专题06 期末解答压轴题（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题06 期末解答压轴题（九大题型） 直接由新定义求参数范围 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”. （1）证明函数是“正函数”； （2）如果函数不是“正函数”，求正数a的取值范围. （3）如果函数是“正函数”，求正数a的取值范围. 抽象函数、抽象函数与新定义题 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. 3．（23-24高一上·上海·期末）若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有， (1)比较与的大小关系； (2)判断是否为上的增函数，并说明理由； (3)证明：当时，． 4．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数” (1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由； (2)当时，证明：是“J形函数”； (3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围. 用定义法证明函数的单调性、奇偶性等 6．（23-24高一上·上海·期末）设常数，函数. (1)当时，①求函数值域；②判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由. 7．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 8．（22-23高一上·上海奉贤·期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 零点问题 9．（18-19高一上·上海浦东新·期末）已知函数 （1）当时，求证在上是单调递减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的零点个数. 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质 (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点. 11．（23-24高一上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 恒成立问题 12．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）已知函数，记. (1)解不等式：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中，均为实数），若对于任意的，均有，求，的值. 13．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 题型6 最值问题 14．（23-24高一上·上海松江·期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” (1)若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： (2)判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； (3)若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 15．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，记（）. (1)若，解不等式：； (2)设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 16．（2002高三·湖南·竞赛）设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）. （1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：； （2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值. 17．（23-24高一上·上海·期末）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． (1)若，证明：； (2)若，且，求实数a的取值范围； (3)若，且，求函数的最小值． 题型7 函数的奇偶性、对称性的应用 18．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中a，m为实数，且. (1)当时，求实数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)试求满足的所有的实数的值. 19．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 20．（23-24高一上·上海嘉定·期末）对于定义域为R的函数，定义，设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，总有，则称是的“函数”. (1)判断函数，是否存在“函数”，并说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得; (3)若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·上海·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”． (1)已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由； (2)若是上的“1阶局部奇函数”，求实数的取值范围； (3)若，对任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求整数k取值的集合． 题型8 函数与方程的综合应用 22．（23-24高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，若同时满足以下条件： ①在上是严格增函数或严格减函数； ②存在区间，使函数在上的值域是，则称函数为闭函数. (1)求闭函数符合条件②的区间； (2)函数是闭函数吗？若是，说明理由，写出区间，若不是，说明理由； (3)若函数是闭函数，求实数的取值范围. 23．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； (2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (3)求函数在内的“区间”． 24．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 题型9 其他问题 25．（23-24高一上·上海·期末）设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. (1)若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； (2)设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； (3)设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 26．