此时的定义域为， 所以是偶函数，不是中心对称图形，故C错误； 根据幂函数性质可知恒过定点，故D正确． 故选：ABD 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 【答案】 0 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求幂函数的解析式 【分析】由题意，设，结合的图象过点求出，进而可得，再根据单调性求解最值. 【详解】设，是常数，则， 解得，则， 所以，在区间上单调递增， 所以函数的最小值是，最大值是. 故答案为：0；. 【变式12-3】（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由奇函数的定义判断出为奇函数，结合时单调递减得出在上单调递减，结合已知求解即可． 【详解】当时，； 当时，，； 当时，，所以对任意的， 所以函数为奇函数， 又当时，单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以不等式， 解得， 由已知对任意的有恒成立， 所以,即， 故答案为：． 【变式12-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 【答案】(1)； (2)① 或；②或；③且 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用、由幂函数的单调性比较大小 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数即可得解； （2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，得出交点坐标，结合函数图象即可比较大小. 【详解】（1），∵图象过点，故，解得，∴； ，∵图象过点，∴，解得．∴． （2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示． 由图象可知，、的图象均过点和． 所以①当或时，； ②当或时，； ③当且时，． 【考点题型十三】函数增长速度比较 【例13】（多选）（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况： 2022年人口总数 年平均增长率 A市 0.02～0.03 B市 0.04～0.05 C市 0.03 利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化 【分析】首先确定与的关系式，写出，可得C的真假；再对商，的值进行分析，可判断ABD的真假. 【详解】因为. 又，所以. 设市的年平均增长率为，； 市的年平均增长率为，； 市的年平均增长率为，. 对A：，因为，所以，故A错误； 对B：，因为，所以，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：由A知： ，故D正确. 故选：BCD 【变式13-1】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数的定义域，特殊值点以及分子分母的增长速度，结合选项即可得到答案. 【详解】根据函数的解析式，易知该函数的定义域为，故选项A错误；令，得，故选项B错误； 当时，的增长速度远大于，所以当时，，故选项D错误. 故选：C. 【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　） x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝（x2－1） C．y＝log2x D．y＝ 【答案】B 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【详解】解析：由题中表可知函数在（0，＋∞）上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 【变式13-3】（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【知识点】 对数函数y=log2x的图像和性质、幂函数图象的判断及应用、指数、对数、幂函数模型的增长差异、指数函数图像应用 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 【变式13-4】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 【答案】AB 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 【考点题型十四】指数函数模型的应用 【例14】（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）（精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意利用指数模型表达式可求得，代入数据计算可得至少还需要给氧时间为0.5小时. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得， 两边同时取自然对数并整理，得， ； 则， 则给氧时间至少还需要0.5小时. 故选：B 【变式14-1】（24-25高一上·安徽淮南·期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（     ）个小时才能驾驶. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】依题意饮酒后的初始含量为，根据酒精递减速度列出不等式计算可得结论. 【详解】根据题意可知，相当于饮酒后的初始含量为血液中酒精含量达到； 依题意可知，小时后血液中酒精含量为， 若能正常驾驶需满足， 即，经代入选项验证可得即可满足条件， 即至少经过大约5个小时才能驾驶. 故选：C 【变式14-2】（2024高二下·湖北·学业考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 【变式14-3】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（    ） A．3h B．4h C．5h D．6h 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由已知有，可得，当时，解得，可求还需的时间. 【详解】由题意知，时，，可得． 设，则，解得， 因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4h． 故选：B. 【变式14-4】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意列出等式，化简后即可求解. 【详解】由题意知是，， 代入公式，可得， 则，两边同时取对数得， 即，则，故C正确. 故选：C. 【考点题型十五】对数型函数模型的应用 【例15】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果. 【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比； 提升后分别为，信道带宽，信噪比； 且满足，； 易知， 所以； 所以可得C大约增加了. 故答案为： 【变式15-1】（23-24高一上·北京通州·期末）国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足（K为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：，）（    ） 标准对数视力表    A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】A 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可. 【详解】由题意可知，所以， 故，故A正确. 故选：A 【变式15-2】（23-24高一上·北京西城·期末）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意得以及，解方程组即可求出. 【详解】由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即， 所以，整理得①， 又分裂速度变化是连续的，则，整理得， 所以， 解得 故选：B, 【变式15-3】（2023·河南·模拟预测）某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次/分）满足，为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（    ）（为自然对数的底数，） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设俯卧撑组数为组，根据题目所给函数解析式求出运动强度，解不等式求解即可. 【详解】由题意，设俯卧撑组数为组，则， 所以， 所以， 所以，， 因为，且，所以. 故选：B 【变式15-4】（23-24高一上·上海·阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的 倍． 【答案】9 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设原来游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组即可. 【详解】所以， 联立解得. 故答案为：. 【考点题型十六】模拟函数等问题 【例16】（24-25高一上·广东清远·期中）幂函数的定义域是全体实数. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求幂函数的解析式 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，故； （2）在区间上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案. 【详解】（1）由题意得， 解得或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去； 当时，，满足题意； （2）在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 当时，恒成立，满足要求， 当时，变形为在恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 实数k的取值范围是. 【变式16-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且，给出下列结论： ①当时，，函数的图象恒在函数的图象上方； ②，当时，恒有； ③，方程，都有解． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】举例说明判断①；分类讨论，结合对数函数、幂函数的增长快慢判断②；作出函数图象，数形结合判断③即可得解. 【详解】对于①，取，则，，， ，此时，不满足函数的图象恒在函数的图象上方，①错误； 对于②，当时，在上，的图象在轴下方，的图象在轴上方，此时满足条件； 当时，对数函数和幂函数，在区间上，随着的增大， 增长得越来越慢，尽管在的一定变化范围内，可能会大于， 但由于的增长快于的增长，则总存在一个，当时，就会有成立，②正确； 对于③，，在同一坐标系中作出函数的大致图象，如图： 函数的图象两两都分别有交点， 所以方程，都有解，③正确． 所以正确结论的序号是②③. 故答案为：②③ 【变式16-2】（20-21高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【知识点】根据幂函数值域求参数或范围、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【变式16-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【知识点】函数图象的应用 【分析】（1）指数函数的图象不过第三象限，由此可以判断曲线，分别对应的函数； （2）先判断的大致范围，然后根据图象判断大小即可. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 【变式16-4】（23-24高一下·湖北·阶段练习）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （i）函数的图象接近图示； （ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （iiii）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. (1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 【答案】(1)选择③，； (2)29.25. 