专题01 空间向量的线性运算（考点清单+知识导图+ 18个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单01 空间向量的线性运算（考点清单） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 【清单01】几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【清单08】空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点题型一】空间向量基本概念 【例1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期中）下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据题意，由空间向量的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题； 对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题， 对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题； 对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题； 故选：BC 【考点题型二】空间向量共线判断 核心方法： 【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【变式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【考点题型三】由空间向量共线求参数或值 核心方法：①②已知，， 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 【考点题型四】判断空间向量共面 核心方法：存在实数，使 【例4】（23-24高二上·云南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解. 【详解】因为 所以共面； 因为 所以共面； ， 所以共面； 假设存在实数满足， 所以,所以 ，该方程组没有实数解. 所以不存在实数满足， 故不共面．所以选项C符合题意. 故选：C 【变式4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 【变式4-2】（多选）（23-24高二下·江苏淮安）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 【答案】BD 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立. 【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量. 若与不共线，则不能表示，故A项错误； 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确； 对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误； 对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确. 故选：BD. 【考点题型五】由空间向量共面求参数 核心方法：存在实数，使 【例5】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解. 【详解】由， 得， 即， 又，，，四点共面， 即，，共面， 所以存在唯一实数对，使， 所以， 解得， 故答案为：. 【考点题型六】用基底表示向量 核心方法：空间向量的加减数乘运算 【例6】（23-24高二下·重庆合川）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】 = 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·山东德州·期中）在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】 如图，由题意得， . 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·广东茂名·期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】由向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 故选：A. 【考点题型七】空间向量数量积运算 核心方法：①坐标运算②定义法： 【例7】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可； 【详解】    因为为棱的中点，所以， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，其中，，用坐标运算计算出，配方后可得其最小值. 【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴， 以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则点，设点的坐标为，由题意可得，， ， 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值， 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）若，，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】, 则， 故答案为： 【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围） 核心方法：①坐标法（含自主建系法） ②极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即 （如图） (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即 （如图） 【例8】（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】1 【知识点】求二次函数的值域或最值、求空间向量的数量积 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得数量积的表达式，再由二次函数性质得出最小值. 【详解】依题意以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，设， 所以， 因此，当时，取得最小值1. 故答案为：1 【变式8-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【答案】144 【知识点】圆柱的结构特征辨析、空间向量数量积的应用 【分析】分析可知，结合圆柱的结合性质分析求解即可. 【详解】因为， 又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点， 则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立， 且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立， 可得，所以的最大值144. 故答案为：144. 【变式8-2】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是． 故答案为： 【考点题型九】求空间向量模 核心方法： 【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图：    以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 【变式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则 . 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即，解得， 所以， 所以， 故答案为： . 【考点题型十】求空间向量模的最值（范围） 核心方法：坐标法 【例10】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件利用向量法求出，再由向量模的定义求模表示为的二次函数求最值. 【详解】如图， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 依题意，，， 所以 因为平面，平面，则， 又，平面，故平面， 故平面的法向量可取， 因为平面，故，即 则 ， 因为，故当时， 故答案为： 【变式10-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，    由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 【变式10-2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 【考点题型十一】求空间向量夹角 核心方法：夹角公式 【例11】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答. 【详解】向量，则， 由，得，解得，， 因此，，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：B 【变式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）若向量，且，则的值为 【答案】1 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出． 【详解】因为向量， 所以， ， 又， 所以，， 解得. 故答案为：. 【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角） 核心方法：①为锐角且与不同向共线 ②为顿角且与不反向共线 【例12】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为钝角， 则，解得， 当共线时，由，即，解得， 所以当夹角为钝角时. 故答案为：. 【变式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式12-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 【考点题型十三】求投影向量 核心方法： 【例13】（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的概念以及空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题，， 所以， ， 则在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为: . 