专题06 函数的基本性质（考点清单+知识导图+ 19个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单06 函数的基本性质 （单调性、奇偶性、对称性、周期性） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【清单02】函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【清单03】函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【清单04】函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【清单05】幂函数的图象与性质 5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 5.2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 【考点题型一】函数图象识别 核心方法：特殊值法，单调性，奇偶性，零点，极限法 【例1-1】（24-25高一上·广东清远·期中）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【例1-2】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 核心方法：证明单调性只能用定义法 判断单调性：①（）；②（）③图象法 【例2】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知函数，．    (1)画出当时，函数的图象； (2)探究函数的单调性． 【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明 .   【变式2-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数． (1)求函数的解析式． (2)判断函数的单调性并证明； 【考点题型三】求函数的单调区间 核心方法：图象法 【例3】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【考点题型四】求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域） 核心方法：同增异减 【例4】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【变式4-1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】根据函数单调性求参数 核心方法：图象法 【例5-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】判断函数的奇偶性 核心方法：①定义法 ②图象法 ③性质法 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【例6】（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 【变式6-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 核心方法：奇偶性定义 【例7】（24-25高一上·四川成都·期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【变式7-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数，且，则（   ）. A． B． C． D．3 【变式7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）若函数为奇函数，则实数 . 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 核心方法：奇偶性+单调性（特别注意容易忽视定义域） 【例8-1】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且对任意，当时，总有，则满足的x的值可能是（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25高一上·天津南开）定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是 . 【变式8-1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·天津津南·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【例9】（24-25高三上·辽宁锦州·期中）已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（   ） A．2024 B．2 C．1 D．0 【变式9-1】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【变式9-2】（多选）（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．为偶函数 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【例10】（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C．存在函数，使得对，都有 D． 【变式10-1】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．的一个周期是3 C．的一个对称中心是 D． 【变式10-2】（多选）（24-25高三上·甘肃金昌·期中）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于轴对称 C． D．若函数满足，则 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【例11】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【变式11-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 【变式11-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【考点题型十二】求分段函数的单调区间 【例12】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明）； (2)求集合M={m|使方程有两个不相等的实根}. 【变式12-1】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求函数在上的解析式； (2)画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域． 【变式12-2】（23-24高一上·天津）函数的单调递增区间为 .（用开区间表示） 【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数 【例13】（24-25高一上·河南洛阳·期中）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题 核心方法：图象法 【例14】（24-25高一上·天津·期中）给定函数，，用表示函数，中的较大者，即,，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．2 【变式14-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．12 【变式14-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）定义运算，已知函数，则的最大值为 . 【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 核心方法：配方法+图象法 【例15】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求在上的值域. 【变式15-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的最小值是（  ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是 . 【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 核心方法：图象法+分类讨论 【例16-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 【例16-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；    (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【变式16-1】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数 (1)若函数 是偶函数，求实数k的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的值； (3)求函数在上的最小值. 