（2021高一上·江苏·专题练习）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期末解答压轴题（九大题型） 直接由新定义求参数范围 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”. （1）证明函数是“正函数”； （2）如果函数不是“正函数”，求正数a的取值范围. （3）如果函数是“正函数”，求正数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，（2）（3） 【解析】（1）有题知：，即证. （2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可. （3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可. 【解析】（1）. 函数值恒为正数，故函数是“正函数”. （2）当时，， 显然不是“正函数”. 当时 假设为“正函数”.则恒大于零. . 所以，即 所以不是“正函数”时， . 综上：. （3）有题知：若函数是“正函数”， 则或. 解得：或. 【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题. 抽象函数、抽象函数与新定义题 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为C函数，证明见解析 【分析】（1）利用对数式的运算，证明即可； （2）由单调性可得，整理变形后有，可得. 【解析】（1）证明： ，， 则有 ， ， 所以函数是C函数. （2）一定为C函数,证明如下： 函数是上的严格减函数，任取，有， 则，即， 变形为， 两式相加得， 由，则，所以为C函数. 【点睛】方法点睛： 函数新定义问题，要紧紧围绕所给定义，由定义中的规则和运算性质对各种结论进行判断. 3．（23-24高一上·上海·期末）若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有， (1)比较与的大小关系； (2)判断是否为上的增函数，并说明理由； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)函数在上不为增函数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得分，，两种情况讨论，得出矛盾，从而得到，进而得到； （2）令函数，其中，结合单调性的定义，即可得到结论； （3）由（1）知，恒成立，结合时，得到，再分和，分别证得和，进而证得结论. 【解析】（1）解：当时， 都有， 若， 可得， 则， 此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）； 若， 可得， 则， 此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）； 所以，当时，有， 此时函数在区间上有最小值和最大值， 因为时，函数无最小值， 所以，当，有，即， 若，则，可得， 此时函数时，函数存在最小值，矛盾， 综上可得，. （2）解：函数在上不为增函数， 例如：函数，其中， 显然函数满足题设，例如，如图所示， 所以，任取，且时，不恒满足， 故在不为增函数. （3）证明：由（1）知，当时，恒成立， 又由 所以，当时，可得，即， 所以当时，则存在正整数使得， 则， 所以当时，，同理可证：当时，， 所以，当时，必然存在正整数，使得，所以， 当时，，显然成立； 综上可得：当时，. 【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解： 1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化； 2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解. 4．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】(1)是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【解析】（1）对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数” (1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由； (2)当时，证明：是“J形函数”； (3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)否，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）作差可得，根据的任意性，无法判断该式符号，即可说明； （2）作差可得，即可证明得出结论； （3）代入化简可得，.由“J形函数”的概念整理化简可得，，进而即可得出实数a的取值范围. 【解析】（1）解：不是“J形函数”，理由如下： 当时，有，，， 则. 因为，所以与0的关系不确定， 不能得出，所以不是“J形函数”. （2）证明：当时，有，，， 则， 所以， 显然有对恒成立， 所以有对恒成立， 所以是“J形函数”. （3）解：由已知可得，，， 所以. 因为函数为“J形函数”， 所以有， 即. 由，可得； 由可得，. 当时，该式恒成立，满足； 当时，有恒成立. 因为，所以. 综上可得，或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简.只要得出恒成立，即可说明是“J形函数”. 用定义法证明函数的单调性、奇偶性等 6．（23-24高一上·上海·期末）设常数，函数. (1)当时，①求函数值域；②判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)①；②单调递减，证明见解析； (2)答案见解析； 【分析】（1）将代入并利用分离常数法由指数函数值域代入计算即可求得其值域；利用函数单调性定义按照步骤证明即可得函数在区间上单调递减； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用定义即可判断出不同情况下函数的奇偶性； 【解析】（1）时可得，易知其定义域满足， 因此的定义域为； ①又， 当时，，，所以； 当时，，，所以； 因此函数的值域为； ②取，且， 则 ， 显然时，，； 所以，即， 即可得函数在区间上单调递减； （2）由于，显然当时，，其定义域为实数， 且满足，此时函数为偶函数； 当时，，其定义域为实数， 且满足，此时函数为奇函数； 当或时，函数的定义域为， 显然此时定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶奇函数； 综上可知，当时，函数为偶函数； 当时，函数为奇函数； 当或时，函数为非奇非偶奇函数； 7．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【解析】（1）因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； （3）不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 8．（22-23高一上·上海奉贤·期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 【答案】(1)函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“m级”性质的定义可说明在R上具有“1级”性质，利用特殊值可判断在R上不具有“1级”性质； （2）根据“m级”性质的定义即可证明结论； （3）任取，讨论是同时属于或，还是一个属于，另一个属于，结合“1级”性质的含义，说明在区间上满足定义，即可证明结论. 