专题03 直线的方程及其位置关系（考点清单+知识导图+16个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单03 直线的方程及其位置关系 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单02】两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【清单03】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【清单04】直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单05】直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单06】直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 【清单07】直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【清单08】两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【清单09】两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【清单10】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【清单11】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 【清单12】对称问题 点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ②整理得： 【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系 核心方法：图象法 【例1】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 核心方法：图象法 【例2】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 核心方法：图象+转化 【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【变式3-1】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【考点题型四】求直线方程 【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【变式4-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【考点题型五】两条直线平行与垂直关系的判定 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例5】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【变式5-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例6-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．12 B．20 C．26 D．32 【变式6-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线与.若，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式6-2】（24-25高二上·福建福州·期中）直线与直线平行，则 ． 【变式6-3】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线：，：，若，则的值为 . 【考点题型七】求平行，垂直的直线方程 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例7】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）求满足下列条件的直线的方程： (1)直线过点，且与直线平行； (2)直线过点，且与直线垂直. 【变式7-1】（24-25高二上·北京顺义·期中）经过点且与直线平行的直线方程为 （    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）过点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】直线过定点问题 核心方法：两条直线相交交点坐标 【例8】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标为 . 【变式8-2】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 核心方法：三角形面积公式 【例9】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为． (1)求边BC所在直线的方程； (2)求的面积． 【变式9-1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积. 【变式9-2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 核心方法：三角形面积公式+基本不等式 【例10】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【变式10-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线. (1)求原点到直线l距离的最大值： (2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 【变式10-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程 核心方法：分类讨论 【例11】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【变式11-1】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【变式11-2】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【考点题型十二】点关于直线对称点 【例12】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【变式12-1】（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为 ． 【变式12-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 核心方法：方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【变式13-1】（23-24高一下·江西抚州）与直线关于原点对称的直线的方程为 . 【变式13-2】（24-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线平行） 核心方法：直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【例14】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【变式14-1】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 【变式14-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线相交） 核心方法：对称性 【例15】（23-24高三上·湖北·阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【变式15-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【考点题型十六】将军饮马问题 核心方法：对称性 【例16】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【变式16-1】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 3．（24-25高二上·山东济南·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 8．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏常州·期中）设a为实数，直线，，则（   ） A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是 C．若，则或 D．恒过点 10．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 三、填空题 11．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 12．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·北京平谷·期中）求下列直线方程 (1)已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 14．（24-25高二上·河南三门峡·期中）已知三角形的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积； 15．（24-25高二上·江西景德镇·期中）过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 16．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 17．