专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单+知识导图+ 12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单02 空间向量研究距离、夹角问题 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单02】用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 【清单03】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单04】用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点题型一】利用空间向量求点面距 核心方法： 【例1】（24-25高二上·云南普洱·期中）如图，在棱长为4的正方体中，M，N分别是，的中点，则点D到截面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算. 【详解】如图1，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则 令，则，， 故平面的法向量为， 所以点D到截面的距离为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据题意，将线到面的距离转化为点到面的距离，代入公式计算，即可得到结果. 【详解】因为//面，所以直线到平面的距离可转化为点到平面的距离， 又，则点到平面的距离. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，根据探索两点坐标之间的关系，确定最小时两点的坐标，再用空间向量的方法求点到面的距离. 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，    则,设, 则， 因为,所以,即， 所以,又, 则， 当时,取得最小值， 此时,即， 所以, 设平面的一个法向量为， 则即, 令,解得,所以, 则点到平面的距离为 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，由平面，所以棱与平面的距离即为到平面的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可. 【详解】 ，平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为棱与平面的距离， 如图：建立空间直角坐标系，，，设， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故，则，令，， 故，， 所以到平面的距离为：， 故答案为： 【考点题型二】利用等体积法求点面距 核心方法：等体积法 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得线线平行，再利用线面平行的判定定理可证； （2）利用等体积法求点到平面的距离即可得. 【详解】（1）取的中点为，连接， 在中，为的中位线， . 又在正方形中，且， ，且 又是的中点， ，且， 四边形为平行四边形，. 又平面，平面 平面. （2）连接. 由题意，在四棱锥中，平面， 为三棱锥的高. 又平面，则. 设点到平面的距离为， 则有，则，（） 由题意，，则， 由为的中点，则， 所以， ， 所以，且， 代入（）化简可得，解得， 点A到平面的距离为. 【变式2-1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，高为2，，则点到截面的距离为 ．    【答案】/ 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，复件等体积法求出点到截面的距离. 【详解】在直四棱柱中，四边形是菱形，， 由，得是正三角形，，， 由平面，得，， 等腰底边上的高， ，设点到截面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到截面的距离为. 故答案为： 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，M是PD的中点.    (1)证明：平面PCD； (2)若，求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判定可得证； （2）如图，取的中点为，连接，，根据等体积法可求得答案. 【详解】（1）在正中，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，且，∴平面， 又∵平面，∴， 又∵，且． ∴平面． （2）如图，取的中点为，连接，，在正中，，平面平面， 平面平面，∴平面， 若，则， ∴， 由（1）已知平面，， ∴平面，∴． 设点到平面的距离为， 由可得，， ∴．    【考点题型三】异面直线所成角 核心方法：向量法 【例3-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可. 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 【例3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求空间向量的数量积 【分析】利用基底表示向量和，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的， 如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为， 所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 故选：B 【考点题型四】异面直线所成角的最值或范围 核心方法：向量法 【例4】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、异面直线夹角的向量求法 【分析】先由几何关系确定球心，再建立如图所示坐标系，然后分别求出及其模长，再代入向量的夹角公式，最后结合余弦函数的取值确定最小值即可. 【详解】设球的半径为，记正方形中心为， 因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面． 所以过点且的中点为球心， 设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 所以， 所以，， 又，即． 所以， 当且仅当时等号成立， 设直线所成的角为，则， 又，所以． 故选：A． 【变式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，则，，利用，即可得出答案． 【详解】设与所成角为， 如图所示，不妨设， 则，，，， ，，． 设， 则，． 所以， 当时，，此时与所成角为， 当时，， 此时，当且仅当时等号成立， 因为在上单调递减，所以， 综上，． 故选：B． 【变式4-2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、异面直线夹角的向量求法 【分析】以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设球心，则由可求出，设，然后表示出，求出其最大值，从而可求出直线与所成角的正弦值的最小值. 【详解】因为在四棱柱中，侧棱底面， 所以四棱柱为直四棱柱， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，， 所以, 球心在平面的投影坐标为，则设球心， 因为，所以，解得， 所以， 设，则， 所以 ， 设（），则 所以当，即时，有最大值， 此时直线与所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为 故选：C 【变式4-3】（2024·山东滨州）在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知线线角求其他量、立体几何中的轨迹问题 【分析】取中点，中点，连接，，，取中点，连接，推导出平面平面，从而的轨迹是线段，建立空间之间坐标系后，利用空间向量求解异面直线夹角的余弦值，即可得角度范围. 【详解】解：取中点，中点，连接，，，取中点，连接， 在正方体中，是棱的中点， ，，， ，， 平面平面， 是底面内（包括边界）的一个动点，平面， 的轨迹是线段， 如图，以D为原点，为轴建立空间之间坐标系，设正方体棱长为2 则，，，， 由于在线段上，设，且 所以 则 ，又 所以 由于，所以 所以异面直线与所成角的取值范围. 故选：C. 