【变式16-2】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数是上的奇函数， (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【考点题型十七】恒成立与能成立问题 核心方法：判别法+变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例17-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数. (1)证明：函数在区间上单调递增； (2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围. 【例17-2】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数. (1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； (2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围. 【变式17-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义域是的奇函数，当时，. (1)若，求的值； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【变式17-2】（24-25高一上·湖北·阶段练习）设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【考点题型十八】抽象函数综合问题 【例18】（24-25高一上·湖北·期中）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. (1)证明：是偶函数； (2)如果，解不等式. 【变式18-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 【变式18-2】（24-25高一上·江西景德镇·期中）设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明. (3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题 【例19】（24-25高一上·湖北·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 【变式19-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函数对任意的均有，则称函数具有性质. (1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由； (2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质； (3)若函数具有性质，且，求证：对任意，，均有. 【变式19-2】（24-25高一上·山东青岛·期中）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. (1)求函数的所有“保值”区间； (2)判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； (3)已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津北辰·期中）已知函数，其中为奇函数，若，则（   ） A．2017 B．2018 C．2023 D．2022 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 10．（24-25高一上·吉林·期中）已知是定义在R上的奇函数，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 三、填空题 11．（24-25高一上·福建厦门·期中）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是 . 12．（24-25高一上·广东广州·期中）定义：，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义域为上的奇函数． (1)求，的值； (2)证明：在定义域内是单调递减函数； (3)解关于的不等式． 14．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知函数为上的奇函数，当时，. (1)请在坐标系中画出的图象，并写出的解析式; (2)当时，求关于x的不等式的解集. 15．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 16．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. (3)若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有 当函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 函数的基本性质 （单调性、奇偶性、对称性、周期性） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【清单02】函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【清单03】函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【清单04】函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【清单05】幂函数的图象与性质 5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 5.2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 【考点题型一】函数图象识别 核心方法：特殊值法，单调性，奇偶性，零点，极限法 【例1-1】（24-25高一上·广东清远·期中）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】求出函数的奇偶性，并代入特殊函数值，判断出答案. 【详解】的定义域为R，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 又，B错误，A正确. 故选：A 【例1-2】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数的定义域，特殊值点以及分子分母的增长速度，结合选项即可得到答案. 【详解】根据函数的解析式，易知该函数的定义域为，故选项A错误；令，得，故选项B错误； 当时，的增长速度远大于，所以当时，，故选项D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】根据函数定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由题知函数的定义域为，， 所以函数为偶函数，排除C，D，令，得，排除A，故B正确. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用 【分析】研究函数的定义域、奇偶性与特殊点即可选出. 【详解】解：因为的定义域为， 所以， 所以函数为偶函数. 图象关于轴对称，所以可排除CD； 又因为，排除B,所以A正确. 故选：A 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 核心方法：证明单调性只能用定义法 判断单调性：①（）；②（）③图象法 【例2】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知函数，．    (1)画出当时，函数的图象； (2)探究函数的单调性． 【答案】(1)如图所示 (2)答案见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、画出具体函数图象 【分析】（1）根据题意，利用描点法画出草图即可； （2）分情况讨论，结合单调性定义证明即可. 【详解】（1）当时，.图象如下：    （2）当时，， ，越大，反比例函数知道也越大，则也增大， 则在上单调递增.在上也单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，. 设,,且, 则 . 因为,所以,, 当,时,,此时函数为减函数; 当,时,,此时函数为增函数. 综上,函数在上为减函数,在上为增函数. 且，则为奇函数，在对称区间单调性相同. 则在上单调递增，在单调递减. 综上所得， 当时, 在上单调递增,在上也单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递增，在单调递减; 在上单调递减，在上单调递增. 【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明 .   