专题02 有理数的运算（考题猜想，易错、好题必刷35题8种题型）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题02 有理数的运算（易错必刷35题8种题型专项训练） 目录 【易错题型01 倒数】 1 【易错题型02 有理数的加法】 1 【易错题型03 有理数的减法】 2 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 2 【易错题型05 有理数的乘法】 3 【易错题型06 有理数的除法】 4 【易错题型07 有理数的乘方】 5 【易错题型08 有理数的混合运算】 6 【易错题型01 倒数】 【易错题精讲】（23-24六年级上·山东东营·期末）的倒数是（   ） A．2024 B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是 ． 【变式训练1-2】（24-25七年级上·全国·期末）如果a和2023是互为相反数，那么a的倒数是（　　） A． B． C．2023 D． 【变式训练1-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正数和负数 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．两数相减，差一定小于被减数 D．倒数等于它本身的数有， 【易错题型02 有理数的加法】 【易错题精讲】（22-23七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（24-25七年级上·全国·期末）若数轴上A点表示数，则与A点相距5个单位长度的点表示的数为 ． 【变式训练2-2】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【变式训练2-3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）设表示不超过x的最大整数，如计算， ． 【易错题型03 有理数的减法】 【易错题精讲】（24-25七年级上·全国·期末）古人讲“四十不惑”，如果以40岁为基准，老张45岁，记为岁，那么小王25岁记为（  ） A．岁 B．岁 C．岁 D．25岁 【变式训练3-1】（22-23七年级上·湖北孝感·期末）计算 ． 【变式训练3-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一天中午12时的气温是，到晚上温度下降了，那么晚上的温度是 ． 【变式训练3-3】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）比低的温度是（    ） A． B． C． D． 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 【易错题精讲】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略加号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）阳光明媚的清晨，蜗牛从树根沿着树干笔直往上爬，又下滑，这样一共反复两次，则该蜗牛此时距离树根（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（22-23七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【变式训练4-3】（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂计划每天生产20辆自行车，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【易错题型05 有理数的乘法】 【易错题精讲】（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，．那么，，其中．例如，，．现有，则的值为 【变式训练5-1】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，这五个数中任取三个数相乘，其中最小的积是 ． 【变式训练5-2】（23-24七年级上·重庆城口·期末）李大伯家有苹果树15棵，梨树的棵数比苹果树多，李大伯家有梨树 棵． 【变式训练5-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）每年6月份是樱桃采摘旺季． 某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘总量 (1)员工2采摘樱桃是 ； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量； (3)该农场支付给员工的日结工资包含基本工资和个人绩效两部分，若按如下方法计算，农场该天共需支付给员工的工资是多少元？ 基本工资 参加采摘的员工每人基本工资200元天 个人绩效 若每天没达到标准数量，少扣2元；若每天超出标准数量，多奖助3元． 【易错题型06 有理数的除法】 【易错题精讲】（24-25七年级上·全国·期末）若，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【变式训练6-1】（22-23七年级上·四川绵阳·期末），，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（22-23七年级上·重庆·期末）数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b(a、b为互质数)有相同余数（余数不为0)，那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：，所以13是3和4的“公平数”；，，所以72是5和7的“公平数”． (1)判断：60、55是否为7和8的“公平数”，请说明理由； (2)求100以内3和8的所有“公平数”． 【变式训练6-3】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【易错题型07 有理数的乘方】 【易错题精讲】（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）据灯塔专业版显示，某电影票房突破55亿元，观影总人次达亿，荣登年度全球票房冠军．将数据55亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（24-25七年级上·全国·期末）有下列算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中运算结果为正数的是 ，为负数的是 ，为0的是 ．（填序号） 【变式训练7-3】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知，比较大小： （填“，或”）． 【变式训练7-4】（24-25七年级上·全国·期末）下列计算结果与其他三个不同的是（   ） A． B． C． D． 【易错题型08 有理数的混合运算】 【易错题精讲】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）我国汉代有位大将，名叫韩信．