【考点题型五】已知线线角求参数 核心方法：向量法 【例5】（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、已知线线角求其他量 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 【变式5-1】.（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】C 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】以D为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解. 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设，则，，，，所以，所以，.因为直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，也即. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆云阳·）在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A．或4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】先证明出，以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图,在三棱锥中, , ,∴. ∵PB⊥平面ABC,以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 可知,.因为，所以,所以PB=4,则P(0，0，4).设,且0<λ<1,则,可知， 所以, ， 因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为, 所以 解得：或（舍去）. 所以. 故选：D 【变式5-3】（24-25高二上·浙江宁波）在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】由已知以为原点建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】由已知两两垂直，所以以为原点，建立如图所示的坐标系， 设，则，， 连接取中点，连接，所以，平面， 所以，所以，， 由，得， 解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得，考查了学生的空间想象力. 【考点题型六】直线与平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例6】（24-25高二上·福建泉州·期中）P为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则与面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面面平行证明线线平行、线面角的向量求法 【分析】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，，由平面平面，结合正方体的性质可得，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以O，P，三点共线，因此， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，则， 易知平面ABC的一个法向量为， 设与面所成角为， 则， 则， 所以， 即与面所成角的正切值为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC₁的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、线面角的向量求法 【分析】设所有棱长均为2，建系标点，利用空间向量求线面夹角可得，结合复合函数单调性分析判断. 【详解】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为2，则，， 可得，，， 设平面BDE法向量，则， 令，则，可得. 设直线BF与平面BDE所成角为， 则， 令，可知在内单调递减，且， 则，可知在内单调递减， 可得在内单调递增，所以随着x增大而增大. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量的数量积及体积最大值求得，从而得到与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，，所以， 因为为定值，要想三棱锥的体积最大，则点到底面的距离最大，其中， 所以当时，取最大值为，因为，所以的最大值为，则三棱锥的体积最大时，，， 设平面的法向量，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为， 故选：A 【变式6-3】（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面角的向量求法 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】构建如下图的空间直角坐标系，则， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 【考点题型七】直线与平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例7-1】（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ）. A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据垂直关系得到，确定平面的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 设，则， 因为， 所以，即，则，所以， 平面的一个法向量为， 则， 又，所以当时，最大为，则，此时最大为. 故选：A 【例7-2】（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】利用空间向量的坐标运算表示出直线与平面所成的角的正弦即可求解. 【详解】设正方体的的棱长为1，分别以的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系, 则 , 可设 所以 因为， 所以平面的一个法向量， 所以 .当时，有最大值，最大值为; 当或时，有最小值，最小值为. 所以的取值范围是， 故选:A. 【变式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法、求线面角 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出与平面所成角的余弦值范围，即可得出正弦值的范围. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1， 则，设， 所以，平面的法向量为 ， 所以则与平面所成角的正弦值取值范围为. 对比各选项，C项不可能. 故选：C    【变式7-2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论． 【详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 平面ABC的一个法向量为， 设直线PN与平面ABC所成的角为， ， 当时，，此时角最大． 故选：D．      【考点题型八】直线与平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例8】（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点. (1)证明：. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得，再根据中的几何关系可得，再根据余弦定理与勾股定理可得，进而可得平面即可证明； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再设的坐标，根据线面角的空间向量求法求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，且相交于，又且平面， 故平面，又平面，故. 在上取使得，连接，因为，可得四边形为矩形，且，又，故为等腰直角三角形，故. 因为为的中点，故，又，， 则，故，故. 又，，，平面，故平面. 又平面，故，即得证. （2）由（1）可得平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 则，，，设， 则，，. 设平面的法向量，则，即， 令有，，故. 故直线与平面所成角的正弦值为， 即，即， 故，则，化简可得. 即，解得或（舍）. 故. 