【答案】(1) (2)在上为减函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值 【分析】（1）待定系数法得到方程，求出，，则； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）根据题意函数的图象过点和， 则，， 解得，， 则； （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 【变式2-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数． (1)求函数的解析式． (2)判断函数的单调性并证明； 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求解析式中的参数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由已知，代入函数，可求得，即可求得函数的解析式； （2）利用函数单调性定义即可证明； 【详解】（1）由题意，， 得， 从而可得， 则函数的解析式为． （2）任取，设， 则 ， 当时，， 则，即， 则在上单调递减； 当时，， 则，即， 则在上单调递增； 【考点题型三】求函数的单调区间 核心方法：图象法 【例3】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间、判断二次函数的单调性和求解单调区间、分段函数的单调性 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 【变式3-1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【知识点】求函数的单调区间 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【考点题型四】求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域） 核心方法：同增异减 【例4】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 【考点题型五】根据函数单调性求参数 核心方法：图象法 【例5-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】分段函数单调性，保证两段都单调递减，考虑端点即可. 【详解】根据题意得到，，解得，即. 故选：A. 【例5-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】化简可得，根据单调性可得，求出函数的减区间，可得出区间的包含关系，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 且函数在上单调递减，则，解得或， 则函数的减区间为、，由题意可得，可得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 【变式5-2】（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式组，解不等式即可. 【详解】由已知函数在上单调递减， 当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则，即， 又结合分段函数可知，综上所述. 故选：D. 【考点题型六】判断函数的奇偶性 核心方法：①定义法 ②图象法 ③性质法 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【例6】（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 【答案】①②④ 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④ 【变式6-1】（24-25高一上·甘肃武威·期中）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、分段函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】BC选项可以用常见函数的函数图形得到奇偶性和单调性，A选项由奇函数的定义来判断，并判断上的单调性，得到在定义域上的单调性；D选项由奇函数的定义判断，再用分段函数单调性的判断来得到函数单调区间. 【详解】A选项：定义域为：，，当时，， 由二次函数图像可知，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，A选项正确； B选项：由反比例函数图像可知，函数是奇函数，但是在区间上单调递减， 但在定义域上不单调，所以B选项错误； C选项：由二次函数的图像可知，函数是偶函数，所以C选项错误； D选项：当时，，，所以是奇函数， 由解析式可知咋和上单调递减，又∵， ∴在定义域上不单调，D选项错误. 故选：A 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用单调性和奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，在区间上单调递减，且为偶函数，故A正确； 对于B，，则为奇函数，故B错误； 对于C，，则为奇函数，故C错误； 对于D，在区间上单调递减，且为偶函数，故D正确； 故选：AD 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 核心方法：奇偶性定义 【例7】（24-25高一上·四川成都·期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 【变式7-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数，且，则（   ）. A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】结合题意利用奇函数的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：. 【变式7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）若函数为奇函数，则实数 . 【答案】2 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义，即对于任意实数，都有根据这个定义列出等式，然后通过化简等式来求解实数的值. 【详解】因为为奇函数，所以. 先求出，将换为，可得. 而. 所以. . 展开左边式子. 展开右边式子. 左右两边的系数应该相等，，解得. 故答案为：2. 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 核心方法：奇偶性+单调性（特别注意容易忽视定义域） 【例8-1】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且对任意，当时，总有，则满足的x的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题意得在上是增函数，根据奇偶性可得在上也是增函数，，由单调性即可求解. 【详解】由题意可知，在上是增函数， 而为奇函数，故在上也是增函数，所以在R上单调递增. 因为， 所以，即， 所以，解得. 故选：. 【例8-2】（24-25高一上·天津南开）定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质将不等式转化为，再根据单调性可解得结果. 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以等价于， 因为当时，为减函数， 则，解得，或， 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据条件可得函数在上单调递增，原不等式可化为，则，即可求解. 【详解】解：由题意可得在上单调递增， 又为偶函数，则不等式等价于， 所以，解得， 即满足题意的x取值范围为： 故选：C 【变式8-2】（24-25高一上·天津津南·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性列不等式来求得不等式的解集. 【详解】由于是偶函数，图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 在上单调递减，所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 由得， 所以，所以不等式的解集为. 故选：C 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【例9】（24-25高三上·辽宁锦州·期中）已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（   ） A．2024 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先利用函数的奇偶性及其对称性推导得到的周期为，进而利用函数的周期性求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以，即， 又因为函数的图象关于点对称， 所以，进而可得： 又，所以，即， 所以函数的周期为4， 所以. 