【解析】（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下： 对于，任意，， 故在R上具有“1级”性质； 对于，，则， 故在R上不具有“1级”性质； （2）函数在R具有“m级”性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数a，，则， 设，则 ，（m为正整数）， 故函数具有“m级”性质； （3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质， 即对于任意，均有， 对于任意，均有， 故任取，若同时属于或，则成立； 若中一个属于，另一个属于，不妨设，， 则 ， 综合上述，对于任意，均有， 故函数在区间上具有“1级”性质． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中证明函数在区间上具有“1级”性质，解答时要首先理解“1级”性质的定义，然后要分类讨论任取所处区间，分别说明均符合“1级”性质的定义，即可证明结论. 零点问题 9．（18-19高一上·上海浦东新·期末）已知函数 （1）当时，求证在上是单调递减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）证明见解析. （2）.（3）见解析 【分析】（1）先求出，再利用函数的单调性的定义证明；（2）等价于恒成立，再换元利用二次函数的最值解答得解；（3）得，再令，结合函数的图象分析分类讨论得解. 【解析】（1）当时， 因为，所以， 设， 所以 因为， 所以， 所以. 所以在上是单调递减函数； （2）因为对任意的，不等式恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 设，所以在上恒成立， 当t＞0时，的最大值为，此时. 所以. （3）令得 所以，令 作图得函数的图象为：    当时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【点睛】本题主要考查函数的单调性的证明和不等式的恒成立问题，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质 (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对任意，都有，代入即可得出答案； （2）设，利用零点存在性定理即可证得结论； （3）令，可知函数具有性质，分三种情况，结合零点存在性定理证得结论. 【解析】（1）函数具有性质， 所以对任意，都有， 令，则，所以． （2）函数具有性质的可知： 存在，使得，即，   设， 因为，， 所以在区间上函数存在零点，        取，则，此时函数具有性质． （3）令，可知的图像是一条连续不断的曲线， 因为函数具有性质，则，即， 可得，即函数具有性质， 若，则1即为零点； 因为，若，则，矛盾，故， 若，则，，， 可得. 取，即可使得， 又因为的图像连续不断， 所以，当时，函数在上存在零点， 当时，函数在上存在零点， 若，则由，可得， 由，可得， 由，可得. 取，即可使得， 又因为的图像连续不断， 所以，当时，函数在上存在零点， 当时，函数在上存在零点， 综上所述：函数在内存在零点，即函数在存在零点. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 11．（23-24高一上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意代入整理得，取系数为0 即可得解； （2）根据题意代入整理得，取值解即可判断； （3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知与在内有2个不同的交点，数形结合处理问题. 【解析】（1）函数具有“性质”， 因为，且， 则，整理得， 可得，解得， 所以函数是否具有“性质”，此时. （2）假设函数（且）具有“性质”， 则，则，解得， 整理得，则， 取，可得，解得； 取，可得，解得； 显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立， 假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”. （3）具有“性质”，则，可知关于点对称， 可得，即 又因为为定义域为的奇函数，则， 可得，即函数的周期为2， 令，则， 由题意可得：与在内有5个不同的交点， 注意到为奇函数，可知为与的一个交点， 由对称性可知：与在内有2个不同的交点， 作出在内的图象， 当过时，可得； 当过时，可得； 当过时，可得； 结合图象可知：实数的取值范围为. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 恒成立问题 12．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）已知函数，记. (1)解不等式：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中，均为实数），若对于任意的，均有，求，的值. 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】（1）原不等式即为，因式分解后可求不等式的解； （2）原方程有解即为在上有解，求出函数在上的值域后可求的取值范围； （3）原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后可得关于的不等式组，从而可求它们的值. 【解析】（1）因为，所以即， 所以 即， 故不等式的解为. （2）在有解即为在上有解， 整理得到在上有解， 故在上有解， 设， 因为为增函数，且在上为增函数， 故为增函数，故的值域为， 故的值域为， 故. （3）,令， 因为对任意的总成立， 故对任意的，分别取， 故，整理得到：， 故，故，从而，所以. 下证：在上恒成立. 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在上恒成立. 综上，，. 【点睛】思路点睛：已知含参数的不等式恒成立，要求其中参数的具体值，一般通过特例得到关于参数的不等式组，利用两边夹的方法得到参数的取值. 13．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【解析】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 题型6 最值问题 14．（23-24高一上·上海松江·期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” (1)若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： (2)判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； (3)若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数单调性，结合“等域区间”的定义，列式计算即得. （2）假定函数存在“等域区间”，结合函数单调性，构造方程，再判断方程解的情况即得. （3）借助的单调性及“等域区间”的定义，将问题转化为是方程的两个同号的实数根，再结合二次函数与韦达定理求解问题. 【解析】（1）函数是R上的增函数， 由区间是函数的“等域区间”，得，解得， 所以. （2）函数在和上都单调递增， 假设是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即方程有两个不等实根m，n， 而方程化为：，，即无实根， 所以函数不存在“等域区间”. （3）函数在和上均为增函数， 而是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即是方程的两个同号且不等的实根， 是方程，即的两个同号的不等实根， 于是，解得或， 此时，且， 因此， 所以当时，取得最大值. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 15．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，记（）. (1)若，解不等式：； (2)设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，， 【分析】（1）由题意将不等式转化为，因式分解后即可得解； （2）将原方程有解转化在上有解，利用层层函数的单调性求得在上的值域，从而得解； （3）原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得的最小值为，从而关于的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解. 【解析】（1）因为，， 当时，， 由，得，整理得， 即，所以 ，即， 故不等式的解集为. （2）当时，， 则， 因为存在实数，使得成立， 所以在上有解， 整理得到在上有解， 因为在上为增函数，则， 而为增函数，则， 而为减函数，则， 所以的值域为， 故. （3）因为， 所以， 令，，则， 因为对于任意的，均有， 所以对任意的恒成立， 分别取，得， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为， 此时，整理得， 故，故，从而，所以. 下证：在上恒成立. 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在上恒成立. 综上，，. 【点睛】思路点睛：已知含参数的不等式恒成立，要求其中参数的具体值，一般通过特例得到关于参数的不等式组，利用两边夹的方法得到参数的取值. 16．（2002高三·湖南·竞赛）设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）. （1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：； （2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值. 【答案】（1）见解析（2）4 【解析】（1）由条件得，. 不妨设，则 . 故. （2）依据题意，. 所以，. 故. 又任取，且，则. 由（1）知，，即，在区间上是增函数. 故. . 当且仅，即，亦即t = 0时取等号. 故的最小值为4. 17．（23-24高一上·上海·期末）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． (1)若，证明：； (2)若，且，求实数a的取值范围； (3)若，且，求函数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用集合定义证明即可； （2），化简，通过判别式小于0，求出的范围即可． （3）由，推出，得到对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时，分别求解最小值即可． 【解析】（1）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有， 则，，则， 所以，解得：， 不满足对定义域内任意x都有，． （2）由 ， 故； （3）由， 即 对任意都成立， 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递增， ； 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在单调递增， ； 当时，令在上单调递减，在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以． 综上：. 题型7 函数的奇偶性、对称性的应用 18．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中a，m为实数，且. (1)当时，求实数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)试求满足的所有的实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)或. 【分析】（1）根据得到； （2）求出，画出的图象，数形结合，要想恒成立，只需，求出答案； （3）数形结合，结合函数对称性得到不等式或方程，检验后，舍去不合要求的解，求出答案. 【解析】（1）时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， （2），由题意得， 解得， 当时，， 画出上的函数的图象， 令得，， 令得，， 结合图象，要想恒成立，只需， 解得， 又，故； （3）当时，，，满足要求， 令，解得，令，解得， 若，无解， 若，解得， 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，分别在上面两个区间内，满足要求， 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，均不在上面的两个区间内，不合要求，舍去； 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， ，均不在上面两区间内，不合要求，舍去； 故的解为或. 【点睛】求函数的零点或解，可用方程法，也可转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解. 19．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【答案】(1)不存在“函数”，理由见解析. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由即可判断； （2）根据题意，由“函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明； （3）根据题意，由“函数”的定义可得，若，均存在“函数”， 则存在“函数”，然后代入计算，即可得到结果. 【解析】（1），当时，，当时，， 因此，则该函数不存在“函数”． （2）充分性：若，则， 任取，，所以存在“函数”； 必要性：因为是奇函数，则，任取， 因为，是一个“函数”， 所以，则， 当时，则，， 所以，即， 所以，可得，从而有， 即是一个常数，设为，则. （3）假设，均存在“函数”，任取， 则，， 则， 则存在“函数”， 因此均存在“函数”， 令，定义域为关于原点对称， 且， 则是定义在上的奇函数， 由（2）可知，存在使得恒成立，则， 又时，若函数与函数均为“函数”，符合题意. 综上可知，. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题. 20．