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】（1）根据三种函数的图象特征选择合适的函数模型，然后代入点和解方程组即可得解析式； （2）根据题意解对数不等式即可. 【详解】（1）模型①，由图象过点， 得，解得，    ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合； 模型②为爆炸增长型函数，不符合， 故选模型③. 由题知，，解得， 所以. （2）由（1）知，， 令，得，解得， 所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 幂函数、函数应用 【清单01】幂函数 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 【清单02】常见的5种幂函数的图象 1.常见的5种幂函数的图象 2.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 【清单03】三种函数增长速度的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 【清单04】函数的应用 1.常见函数模型： (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分式函数模型 (7)分段函数模型 2.解题策略与注意点： （1）解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域． （2）在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个． 【考点题型一】幂函数解析式与求值 【例1】（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式1-1】（24-25高一上·广东·期中）若幂函数的图象经过点，则（    ） A．16 B． C．64 D． 【变式1-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 【变式1-4】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知幂函数的图象经过点，则 . 【考点题型二】幂函数相关定义域问题 【例2】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高二下·湖南·学业考试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【考点题型三】幂函数相关值域问题 【例3】（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 . 【变式3-1】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【变式3-3】（20-21高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【变式3-4】（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【考点题型四】幂函数的图象 【例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【变式4-4】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知，则函数的大致图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【考点题型六】幂函数的单调性 【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 【变式6-4】（多选）（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 【考点题型七】根据幂函数单调性求参数范围 【例7】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（文））已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ） A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断 【变式7-3】（2022·江苏泰州·高一期末）若幂函数在区间上是减函数，则整数________． 【变式7-4】（24-25高三上·江西·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则 . 【考点题型八】幂函数奇偶性问题 【例8】（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【变式8-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是 . 【变式8-3】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知幂函数是偶函数，则 . 【变式8-4】（24-25高一上·贵州·期中）已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为 . 【考点题型九】幂函数单调性、奇偶性综合问题 【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【变式9-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【变式9-4】（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【考点题型十】应用幂函数性质比较大小 【例10】（24-25高一上·河北邢台·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设则的大小关系为  （        ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25高一上·山东淄博·期中）下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十一】应用幂函数性质解不等式 【例11】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 【变式11-1】（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·河北邢台·期中）已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 【变式11-3】（24-25高一上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【变式11-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围 . 【考点题型十二】幂函数图象和性质的综合应用 【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【变式12-1】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知幂函数，其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的图象是中心对称图形 D．恒过定点 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 【变式12-3】（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式12-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 【考点题型十三】函数增长速度比较 【例13】（多选）（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况： 2022年人口总数 年平均增长率 A市 0.02～0.03 B市 0.04～0.05 C市 0.03 利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　） x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝（x2－1） C．y＝log2x D．y＝ 【变式13-3】（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【变式13-4】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 【考点题型十四】指数函数模型的应用 【例14】（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）（精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5 【变式14-1】（24-25高一上·安徽淮南·期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（     ）个小时才能驾驶. A． B． C． D． 【变式14-2】（2024高二下·湖北·学业考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（    ） A．3h B．4h C．5h D．6h 【变式14-4】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【考点题型十五】对数型函数模型的应用 【例15】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：） 【变式15-1】（23-24高一上·北京通州·期末）国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足（K为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：，）（    ） 标准对数视力表    A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【变式15-2】（23-24高一上·北京西城·期末）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【变式15-3】（2023·河南·模拟预测）某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次/分）满足，为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（    ）（为自然对数的底数，） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式15-4】（23-24高一上·上海·阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的 倍． 【考点题型十六】模拟函数等问题 【例16】（24-25高一上·广东清远·期中）幂函数的定义域是全体实数. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 【变式16-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且，给出下列结论： ①当时，，函数的图象恒在函数的图象上方； ②，当时，恒有； ③，方程，都有解． 其中正确结论的序号是 ． 【变式16-2】（20-21高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【变式16-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【变式16-4】（23-24高一下·湖北·阶段练习）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （i）函数的图象接近图示； （ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （iiii）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. (1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司15 学科网（北京）股份有限公司 $$