故选：D 【变式9-1】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据函数的对称性、奇偶性及周期性的性质推导可得. 【详解】因为为奇函数，所以，则， 所以关于对称且，则，， 又为偶函数，所以，所以， 故，所以为偶函数，故C正确； 所以， 即，所以是以为周期的周期函数， 则，故D正确； 又，故A正确； 因为，由于无法确定，所以无法确定，故B错误. 故选：ACD 【变式9-2】（多选）（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．为偶函数 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数的对称性、奇偶性、周期性逐项判断即可. 【详解】∵，则的图象关于直线对称，故A正确，B错误； ∵函数的图象关于直线对称，则，又， ∴，则， 即，∴函数的周期为8， 则，故C正确； ∵， 所以为奇函数，故D错误． 故选：AC. 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【例10】（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C．存在函数，使得对，都有 D． 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】依据函数奇偶性定义即可得出，即可判断A正确；结合奇偶性和对称性计算可得是以8为周期的周期函数，利用周期性计算可得，即B正确，D正确；利用反证法假设C选项成立，可得的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误. 【详解】对于A，根据题意由可得； 又为奇函数，联立， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，即A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 可得，即，所以， 即是以8为周期的周期函数，可知B正确； 对于C，假设存在函数，使得对，都有， 由，， 可得，，可得； 因此，又， 即的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误. 对于D，易知，由可得， 又，所以； 所以，即D正确； 故选：ABD 【点睛】求解函数对称性、奇偶性、周期性等性质综合性问题时，要充分利用已有性质推出第三个性质进行综合运用进而实现问题求解. 【变式10-1】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．的一个周期是3 C．的一个对称中心是 D． 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】根据的周期性，奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，可得， 所以有，所以是周期为的周期函数，选项B正确； 又是上的奇函数，知，可得， 无法确定，的值，选项A错误； 由，及，可得， 所以的图象关于点对称，选项C正确； 由的周期为3， 得，选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 【变式10-2】（多选）（24-25高三上·甘肃金昌·期中）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于轴对称 C． D．若函数满足，则 【答案】ABD 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质，结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由函数是奇函数，得， 由，得，A正确； 对于B，由是奇函数，得，即， 又，则，即， 因此，为偶函数，的图象关于轴对称，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，，函数是以为4周期的周期函数， 由，得， ， 于是是以4为周期的函数， ， 由，得，， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【例11】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】设，求出，再利用函数的奇偶性得出. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数， 所以， 即时，的解析式为. 故答案为： 【变式11-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数性质先求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，， 所以，即，此时， 则当时，，， 所以． 故答案为：． 【变式11-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 【考点题型十二】求分段函数的单调区间 【例12】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明）； (2)求集合M={m|使方程有两个不相等的实根}. 【答案】(1)答案见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为和 (2)M={m|m>4或m=0}. 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围、根据图像判断函数单调性、分段函数的单调性 【分析】（1）化简函数的解析式，再画出函数的图象，即得函数的单调区间； （2）当 时，取最大值4，利用数形结合分析得解. 【详解】（1）当时，得或 ， ， 当时，得，， 即. 函数的图象如图所示，单调递增区间为和，单调递减区间为和. （2）当 时， ， 当时，取最大值4. 由题意可知，函数与y=m的图象有两个不同的交点， 故集合M={m|m>4或m=0}. 【变式12-1】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．    (1)求函数在上的解析式； (2)画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1) (2)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为，值域为. 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、分段函数的值域或最值、分段函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的性质先求出，再根据奇函数性性质求出时的解析式，即可得答案. （2）根据函数解析式可作出函数图象，由图象可得函数的单调区间以及值域. 【详解】（1）由题意知函数是定义在上的奇函数，故； 当时，， 则时，，故， 函数在上的解析式为. （2）画出函数的图像如图：    由图可知，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，值域为. 【变式12-2】（23-24高一上·天津）函数的单调递增区间为 .（用开区间表示） 【答案】 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、分段函数的单调性 【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递增； 当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递减； 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【考点题型十三】根据分段函数的单调性求参数 【例13】（24-25高一上·河南洛阳·期中）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】分段函数单调递增，需要满足在每一段上函数都是单调递增的，并且在分段点处左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.我们将分别分析两段函数的单调性，再根据分段点处的条件确定的取值范围. 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得.    当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到.    在处，需要满足，即， 解得.   综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 【变式13-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据时的单调性可确定在上的单调性，结合二次函数性质和分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果. 