他每次集合部队，只要求部下先后按、、报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人．他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”．到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，去百零五便得知”．这首诗的意思是：用这个数除以3所得的余数乘以，加上这个数除以5所得余数乘以，再加上这个数除以7所得的余数乘上，若结果小于105，则结果就是这个数，若结果大于就减去或者105的倍数，这样就知道所求的数了． 醴陵市某初中学校利用课后服务组织七年级部分学生排演一个“庆新年”大型舞蹈类节目，排练老师采取“鬼谷算”方法进行了报数，已知按报数余数为1，按报数余数为3，按报数余数为4，请问选取参加排演节目的学生数为 人． 【变式训练8-1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）规定一种新运算“”，当，时， “” ；当，时，“” ． 【变式训练8-2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）若规定一种运算：，则 ． 【变式训练8-3】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）定义一种新运算：，利用这种算法计算 ． 【变式训练8-4】（22-23七年级上·河南郑州·期末）计算： ． 【变式训练8-5】（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算（易错必刷35题8种题型专项训练） 目录 【易错题型01 倒数】 1 【易错题型02 有理数的加法】 2 【易错题型03 有理数的减法】 4 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 5 【易错题型05 有理数的乘法】 7 【易错题型06 有理数的除法】 9 【易错题型07 有理数的乘方】 12 【易错题型08 有理数的混合运算】 14 【易错题型01 倒数】 【易错题精讲】（23-24六年级上·山东东营·期末）的倒数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了倒数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【规范解答】解：的倒数是． 故选：D． 【变式训练1-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了绝对值、倒数，先根据绝对值的性质并结合已知条件得出，再根据倒数的定义得出a的倒数即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴a的倒数是． 故答案为：． 【变式训练1-2】（24-25七年级上·全国·期末）如果a和2023是互为相反数，那么a的倒数是（　　） A． B． C．2023 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．根据相反数和倒数的定义求解． 【规范解答】解：2023的相反数是， 如果a和2023是互为相反数，那么， 的倒数是， ∴a的倒数是． 故选：D． 【变式训练1-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正数和负数 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．两数相减，差一定小于被减数 D．倒数等于它本身的数有， 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了数轴的意义，有理数的定义以及有理数的减法．分别根据数轴的意义，倒数的定义，有理数的分类以及有理数的减法法则逐一判断即可． 【规范解答】解：A、有理数分为正有理数、零和负有理数，原说法错误，故本选项不合题意； B、所有的有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确，故本选项符合题意； C、，，两数相减，差不一定小于被减数，原说法错误，故本选项不合题意； D、倒数等于它本身的数有，原说法错误，故本选项不合题意； 故选：B． 【易错题型02 有理数的加法】 【易错题精讲】（22-23七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据有理数的加法法则判断即可. 【规范解答】解：. 故选：B. 【变式训练2-1】（24-25七年级上·全国·期末）若数轴上A点表示数，则与A点相距5个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】2或 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，分该点在点A右边和左边两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【规范解答】解：当该点在点A右边时，则该点表示的数为， 当该点在点A左边时，则该点表示的数为， ∴该点表示的数为2或， 故答案为：2或． 【变式训练2-2】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【规范解答】解：原式 . 【变式训练2-3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）设表示不超过x的最大整数，如计算， ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，有理数比较大小，根据新定义可得，据此根据有理数加法计算法则求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 故答案为：3． 【易错题型03 有理数的减法】 【易错题精讲】（24-25七年级上·全国·期末）古人讲“四十不惑”，如果以40岁为基准，老张45岁，记为岁，那么小王25岁记为（  ） A．岁 B．岁 C．岁 D．25岁 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．根据题意即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， 小王25岁记为岁， 故选：B． 【变式训练3-1】（22-23七年级上·湖北孝感·期末）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的减法，运用减去一个数等于加上这个数的相反数解题即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练3-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一天中午12时的气温是，到晚上温度下降了，那么晚上的温度是 ． 【答案】/摄氏度 【思路点拨】本题考查有理数减法的应用．正确列出算式是解题的关键． 