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，直线（为任意实数）过定点． (1)求定点的坐标． (2)直线经过点，且点到直线的距离为3，求直线的方程． (3)点在直线上运动，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 直线的方程及其位置关系 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单02】两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【清单03】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【清单04】直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单05】直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 【清单06】直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 【清单07】直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【清单08】两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【清单09】两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【清单10】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【清单11】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 【清单12】对称问题 点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ②整理得： 【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系 核心方法：图象法 【例1】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围. 【详解】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】按照的正负分类讨论． 【详解】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是， 综上，倾斜角范围是． 故选：B． 【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 核心方法：图象法 【例2】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可. 【详解】解：因为P，， 所以， 因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C．    【变式2-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【答案】D 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】记为点，求出的斜率，结合图象可得结论． 【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4]. 故选：D． 【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 核心方法：图象+转化 【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求分式型目标函数的最值、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 【变式3-1】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为3，最小值为 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，， 如图： 所以的最大值为3，最小值为. 【考点题型四】求直线方程 【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （3）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率， 则边上的高所在的直线斜率为， 直线又过， 所以边上的高所在的直线方程为， 即. （2）依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. （3）由题意知：, 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 【变式4-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【详解】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程：，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程：，整理得. 【考点题型五】两条直线平行与垂直关系的判定 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例5】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 【变式5-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【答案】（1）；（2）； 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】（1）计算的斜率，根据两直线斜率相等，即可判断出结论； （2）计算出，的斜率，根据斜率之积即可判断出结论. 【详解】（1）的斜率为2，经过两点， 则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同， 故； （2）的倾斜角为45°，且斜率为1， 经过两点，则的斜率为， 即两直线斜率之积等于，故. 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例6-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．12 B．20 C．26 D．32 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知直线垂直求参数 【分析】由垂直关系可构造关于a,b的方程，再结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由得：， 化简得：， ， 当且仅当时等号成立， 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线与.若，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 此时两直线方程分别为， 不重合，符合题意，所以. 故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·福建福州·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】-3 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程计算求出的值并检验即得. 【详解】依题意，可得且， 解得或，因，故. 故答案为：-3. 【变式6-3】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线：，：，若，则的值为 . 【答案】或 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线：，：， 由，得，所以或. 故答案为：或 【考点题型七】求平行，垂直的直线方程 核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1 【例7】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）求满足下列条件的直线的方程： (1)直线过点，且与直线平行； (2)直线过点，且与直线垂直. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】分别利用平行与垂直求出直线斜率，再由点斜式直线方程可得. 【详解】（1）直线与直线平行，可得的斜率. 又过点， 由点斜式可得：，即：. （2）由直线的斜率为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又过点，由点斜式可得：，即：. 【变式7-1】（24-25高二上·北京顺义·期中）经过点且与直线平行的直线方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】先根据直线平行设出直线方程，再代入点即可求解． 【详解】由直线经过点且与直线平行， 可设直线方程为：， 将代入，即，解得：， 故直线方程为：． 故选：B． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）过点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据两直线垂直设直线方程为，代入点坐标解出即可. 【详解】由题意可设与直线垂直的直线方程为， 代入点得，解得，则该直线方程为. 故选：B. 【考点题型八】直线过定点问题 核心方法：两条直线相交交点坐标 【例8】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线过定点问题 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 【变式8-1】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】整理成关于的方程，从而得到方程组，解出即可. 【详解】，即， 则，解得，则其经过定点. 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】化直线方程为，即可得出答案. 