【变式8-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； （3）设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 【变式8-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】求点面距离、已知线面角求其他量、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）如图，由题意，根据线面垂直的判定定理可得，平面，又线面垂直的性质可得，进而，利用面面垂直的判定定理与性质可得平面，求出即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求解线面角，建立关于t的方程，解之即可求解. 【详解】（1）连接，如图， 因为是边长为2的正三角形，所以， 而平面，则平面， 又平面，有， 故是二面角的平面角，得， 因平面，于是得平面平面，过作的延长线于， 平面平面，平面，故平面， 而，则， 所以点到平面的距离是3． （2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为，则 ，令， 设与面的所成角为，则， 解得，则，线段的长度为． 【变式8-3】（24-25高三上·山西太原·期中）如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）连接，可证，进而可证，，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； （3）假设存在点，设（），由线面夹角的向量公式即可求解. 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴是正三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在平面内， ∴平面； （2）由（1）得，，，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ∵， ∴， 显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， ∴. 取，则，， ∴， ∴， ∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （3）假设存在点，设（），则， ∴， ∵直线与平面所成角的正弦值为， ∴， ∴或（舍去）， ∴. 【考点题型九】两个平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例9-1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二面角、面面角的向量求法、锥体体积的有关计算 【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解. 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 故选：D. 【例9-2】（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】面面角的向量求法 【分析】首先根据题意转化为过体对角线的平面与平面夹角的余弦值，利用向量坐标法求平面的法向量，即可求解. 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，， ，，则. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、面面角的向量求法 【分析】设，根据向量的模长关系可得，进而可求，即可得二面角. 【详解】设，则且， 因为，解得， 可得， 且，所以， 所以二面角的大小为． 故选：C. 【考点题型十】两个平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例10】（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】先建系，再根据向量垂直得出再结合，得出，最后应用空间向量法计算二面角余弦结合同角三角函数关系求出正切范围即可. 【详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 已知，， 则，，，. 因为，所以, , 因为，所以, 因为，所以， 设平面的法向量为， 设平面的法向量为，，. 由，即， 令，则，， 则为平面的一个法向量. 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. . ，. 所以 则. 则二面角的正切值的取值范围是 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用向量关系得出结合即可得出正切值取值范围. 【变式10-1】（2024高二下·浙江）如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（    ）    A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【答案】C 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积求解. 【详解】由题意，三棱锥 是正四面体，以 的重心为原点，BC边的中线PG为x轴， OA为z轴，过O点平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图：      设三棱锥P-ABC的棱长为 ，则有：  ， ， ， ， 设 是平面ABD的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，解得 ， 显然 是平面PBC的一个法向量， ； 显然当时（x的取值范围是 ），最小，， 当时，变大，二面角为锐角，变小， 时，变大，二面角为钝角，即变小； 综上减小. 故选：C. 【变式10-2】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】面面角的向量求法 【分析】得出底面，又EB垂直AC，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EV为z轴， 建立空间直角坐标系，设，，用空间向量法求二面角的余弦值，结合函数性质得最大值． 【详解】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE垂直AC，得底面，又EB垂直AC，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，， 设，，，，， 设平面VBC的一个法向量， 则，即，所以. 设平面VEF的一个法向量，则，即， 解得，令，则，所以，设平面与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则 当时，的最大值为. 故选：D 【变式10-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设等边的边长为1，设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的最大值. 【详解】以为坐标原点，在平面内作直线垂直于为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边的边长为1，因为，所以设， 因为当时，四点共面，不能构成空间四边形，所认， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即，结合，所以， 所以平面与平面夹角的最大值是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，用向量夹角的坐标法求解空间角解决空间角的一种重要方法. 【考点题型十一】两个平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例11】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【知识点】已知面面角求其他量、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 【变式11-1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一点，D，F分别是AC，AB的中点. (1)当，证明：平面BED； (2)判断当的值为多少时，锐二面角的余弦值为 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量 【分析】（1）连接，根据平行关系可知，即可证明线面平行； （2）由面面垂直的性质可得平面，建系标点，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）连接，D，F分别是CA，BA中点，则且， ，是平行四边形，因此且， 所以与平行且相等，是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）当时锐二面角的余弦值为，理由如下： 取中点，连接，， 因为，则，，， 则是正三角形，所以，， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，， 以OA，OC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量是，则， 取，则，，即， 平面的一个法向量是， 设锐二面角的大小为， 则．