【详解】当时，单调递增， 在上单调递增，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 【变式13-2】（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】由分段函数的两段均递增，且临界点左小右大（最多相等）列不等式组可得． 【详解】若使在上单调递增，则； 若使在上单调递增，则. 若使函数在上单调递增，则， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：， 【考点题型十四】分段函数的值域或最值问题 核心方法：图象法 【例14】（24-25高一上·天津·期中）给定函数，，用表示函数，中的较大者，即,，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示：    由图象可知，当时，取得最小值为． 故选：C． 【变式14-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．12 【答案】C 【知识点】函数图象的应用、分段函数的值域或最值 【分析】利用新定义，将写成分段函数，画出图象即可求出最小值. 【详解】 则的图象如下： ∴当或时，有最小值3. 故选：C. 【变式14-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）定义运算，已知函数，则的最大值为 . 【答案】9 【知识点】指数函数图像应用、分段函数的值域或最值 【分析】根据的含义及函数与函数的单调性可得分段函数的解析式及单调性，可得最大值. 【详解】由题意得，表示与的最小值， ∵在上单调递减，在上单调递增，且时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴. 故答案为：9. 【考点题型十五】二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 核心方法：配方法+图象法 【例15】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式 【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 则. （2）由（1）可知，则的图象关于直线对称. 由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 因为，，所以. 故在上的值域是. 【变式15-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】利用配方法可得出函数的最小值. 【详解】因为，故. 故选：A. 【变式15-2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】求出二次函数在区间上的单调性，进而可求最大值和最小值. 【详解】二次函数开口向上，对称轴, 所以在单调递减，在单调递增， 所以, 因为比远离对称轴，所以, 所以 故答案为： 【考点题型十六】二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 核心方法：图象法+分类讨论 【例16-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）由可得，即关于的不等式，求解即可； （2）得二次函数的对称轴，然后分，，三种情况分类讨论即可； （3）在（2）的基础上分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，解得； 故实数取值范围为. （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在上单调递减，故； 综上所述； （3）由（2）可知 当时，在上单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为； 综上所述的最大值为. 【例16-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；    (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为，单调递增区间为, (2) (3) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值、函数奇偶性的应用 【分析】（1）利用偶函数的图象关于轴对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据偶函数的定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称， 则函数图象如图所示，    故函数的单调递减区间为，单调递增区间为,． （2）令，则，则， 又因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 所以． （3）当时，， 则，其对称轴为， 因为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 故． 【变式16-1】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数 (1)若函数 是偶函数，求实数k的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的值； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）运用偶函数性质得解；（2）运用韦达定理可解；（3）分类讨论，结合图像得到最值. 【详解】（1）∵ 函数是偶函数， ， 即 整理解得 （2）不等式的解集为，所以 是方程得两根，运用韦达定理，得到，解得 （3）由于     ①当 即时，在上单调递增， 所以. ②当 即时， 则 ③当 即时，在上单调递减， 所以 则. 【变式16-2】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数是上的奇函数， (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，再利用条件，可求得，即可求解； （2）利用函数单调性的定义得到在区间上单调递减，从而得到，令，将问题转化成求的值域，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，则， 又，，得到，所以， 此时有，所以，，满足题意，故实数，. （2）由（1）知，任取， 则， 因为，则，得到， 所以，即，所以在区间上单调递减， 所以时，， 令，由， 得到，对称轴为， 当时，在区间上单调递增，此时，， 当时，在区间上单调递减，此时，， 当时，， ①时，， ②是，， 综上，当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为. 【考点题型十七】恒成立与能成立问题 核心方法：判别法+变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例17-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数. (1)证明：函数在区间上单调递增； (2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数单调性的定义按照步骤进行证明即可； （2）将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论. 【详解】（1）证明：设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在区间上单调递增， （2）由（1）知，函数在区间上单调递增， 所以当时，， 则问题转化为，当时，恒成立 又函数在上单调递减，所以， 所以，解得， 故实数的取值范围为 【例17-2】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数. (1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； (2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论即可； （2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答. 【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则符合题意， 当时，取，则成立，即有实数解，于是符合题意， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解， 当且仅当，从而得， 综上，，所以实数a的取值范围是. （2）不等式对于实数时恒成立，即，， 显然，函数在上递增，从而得， 即，解得，所以实数x的取值范围是. 