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 核心方法：三角形面积公式 【例9】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为． (1)求边BC所在直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】（1）利用，求出直线AC的方程，联立CD所在直线方程，解出，设利用中点坐标公式求解出，又因为在直线BE上，在CD上，求解出，从而得到BC所在直线的方程. （2）利用点到直线的距离公式求解到直线BC的距离，再用两点间的距离求解出，从而求出的面积. 【详解】（1）因为，所以设直线AC的方程为：， 将代入得，所以直线AC的方程为：， 联立AC，CD所在直线方程：，解得， 设，因为为AB的中点，所以， 因为在直线BE上，在CD上， 所以，， 解得，，所以，， 所以BC所在直线的方程为：，即． （2）由（1）知点到直线BC的距离为：， 又，所以． 【变式9-1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)3 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）由斜率的定义得到直线AC的斜率，再由两直线垂直得到高线的斜率，然后由点斜式求出即可； （2）方法一由斜率值积关系得到，再由三角形面积公式求出即可；方法二由点斜式得到直线AC的方程，再由点到距离的公式求出，然后由三角形面积求解即可；方法三由向量的数量积为零得到，再由向量的模长和三角形的面积公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得：直线AC的斜率 则AC边上的高所在直线的斜率， 又这条直线过点， 所以直线方程为， 即. （2） （方法一）因为，所以，所以，所以， 因为， 所以， （方法二）由(1)知直线AC的斜率， 则直线AC的方程为，即， 点到直线的距离， 因为，， （方法三）因为， 所以，所以， 因为， 所以. 【变式9-2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)7 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】（1）联立，得，因为的平分线所在的直线方程为，所以点关于直线的对称点在直线上，所以，由此可得直线的方程；根据垂直直线的直线系方程可设直线的方程为，代入点可求，进而联立直线和即可; （2）求出点到直线的距离，利用两点间的距离公式求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 的平分线所在的直线方程为， 所以联立，得， 设点关于直线的对称点为， 所以解得，即， 所以，所以直线的方程为． 因为边上的高所在直线方程为， 所以设直线的方程为，代入，得 所以直线的方程为， 联立，解得． （2）因为边所在直线方程为， 所以，点A到直线的距离， ， 所以． 【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 核心方法：三角形面积公式+基本不等式 【例10】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、三线能围成三角形的问题 【分析】（1）直线上去交点坐标，由向量的关系，建立方程，解得一个交点坐标，写出直线方程； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，显然没有三角形，舍去；当斜率存在时，设直线方程，联立方程组求解出点坐标得到的值，由点到直线的距离公式得到三角形的高，用三角形面积公式得到三角形面积的表达式，通过的取值范围得到函数的最小值. 【详解】（1）设，， 则， ∵，∴，∴， 则，∴，即 （2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去； 当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即； 同理，联立方程组，解得，即， 原点到直线的距离 ∵，∴，当时，最大，此时取最小值， ∴最小值为. 【变式10-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线. (1)求原点到直线l距离的最大值： (2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1）（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； 当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （2）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 【变式10-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【答案】(1)直线恒过定点； (2) (3)面积的最小值为4，直线方程为 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）直线可化为，然后结合直线系方程可求； （2）当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； （2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （3）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程 核心方法：分类讨论 【例11】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 【变式11-1】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 【变式11-2】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 【考点题型十二】点关于直线对称点 【例12】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设所求点的坐标为，根据垂直和中点坐标列式求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 所以所求点的坐标为. 故答案为：. 【变式12-1】（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据斜率关系以及中点在已知直线上列出方程组，由此可求点的坐标. 【详解】设对称点的坐标为， 所以，解得， 所以点坐标为， 故答案为：. 【变式12-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设出该点坐标，借助点关于直线对称的性质计算即可得. 【详解】设该点坐标为，则有，解得， 故该点坐标为. 故答案为：. 【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 核心方法：方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 【变式13-1】（23-24高一下·江西抚州）与直线关于原点对称的直线的方程为 . 【答案】 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】若在关于原点对称的直线方程上，则在上，代入即可得其关于原点对称的直线的方程. 【详解】若在直线关于原点对称的直线方程上，则在上， ∴，得. 故答案为： 【变式13-2】（24-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 【答案】 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【详解】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为： 【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线平行） 核心方法：直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【例14】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、由距离求已知直线的平行线、求关于平行直线对称的直线 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 【变式14-1】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 【答案】 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 【变式14-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】求关于平行直线对称的直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线相交） 核心方法：对称性 【例15】（23-24高三上·湖北·阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线关于直线对称问题、求点关于直线的对称点 【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可； 【详解】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 【变式15-1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】先求得两直线的交点坐标，再求得直线上一点，关于直线的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式15-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果. 