用中午12时的气温减去下降的温度，列式计算即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 【变式训练3-3】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）比低的温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的减法的应用，根据题意列出算式，然后计算即可，熟练掌握有理数的减法的运算法则并灵活运用是解题的关键． 【规范解答】解：∵比低， ∴， 故选：． 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 【易错题精讲】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略加号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号． 根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【规范解答】解：， 故选：B． 【变式训练4-1】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）阳光明媚的清晨，蜗牛从树根沿着树干笔直往上爬，又下滑，这样一共反复两次，则该蜗牛此时距离树根（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了有理数加减运算的实际应用，弄清题意是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可求出所求． 【规范解答】解：根据题意得：， 故选：D． 【变式训练4-2】（22-23七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减运算，按照有理数的加减运算法则计算即可． 【规范解答】解： 【变式训练4-3】（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂计划每天生产20辆自行车，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【答案】(1)前三天共生产了67辆自行车 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产14辆自行车 【思路点拨】本题考查的是有理数的运算和正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量并根据题意进行有理数的加减运算． （1）计算出这一周前三天超产或减产量，得到答案； （2）计算产量最多的一天与产量最少的一天的差即可． 【规范解答】（1）解：（辆） （辆） 答：前三天共生产了67辆自行车． （2）解：（辆） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产14辆自行车． 【易错题型05 有理数的乘法】 【易错题精讲】（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，．那么，，其中．例如，，．现有，则的值为 【答案】或或 【思路点拨】本题主要考查了新定义“不超过的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论． 根据把不超过的最大整数记作，且可知为整数，再由可知或或，再由得出，最后将或或的值分别代入求值即可． 【规范解答】解：∵不超过的最大整数记作， ∴为整数， ∵， 或或， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 或或， 故答案为：或或． 【变式训练5-1】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，这五个数中任取三个数相乘，其中最小的积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较．根据有理数的乘法和有理数的大小比较求出最小的积，取绝对值较大的数相乘，其中一个负数或者全是三个负数． 【规范解答】解：最小的积， 故答案为：． 【变式训练5-2】（23-24七年级上·重庆城口·期末）李大伯家有苹果树15棵，梨树的棵数比苹果树多，李大伯家有梨树 棵． 【答案】18 【思路点拨】此题考查了有理数的乘法的实际应用，根据题意列式求解即可． 【规范解答】解： （棵）， 即李大伯家有梨树18棵． 故答案为：18． 【变式训练5-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）每年6月份是樱桃采摘旺季． 某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘总量 (1)员工2采摘樱桃是 ； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量； (3)该农场支付给员工的日结工资包含基本工资和个人绩效两部分，若按如下方法计算，农场该天共需支付给员工的工资是多少元？ 基本工资 参加采摘的员工每人基本工资200元天 个人绩效 若每天没达到标准数量，少扣2元；若每天超出标准数量，多奖助3元． 【答案】(1)88 (2)5位员工草莓采摘实际数量能达到预计数量 (3)农场该天共需支付的费用是1098元 【思路点拨】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用标准数减去即可； （2）把记表格录中数相加，再加上标准数即可判断； （3）根据该农场工资标准列式计算解答即可． 【规范解答】（1）解：员工2采摘草莓数量是：， 故答案为：88； （2）解： ， ， 位员工草莓采摘实际数量能达到预计数量； （3）解： （元， 答：农场该天共需支付的费用是1098元． 【易错题型06 有理数的除法】 【易错题精讲】（24-25七年级上·全国·期末）若，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法，有理数的除法．根据、的正负性，讨论当、同号，当、异号时，去掉绝对值符号以后，计算，得到所有可能结果，选出答案． 【规范解答】解：由题意，得 ，， 当、同号时，，，； ，，； 当、异号时，，，； ，，； 综上，的取值不可能是1， 故选：B． 【变式训练6-1】（22-23七年级上·四川绵阳·期末），，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】由a、b、c在数轴上的位置可判断，结合，可得，，进一步根据有理数的加法与除法法则逐一判断即得答案． 【规范解答】解：根据题意，得：，而， ∴，， ∴，，，，所以选项D中是正确的． 故选：D． 【变式训练6-2】（22-23七年级上·重庆·期末）数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b(a、b为互质数)有相同余数（余数不为0)，那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：，所以13是3和4的“公平数”；，，所以72是5和7的“公平数”． (1)判断：60、55是否为7和8的“公平数”，请说明理由； (2)求100以内3和8的所有“公平数”． 