且，解得，， 所以. 【变式11-2】（24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】线面角的向量求法、已知面面角求其他量、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 【变式11-3】（24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）在图1中，连接,交于点,证明，推得平面，由线面垂直即可证明面面垂直即得； （2）依题建系，写出相关点坐标，设，求出相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 【考点题型十二】空间向量新定义题 【例12】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的方向向量（写出一个即可）； (2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离; (3)已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为中所有点构成的几何体的体积为，求和的值. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【知识点】锥体体积的有关计算、求直线的方向向量、求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先求出平面和平面的法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，利用和求得l的一个方向向量即得. （2）利用条件求得平面的方程，设平面、的交线的方向向量为，与（1）同法求得，利用求得的值，最后利用空间向量的点到平面的距离公式计算即得. （3）求出集合的子集对应几何体的体积，再利用对称性求出；确定为截去三棱锥所剩下的部分，利用割补法求解体积即可. 【详解】（1）平面的法向量为，平面的法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为，则， 取，得，所以直线的一个方向向量为. （2）设平面，由平面经过点，点，点， 得，解得，即平面， 记平面、、的法向量分别为：， 设平面、的交线的方向向量为，则，取， 依题意，，解得， 平面，其法向量为，在平面内取点， 则，于是，点B到平面的距离为. （3）集合的子集， 即为三个坐标平面与围成的四面体， 四面体四个顶点分别为， 此四面体的体积为，由对称性知； 集合的子集，构成的几何体是棱长为的正方体， 而，则为截去三棱锥后剩下的部分， 的体积，三棱锥的体积为， 的体积为， 由对称性知. 【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决． 【变式12-1】.（24-25高二上·广东深圳·期中）在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为；过点且以为法向量的平面方程可表示为. (1)在四面体中，点为坐标原点，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； (2)若直线与都在平面内，求平面的方程； (3)若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3)体积为，余弦值为. 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量垂直的坐标表示、面面角的向量求法 【分析】（1）由平面的法向量与垂直得向量数量积为，由点在平面内满足平面方程，建立方程组求解可得； （2）由直线方程可得两直线经过的点及方向向量，利用两方向向量求得平面的法向量，结合点与法向量可得平面方程； （3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面与坐标轴的交点坐标作出图形，结合几何体的对称性求解体积；利用向量夹角求解面面角可得. 【详解】（1）根据题意，由点在平面内设点， 则，因为平面以为法向量， 则，① 又因为点在平面内，又平面的方程为， 则② 联立①②可得， 故点的坐标为. （2）由题意可知， 直线过点，且其一个方向向量为， 直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点. 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则， 所以，平面的方程为 即平面的方程为. （3）由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点，，如图所示，    可知四边形为正方形， 边长， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为， 则， 所以多面体的体积为. 由集合中所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程. 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以. 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为. 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用基底表示，根据向量夹角公式求得正确答案. 【详解】设棱长为， 以为基底，则， ， ， 所以异面直线AC与所成角的余弦值为：. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】由空间向量法可得出，即可得解. 【详解】因为平面的一个法向量为，点在外，点在内， 且，则点到平面的距离. 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间中的点，则到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】计算出，再用勾股定理计算． 【详解】，， ，又， 所以到直线AB的距离等于， 故选：B． 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 5．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 6．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、求线面角、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量夹角求出线面角的表达式，最后求利用函数性质求其最大值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为， 则， 由在线段上，设， 则. 设平面的法向量， 则，即， 令，得， 则平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以当时，取最小值， 即取最大值，由，则的最大值为. 所以直线与平面所成角的最大值为. 故选：C. 7．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可. 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 故选：B 8．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【知识点】直线方向向量的概念及辨析、平面法向量的概念及辨析、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 10．（24-25高二上·辽宁·期中）如图所示，在长方体中，分别在棱和上，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线和平面所成角的正弦值为 D．