【变式17-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义域是的奇函数，当时，. (1)若，求的值； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数不等式恒成立问题、求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）代入后求得，再利用奇函数的性质即可得解； （2）根据题意，考虑在上的单调性，利用二次函数的单调性即可得解； （3）利用函数的奇偶性求得当时，的解析式，再利用参变分离法与二次函数的最值性质即可得解. 【详解】（1）当，时，， 则， 又定义域是的奇函数，所以. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以此时只需考虑在上的单调性即可， 因为当时，，其图象开口向下，对称轴为， 所以，解得，即的取值范围为. （3）因为不等式在区间上恒成立， 所以此时只需考虑在上的解析式即可， 当，时，， 当时，，则， 又定义域是的奇函数，所以， 因为不等式在区间上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则， 而， 当且仅当时，等号成立，则， 所以，即. 【变式17-2】（24-25高一上·湖北·阶段练习）设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）求解在上的值域，进而根据与的子集关系，求解的范围即可， （3）作出的图象，对分类讨论，求解的最值，即可根据分类讨论得解. 【详解】（1）当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故 由图可知：的值域为 （2）函数， 由于，，所以，故， 当时，， 在单调递减，在单调递增， 且，故在取最大值，在取最小值 故， 当时，，在单调递增， 若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集， 故，解得，或者，解得 综上，所求的范围为. （3）令，解得或， 故的图象如下： ，即 当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去， 当时，，此时在上的最大值为，最小为 只需要，，解得， 当时，，此时在上的最大值为， 只需要，且且，无解， 综上可得： 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【考点题型十八】抽象函数综合问题 【例18】（24-25高一上·湖北·期中）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. (1)证明：是偶函数； (2)如果，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）令，从而得到，即可证明； （2）通过赋值代换得，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得，再令，得， 从而，于是有， 所以是偶函数. （2）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（1）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数， 所以可得， 解得，所以不等式的解集为. 【变式18-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）令和计算即可； （2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可； （3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式. 【详解】（1）令，则； 令，则； （2）易知函数定义域关于原点对称， 令，则，满足偶函数的定义，证毕； （3）令，易知， 则， 所以在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 所以， 则， ，即， 即不等式的解集为. 【变式18-2】（24-25高一上·江西景德镇·期中）设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明. (3)定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 【答案】(1), (2)偶函数，证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性 【分析】（1）令，得，令，得，从而得到，再令，确定出的范围，从而得到； （2）令，结合，可得为偶函数； （3），得周期为2，再分别令，，可得，，从而得到，结合周期性，得到答案. 【详解】（1）由于不恒为0，故存在，使， 令，则，所以， 令，由，由 令，得，所以得到， 又令，， 因为当时，，所以， 所以，，故； （2）定义域为, 令，得， 因为，所以，所以为偶函数； （3）由，取，得， 又为偶函数，则，即是以2为周期的周期函数； 令，得，即， 再令，得，即. 而，解得，， 由得，， 所以， 又由于是以2为周期的周期函数， 所以 【点睛】关键点点睛：求抽象函数的值，判断抽象函数的奇偶性和周期性，利用赋值法求抽象函数的函数值是一种常用的方法. 【考点题型十九】函数基本性质中的新定义问题 【例19】（24-25高一上·湖北·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）在区间上单调递增，又，满足“优美区间”的定义； （2）根据的定义域，可设或，由单调性得到，两式相减，化简得到，代入方程组，得到，原方程无解，故函数不存在“优美区间”； （3）根据函数定义域得到或，分离常数得到在上单调递增，故，是方程，即的两个同号且不等的实数根，根据，求出或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，当时，取得最大值. 【详解】（1）在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2），设， 可设或， 则函数在上单调递减. 若是的“优美区间”，则 两式相减可得：， 又，所以，即， 代入方程组，得到，原方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3），设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程， 即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【变式19-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函数对任意的均有，则称函数具有性质. (1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由； (2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质； (3)若函数具有性质，且，求证：对任意，，均有. 【答案】(1)函数①具有性质；函数②不具有性质 (2)函数具有性质，证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义 【分析】（1）利用题中定义以及所给的函数，结合基本不等式，可以检验函数①是否具有性质，代入特殊值，即可检验函数②是否具有性质； （2）分别讨论为有理数和无理数，根据题中所给的定义以及函数，检验计算，即可判断； （3）利用反证法，结合所给的定义进行推理，即可证明． 【详解】（1）函数①，且， 则， 所以， 故， 所以函数①具有性质； ②不具有性质， 比如当时，， 不满足定义， 故函数②不具有性质； （2）函数具有性质，理由如下： 当为有理数时， ， 所以此时函数具有性质； 当为无理数时， ， 所以此时函数具有性质， 综上所述，函数具有性质； （3）证明：假设为，，，中第一个大于0的值， 则， 因为具有性质， 则， 所以， 则（1）， 这与，矛盾， 故假设不成立， 则原命题成立， 所以对任意，均有． 【变式19-2】（24-25高一上·山东青岛·期中）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. (1)求函数的所有“保值”区间； (2)判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； (3)已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)3. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数新定义 【分析】（1）由函数最小值确定的范围，再借助单调性建立方程，求出“保值”区间. （2）假定存在“保值”区间，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可. （3）由“保值”区间的定义建立方程，再利用韦达定理结合二次函数最值求解即得. 【详解】（1）函数在R上的值域为，令在的值域为， 则，函数在上单调递增，因此，而，解得， 所以函数的所有“保值”区间为. （2）函数在上单调递增， 若是在的保值区间，则， 是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间. （3）函数在上单调递增， 依题意，，是方程同号的两个不等实根， 即是关于的方程同号的两个不等实根， ，解得或，于是， ， 当且仅当时取等号， 所以当取得最大值时，的值为3. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定的函数，构造函数并利用奇偶性求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令，定义域为， ，即函数是奇函数， 于是，，即， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得. 【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增， 故有，解得. 故选：D. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】首先分析函数的单调性与取值特征，即可画出函数图象，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，所以在上单调递减且， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，则的图象如下所示： 因为在上的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A 5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】复合函数求值域，先令根号内的函数为新函数，利用配方法得到函数值域，再由外函数的单调性得到最值，从而求出值域. 【详解】令， ∵在上单调递减， 且当时，， ∴. 故选：A. 6．（24-25高一上·天津北辰·期中）已知函数，其中为奇函数，若，则（   ） A．2017 B．2018 C．2023 D．2022 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】构造，应用奇偶性定义判断奇偶性，再应用奇偶性求. 【详解】令，则，又为奇函数， 所以，即为奇函数，则， 所以，又， 所以. 故选：A 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的单调性解不等式、奇偶函数对称性的应用 【分析】由题意可得在上单调递增，不等式对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，求与即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增. 因为不等式对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 即对于一切恒成立. 设， 则. 因为的开口向上，且，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选:C. 8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】易得在R上递增，且是奇函数，再由，得到，然后利用“1”的代换，用基本不等式求解. 【详解】因为，所以在R上递增， 又，所以是奇函数， 因为，所以，则，即， 则， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是， 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 【答案】ABC 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】采用赋值法可判断AB的真假；证明函数在上的单调性，判断C的真假，研究的值，判断D的真假. 【详解】对A：令得：.故A正确； 对B：由题意，故B正确； 对C：设，则 ， 因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC 10．（24-25高一上·吉林·期中）已知是定义在R上的奇函数，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用 【分析】由奇函数性质和已知等式得出，然后计算判断A，然后根据对称性的概念及性质判断BCD． 【详解】因为，所以.因为是奇函数，所以， 则，所以，则A正确. 因为，即，所以的图象不关于直线对称，则B错误. 因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称， 即是偶函数，则C正确. 因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称， 因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点中心对称，则D正确. 故选：ACD． 三、填空题 11．（24-25高一上·福建厦门·期中）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】考虑的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为， 当，即时，此时存在，使得，满足题意； 当，即时，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 要想存在，且，使得， 则，解得：， 与取交集得：. 综上：的取值范圃为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）定义：，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据定义,求出时的解析式,由奇函数求出另一边的解析式,进而可画出函数的图象,由可得且,解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数,所以, 当时,由,解得, 由,解得 所以, 因为是定义域为的奇函数， 所以当时， 当时,由,得, 当时,由,得, 作出函数的图象如图所示,    因为对任意,都有, 所以将的图象向右平移2个单位后,图象在的非下方, 所以且, 解得,且, 即实数的取值范围是. 故答案为:. 四、解答题 13．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义域为上的奇函数． (1)求，的值； (2)证明：在定义域内是单调递减函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由和奇函数的性质可得； （2）利用立方差公式结合函数单调性的定义证明即可； （3）由奇函数和递减函数解抽象函数不等式即可； 【详解】（1）由题意可得，即， 又时，是奇函数，所以 即，可得， 所以，. （2）由（1）可得， 设， ，① 因为， 所以， 所以①，即在定义域内是单调递减函数. （3）因为是奇函数， 所以原不等式可化为， 又在定义域内是单调递减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 14．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知函数为上的奇函数，当时，. (1)请在坐标系中画出的图象，并写出的解析式; (2)当时，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)，作图见解析 (2)答案见解析 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用函数的奇偶性求出解析式并作出函数图象即可. （2）当时，原不等式等价于 ，利用分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，，， 由在上为奇函数得，， ∴， 图象如图所示： （2）当时，， 整理得，即， ∵，∴，∴， 当时，不等式解集为. 当时，不等式解集为 . 15．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数a的取值范围为. 16．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. (3)若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有 当函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)对称中心为，8092 (3) 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据，即，然后换元，即可证明结论； 根据，求出a、b，然后发现规律：，，，累加即可求解； 根据，得到，然后将代入并整理得到，根据单调性得到，求解k的取值范围即可. 【详解】（1）由已知得：，即， 设，则， 整理，得：，即证； （2）， ， 因为为奇函数，可得：，， 故函数的对称中心为， 由发现规律：，，， 问题中累加求和式子； （3）因为，都有， 令，则有，解得， 所以图象关于点中心对称， 由问题中不等式可得：， ， 所以， 整理得：， 则：， 定义域为，定义域为， 又且在其定义域内单调递增， 在其定义域内单调递增， ， 解得： 【点睛】方法点睛：抽象函数求解不等式，一般通过构造函数，确定函数奇偶性和单调性，通过去“”处理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$