【答案】(1)60是7和8的“公平数”，55不是7和8的“公平数”，理由见解析 (2)25，26，49，50，73，74，97，98 【思路点拨】本题考查了有理数乘除法与加法的应用，正确理解“公平数”的定义是解题关键． （1）根据“公平数”的定义即可得； （2）设3和8的“公平数”为a，得出或为3和8的公倍数，也是的倍数，再根据“公平数”的定义逐个找出即可得． 【规范解答】（1）解：， ， 所以60是7和8的“公平数”； ，，， 所以55不是7和8的“公平数”． （2）解：设3和8的“公平数”为a， 则a除以3和8的余数为1或2， 所以或为3和8的公倍数， 因为3和8是互质数， 故或也是的倍数． 又由a在100以内，故a可能为； ； ； ． 综上，100以内3和8的所有“公平数”为：25，26，49，50，73，74，97，98． 【变式训练6-3】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【答案】14 【思路点拨】本题考查了有理数混合运算的实际应用； 分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可． 【规范解答】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 【易错题型07 有理数的乘方】 【易错题精讲】（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数比大小，熟练掌握两个负数比大小的方法是解题的关键，先将所有的有理数进行化简，利用两个负数的大小，绝对值大的反而小，判断和大小，再逐一排序即可得到答案． 【规范解答】解：，，， ∵，， ∴， ∴有理数，，，按从小到大的顺序排列为， 故选：B． 【变式训练7-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）据灯塔专业版显示，某电影票房突破55亿元，观影总人次达亿，荣登年度全球票房冠军．将数据55亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：55亿， 故选：C． 【变式训练7-2】（24-25七年级上·全国·期末）有下列算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中运算结果为正数的是 ，为负数的是 ，为0的是 ．（填序号） 【答案】 ①②④⑤ ⑥ ③ 【思路点拨】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方法则，进行判断即可，再进行分类即可． 【规范解答】解：① 的结果为正数；②的结果为正数；③；④；⑤为正数；⑥为负数， ∴结果为正数的是①②④⑤；为负数的是⑥；为0的是③； 故答案为：①②④⑤；⑥；③ 【变式训练7-3】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知，比较大小： （填“，或”）． 【答案】> 【思路点拨】本题考查的是有理数的乘方运算，大小比较，直接利用两个正因数小于1时，其积小于原数可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式训练7-4】（24-25七年级上·全国·期末）下列计算结果与其他三个不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方以及绝对值、相反数，正确的计算是解题的关键．根据有理数的乘方以及绝对值、相反数逐项化简，再比较即可求得答案 【规范解答】A．      B．      C．      D． C选项结果与其它三个不同 故选:C 【易错题型08 有理数的混合运算】 【易错题精讲】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）我国汉代有位大将，名叫韩信．他每次集合部队，只要求部下先后按、、报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人．他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”．到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，去百零五便得知”．这首诗的意思是：用这个数除以3所得的余数乘以，加上这个数除以5所得余数乘以，再加上这个数除以7所得的余数乘上，若结果小于105，则结果就是这个数，若结果大于就减去或者105的倍数，这样就知道所求的数了． 醴陵市某初中学校利用课后服务组织七年级部分学生排演一个“庆新年”大型舞蹈类节目，排练老师采取“鬼谷算”方法进行了报数，已知按报数余数为1，按报数余数为3，按报数余数为4，请问选取参加排演节目的学生数为 人． 【答案】 【思路点拨】本题考查了对题干“中国剩余定理”的理解，以及有理数的运算，根据题干所给方法求解，即可解题． 【规范解答】解：根据题意可得：， ， 选取参加排演节目的学生数为人， 故答案为：． 【变式训练8-1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）规定一种新运算“”，当，时， “” ；当，时，“” ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，根据新定义运算的运算法则代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴当，时， ， 当，时， ， 故答案为：， 【变式训练8-2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）若规定一种运算：，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查的是有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义列式计算即可． 【规范解答】解：根据题意，得； 故答案为：． 【变式训练8-3】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）定义一种新运算：，利用这种算法计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练8-4】（22-23七年级上·河南郑州·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 根据绝对值及有理数的乘方可进行求解． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练8-5】（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的有关计算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法乘法法则． 先根据已知条件，把，和用，，表示出来，再根据，判断，，中三个数中只有一个负数，然后选择一种情况：，，，利用绝对值的性质进行判断即可． 【规范解答】解：， ，，中三个数中既有正数又有负数，且，，， ， ，，中三个数中只有一个负数， 不妨设，，， ，，， ， ． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$