若为线段的中点，则直线平面 【答案】ABD 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】对于A，通过直线不平行于平面，即可判断，对于BC，通过建系，借助向量计算即可，对于D, 连接，交于点，通过即可判断. 【详解】因为又所以 又，所以又， 所以综上可知：分别为所在棱的三等分点，由于直线不平行于平面， 所以两点到平面的距离不相等，所以两个三棱锥的体积不相等，故A正确； 对于B，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，所以， 则直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，则， 设平面的一个法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线和平面所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，连接，交于点，连接，则， 又平面平面，从而平面，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线距离的向量求法 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 12．（24-25高二上·山西晋中·期中）已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】选取为基底，用基底表示向量，，将直线与直线的夹角转化为两条直线的方向向量的夹角，由公式求解即可. 【详解】如图所示，    可设，选取为基底， 由题意知，， 而， 从而 ， ， 所以， 设，因为，所以， 而，因为， 设，则， 所以， 由解得 故直线与夹角的余弦值的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高三上·北京昌平·期中）如图，在直三棱柱中，，，是中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接，交于点，连接，易证，再由线面平行的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值； （3）根据（2）所得空间直角坐标系，应用向量法求点面距. 【详解】（1）连接，交于点，连接，直棱柱中，显然是中点， 又是中点，故，面，面，则面. （2）由直三棱柱中，故可构建如图所示空间直角坐标系， 所以面的一个法向量为，又， 所以，若是面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）由，则，则点到平面的距离. 14．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. (1)证明：平面PAB. (2)证明：. (3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在；答案见解析 【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）作交于，利用几何关系在中，由余弦定理求出，再由勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理证明即可； （3）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面PAB. （2） 作交于， 因为，所以，又，所以， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，即，所以， 又E为AD的中点，所以， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，所以， 又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面， 所以平面， 平面，所以. （3）设存在， 作交与， 由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设直线CM与平面PBC所成角的为， 则， 解得，所以在线段PE上存在点，此时. 15．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在直四棱柱中，，，，，．    (1)设过点G、B、D的平面交直线于点M，求线段的长； (2)若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积． 【答案】(1)； (2). 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面平行、已知面面角求其他量、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）由直棱柱得且平面，利用线面平行的性质得，进而求线段的长； （2）法一：设，连接，，利用线面垂直的判定及性质定理及二面角的定义有为二面角的平面角，令结合已知条件求，最后应用棱柱的体积公式求体积；法二：设，根据已知二面角大小，应用向量法列方程求，进而应用棱柱的体积公式求体积； 【详解】（1）连接，由直棱柱的结构特征，知且平面， 平面平面，平面，所以， 由平行传递性知， 所以M为靠近的三等分点，.    （2）方法一：几何法， 如上图，设，连接，， 由题意，，且都在面内，故面， 同理有面，由面，面， 所以，，故为二面角的平面角， 设，由二面角为直二面角，知， 由题设有，等面积法得，故，，， 在中，即，整理得，解得， 由题设，知，则， 所以； 方法二：向量法， 设直线与直线交于点O，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴建立如图所示的空间直角坐标系．    在中，由射影定理得，，， 设，则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，， 当二面角为直二面角时，，得， ∴. 16．（24-25高二上·广东汕头·期中）如图，五面体中，，，平面ABCD． (1)求证：； (2)若，，，求点E到直线AB的距离； (3)若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、点到直线距离的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）根据题意可得平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，可得，利用空间向量求点到线的距离； （3）根据（2）中坐标系，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量处理二面角问题. 【详解】（1）因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2）由题意可知：，平面ABCD， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 若，，，则， 可得， 所以点E到直线AB的距离为. （3）由（2）中坐标系，若，，， 则， 设，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：设平面的法向量， 则，解得， 所以DE的长为. 17．（24-25高二上·广东惠州·期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长度为或 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）通过证明，来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面. （2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 空间向量研究距离、夹角问题 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单02】用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 【清单03】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单04】用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点题型一】利用空间向量求点面距 核心方法： 【例1】（24-25高二上·云南普洱·期中）如图，在棱长为4的正方体中，M，N分别是，的中点，则点D到截面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知//面，平面的一个法向量，平面内一点的坐标为，点的坐标为，则直线到平面的距离为 ． 