【详解】    直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【考点题型十六】将军饮马问题 核心方法：对称性 【例16】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，    设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 【变式16-1】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】记点、，可得出，求出点关于直线的对称点的坐标，由对称性可得，由、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】记点、，则，如下图所示：    设原点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 由题意可得，解得， 故原点关于直线的对称点为， 由对称性可知， 所以，， 当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：D. 【变式16-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可. 【详解】运用两点间的斜率公式，，， 过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示， 直线斜率的取值范围是.    故选：B. 2．（24-25高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】由直线：与直线：平行，得， 所以. 故选：A 3．（24-25高二上·山东济南·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行斜率相等的关系求解即可； 【详解】当时，直线，直线，此时两直线斜率相等，且两截距， 所以两直线平行，故充分性成立； 当直线与直线平行时， 有，解得或3，故必要性不成立， 故选：B. 4．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案． 【详解】点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或， 即或，所以直线l的斜率的取值范围为. 故选：D. 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题、直线的一般式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 6．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】根据题意，点A、B在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案. 【详解】设为点关于直线的对称点，则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即. 直线的方程为，即， 由，解得，即直线与交于点. ，当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为. 故选：C 7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离 【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可. 【详解】设点，和直线，到l的距离分别为， 易知，显然. 当且仅当重合时取得等号. 故选：C 8．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏常州·期中）设a为实数，直线，，则（   ） A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是 C．若，则或 D．恒过点 【答案】AB 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】利用反证法可判断A的正误，利用平行或垂直的判断方法可判断BC的正误，求出过的定点后可判断D的正误. 【详解】对于A，若过第一象限的点，则，且， 但故，矛盾，故不过第一象限，故A正确； 对于B，若，则， 故或，由直线可得， 而当时，两条直线的方程分别为：，， 此时两条直线平行，符合，反之，也成立，故的充要条件为，故B正确； 对于C，若，，故或， 但不为零，故C错误； 对于D，直线可化为：， 由可得，即直线过定点，故D错误； 故选：AB 10．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求平行线间的距离 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 三、填空题 11．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【知识点】求直线交点坐标、直线关于直线对称问题 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 12．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 【答案】5 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 四、解答题 13．（24-25高二上·北京平谷·期中）求下列直线方程 (1)已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 【答案】(1)（i）；（ii）. (2)或. 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线垂直求方程、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）（i）直接计算得，再写出点斜式方程再化简即可； （ii）求出中点，再根据垂直关系即可得到斜率，写出点斜式方程再化简即可； （2）首先验证直线斜率不存在的情况，再利用点斜式方程并结合点到直线的距离公式即可. 【详解】（1）（i），则BC边所在的直线方程为， 即, （ii）线段的中点坐标为，即，由（i）知， 则其垂直平分线的斜率为， 则BC边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. （2）当直线l的斜率不存在时，此时，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时. 综上所述直线的方程为或. 14．（24-25高二上·河南三门峡·期中）已知三角形的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】（1）由条件可得中点坐标，再由两点式方程，即可得到结果； （2）由点斜式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式以及两点间距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； （2）直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； 15．（24-25高二上·江西景德镇·期中）过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1)，直线的方程为. (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】（1）设，设直线的方程为，代入得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）设直线，求出，利用距离公式表示出，借助基本不等式计算即可. 【详解】（1）依题意设， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即时取等号， 从而，当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为. （2）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以， 则， 当且仅当，即， 即时取最小值， 此时直线的方程为. 16．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)的方程为 (3)4，此时直线l的方程为 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）由直线过定点可得斜率k的范围； （2）由于直线恒过定点，所以与直线垂直时，点到直线距离最大，最大距离为； （3）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值． 【详解】（1）直线的方程为：，它过定点 ，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则， ∴的取值范围是． （2）由直线点斜式方程可知直线恒过定点且斜率为， 结合图象： 可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，且， 此时的方程为． （3）由题意可知，再由l的方程，得． 依题意得解得． ， “＝”成立的条件是且，即， ，此时直线l的方程为． 17．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，直线（为任意实数）过定点． (1)求定点的坐标． (2)直线经过点，且点到直线的距离为3，求直线的方程． (3)点在直线上运动，求的最大值． 【答案】(1)， (2)和 (3) 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）将方程化为，即可求解， （2）考虑直线有无斜率，即可设出直线方程，根据点到直线的距离个数求解， （3）根据三点共线即可求解. 【详解】（1）由得， 令且，解得，故， （2）若直线无斜率，则方程为，此时到的距离为3，符合题意， 若直线有斜率，设方程为，此时到的距离为，解得，故直线方程为 综上，直线方程为和, （3）由于在直线的同一侧， 故,当且仅当三点共线时取到等号， 故, 故最大值为    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$