（23-24高一上·上海嘉定·期末）对于定义域为R的函数，定义，设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，总有，则称是的“函数”. (1)判断函数，是否存在“函数”，并说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得; (3)若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在“函数” (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意由判断 （2）由“函数”的定义，分别验证充分性和必要性 （3）先判断和函数为奇函数和“函数”，结合（2）可得结果 【解析】（1）因为， 当；当， 故，则该函数不存在“函数”； （2）充分性：若，则 任取时，总有，所以存在“函数； 必要性：因为，是奇函数，则，任取， 因为存在“函数，所以则， 当,，所以， 所以可得，从而有， 即是一个常数，设为k，则， 综上命题得证； （3）设函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，则， 则 则存在“函数”，因为此函数定义域为R，关于原点对称，且， 则是奇函数，由（2）知存在k使得恒成立， 则，又时均为“函数”符合题意， 综上可知，. 【点睛】理解函数新定义是解决问题的关键，并注意（2）的结论在（3）的应用 21．（23-24高一上·上海·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”． (1)已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由； (2)若是上的“1阶局部奇函数”，求实数的取值范围； (3)若，对任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求整数k取值的集合． 【答案】(1)函数为上的“2阶局部奇函数”，理由见解析. (2) (3) 【分析】根据新定义转化为方程解的问题即可解决. 【解析】（1）函数为上的“2阶局部奇函数”，理由如下： 原问题等价于判断关于的方程在上是否有解， 由得，，解得或， 所以方程在上有解， 即函数为上的“2阶局部奇函数”. （2）由是上的“1阶局部奇函数”，可知在上恒成立，可得，即， 存在，使得，即， 可得，即，解得， 综上. （3）问题等价于方程恒有解，即，整理得， 当时，解得，满足题意； 当时，，即，化简得对任意的实数恒成立， 是关于的一次函数且为上的增函数，故只需， 解得且， 综上，整数取值的集合. 题型8 函数与方程的综合应用 22．（23-24高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，若同时满足以下条件： ①在上是严格增函数或严格减函数； ②存在区间，使函数在上的值域是，则称函数为闭函数. (1)求闭函数符合条件②的区间； (2)函数是闭函数吗？若是，说明理由，写出区间，若不是，说明理由； (3)若函数是闭函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不是闭函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据的单调性，列出方程组即可求解； （2）取特殊值判断函数的单调性即可； （3）根据函数为闭函数，从而得到，为方程的两个实根，从而利用二次函数的图象与性质求得实数的取值范围． 【解析】（1）在单调递增， 区间满足解得； （2），， 取，则， 取，则， 取，则， 在上不是单调函数，不满足条件①， 不是闭函数； （3）在单调递增， 设满足条件②的区间为， 则有解， 即方程至少有两个不相同的实数根， 这等价于方程有两个大于等于的不相等的实数根， 解得. 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及函数单调性的应用，解题的关键是掌握“闭函数”的定义与性质，并进行灵活应用. 23．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； (2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (3)求函数在内的“区间”． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）写成分段形式，然后根据二次函数的单调性写出答案； （2）直接根据“区间”的定义计算判断； （3）设函数在内的“区间”为，列方程组，解方程组即可. 【解析】（1）由已知， 故函数的单调递增区间为和，可合并为， 若函数在区间上是严格增函数，则， 所以区间可以为； （2）对于区间，， 此时， 即函数在区间上的值域为，不符合“区间”的定义， 所以区间不是函数的一个“区间”； （3）设函数在内的“区间”为， 即函数在区间上的值域为 因为函数在上单调递减， 所以，即，， 即为方程的两根， 又 所以， 因为， 所以， 即“区间”为. 24．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【解析】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 题型9 其他问题 25．（23-24高一上·上海·期末）设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. (1)若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； (2)设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； (3)设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 【答案】(1)函数不在集合A上封闭，函数在集合A上封闭 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给新定义，利用函数单调性得出定义域为时的函数值域即可得解； （2）结合所给新定义，分、及进行讨论即可得； （3）利用反证法，由函数和的图象都是连续的曲线，运用零点的存在性定理中蕴含的思想，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 【解析】（1）由函数在区间上单调递增，故， 故函数不在集合A上封闭； 由函数在区间上单调递减，故， 此时有，故函数在集合A上封闭； （2）当时，由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时； 当时，由 ， 此时函数不可能在集合B上封闭； 当时， 由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时， 综上所述，的最大值为； （3）假设不存在，使得， 即对任意，， 由函数的图象是连续的曲线， 故对任意，恒成立或恒成立， 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 故存在，使得. 【点睛】关键点点睛：最后一问利用反证法，结合函数和的图象都是连续的曲线，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 26．（2021高一上·江苏·专题练习）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）根据新定义，求在上的值域即可得证； （2）根据“翻倍区间”的定义，得到函数需满足的方程，求解方程组即可得解； （3）由题意转化为单调递增且，再转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式求解即可. 【解析】（1）证明：由函数在上单调增函数知，的值域为， 故是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数，有 解得，， 由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而， 可得，解得， 由知可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$