【变式1-2】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【考点题型二】利用等体积法求点面距 核心方法：等体积法 【例2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式2-1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，高为2，，则点到截面的距离为 ．    【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，M是PD的中点.    (1)证明：平面PCD； (2)若，求点C到平面的距离. 【考点题型三】异面直线所成角 核心方法：向量法 【例3-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】异面直线所成角的最值或范围 核心方法：向量法 【例4】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·山东滨州）在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】已知线线角求参数 核心方法：向量法 【例5】（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（    ） A．2 B． C．4 D．1 【变式5-2】（24-25高二上·重庆云阳·）在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A．或4 B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·浙江宁波）在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（    ） A．1 B． C．3 D．2 【考点题型六】直线与平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例6】（24-25高二上·福建泉州·期中）P为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则与面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC₁的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【变式6-2】（23-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】直线与平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例7-1】（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ）. A． B． C．2 D． 【例7-2】（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 【变式7-2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【考点题型八】直线与平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例8】（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点. (1)证明：. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【变式8-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【变式8-3】（24-25高三上·山西太原·期中）如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【考点题型九】两个平面所成角（定值） 核心方法：向量法，法向量 【例9-1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【变式9-1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】两个平面所成角（最值或范围） 核心方法：向量法，法向量，二次函数，基本不等式 【例10】（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024高二下·浙江）如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（    ）    A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【变式10-2】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是 . 【考点题型十一】两个平面所成角（探索性问题） 核心方法：向量法，法向量 【例11】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【变式11-1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一点，D，F分别是AC，AB的中点. (1)当，证明：平面BED； (2)判断当的值为多少时，锐二面角的余弦值为 【变式11-2】（24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【变式11-3】（24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【考点题型十二】空间向量新定义题 【例12】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. (1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的方向向量（写出一个即可）； (2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离; (3)已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为中所有点构成的几何体的体积为，求和的值. 【变式12-1】.（24-25高二上·广东深圳·期中）在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为；过点且以为法向量的平面方程可表示为. (1)在四面体中，点为坐标原点，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； (2)若直线与都在平面内，求平面的方程； (3)若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间中的点，则到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 10．（24-25高二上·辽宁·期中）如图所示，在长方体中，分别在棱和上，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线和平面所成角的正弦值为 D．若为线段的中点，则直线平面 三、填空题 11．（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 12．（24-25高二上·山西晋中·期中）已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为 . 四、解答题 13．（24-25高三上·北京昌平·期中）如图，在直三棱柱中，，，是中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 14．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. (1)证明：平面PAB. (2)证明：. (3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在直四棱柱中，，，，，．    (1)设过点G、B、D的平面交直线于点M，求线段的长； (2)若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积． 16．（24-25高二上·广东汕头·期中）如图，五面体中，，，平面ABCD． (1)求证：； (2)若，，，求点E到直线AB的距离； (3)若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 17．（24-25高二上·广东惠州·期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$