【变式13-1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知点，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】/ 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量的坐标运算得出两个向量夹角的余弦值，再算出投影向量的模. 【详解】点， 故，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模. 故答案为： 【变式13-2】（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 【答案】/ 【知识点】求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可. 【详解】由题意，，所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系 核心方法：； （均非零向量） 【例14-1】（江西省部分高中学校2024-2025学年高二上学期十一月联考数学试卷）已知，，，设向量，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量平行求出，由向量模的公式计算得解； （2）由向量的线性运算及垂直向量的数量积坐标表示列方程得解. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，解得， 所以，. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 【例14-2】（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，. (1)若，分别求与的值； (2)与垂直，求. 【答案】(1)， (2)或 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）根据题意，设，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数、的值； （2）由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）解：因为，，且， 设，即， 即，解得，故，. （2）解：因为与垂直， 则，解得， 当时，；当时，. 因此，或. 【变式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 【变式14-2】（多选）（24-25高二上·湖北·期中）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】AC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空间向量的坐标运算逐项分析判断得解. 【详解】由，，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，，得，解得，C正确； 对于D，由且，得，无解，D错误. 故选：AC 【考点题型十五】用向量证明空间中线面平行 核心方法：⇔⇔ 【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）解法一：设与的交点为，利用三角形的中位线证明，可证得平面. 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）解法一：求出点到平面的距离，由求解即可. 解法二：向量法求点到平面距离，得到棱锥的高，可求体积. 【详解】（1）解法一： 证明：连接与交于点，则是的中点，连接， 又是的中点，则有， 平面，平面，所以平面. 解法二：，则有，又平面， 以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，有， 令，则，得， 于是，且平面，故平面. （2）解法一： 取的中点，连接， 直三棱柱中，平面，平面，故， 又为的中点，则有且. 由，则有， 又，平面， 所以平面，平面. ，. 解法二： 在（1）的基础上，， 设平面的一个法向量为，， 令则，得， 于是点到平面的距离为， 于是. 【变式15-1】（24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离. 【详解】（1）由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 （2）设面的一个法向量为，且， 由， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 【变式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）长方体中，．点为中点．    (1)求证：平面 (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判断定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意写出相应点的坐标，求出及平面的法向量的坐标，由，即可证明平面. 【详解】（1）因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为，所以侧面是正方形， 因此， 因为平面， 所以平面﹔ （2）建立如图所示的空间直角坐标系，   ， ， 设平面的法向量为， 则有， 解得， 因为， 而平面，所以有平面. 【变式15-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用，求得的坐标，然后再求出平面的法向量，利用，建立方程，解得，从而得出结论. 【详解】因为，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又平面,平面, 所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，所以，所以， 又因为平面,平面, 所以平面， 所以以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则即令，则， 要证平面，则，即，解得， 所以，所以． 故在线段上存在点，使得平面． 【考点题型十六】用向量证明空间中面面平行 核心方法：⇔⇔ 【例16】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【变式16-1】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论. 【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图   则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,， ，，同理， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又平面 平面与平面平行． 【变式16-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】因为，是棱的中点， 所以，所以为正三角形. 因为为等腰梯形，， 所以. 取的中点，连接， 则，所以. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 所以，， 又不重合，不重合， 所以，， 因为平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面 【变式16-3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【考点题型十七】用向量证明空间中线面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例17】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）连接，，，先可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证； （2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，所以，，，四点共面. （2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别为棱，，，的中点， 可得，，，， 则，， 设，即，则， 由平面，故， 即，解得， 所以. 【变式17-2】（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先建立直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系，则，， 所以，则. （2）依题意得、、、、， 则，，， 所以，， 则，，即，， 又因为平面，所以平面. 【变式17-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【详解】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 【考点题型十八】证明面面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例18】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面. 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 【变式18-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 【变式18-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量是，结合得到和共线，所以平面，从而得到面面垂直. 【详解】证明：因为底面是边长为1的菱形，， 所以⊥， 如图以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以， 平面的一个法向量是， 所以和共线，所以平面， 又因为平面，故平面平面． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 . 故选：B. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，则， 所以. 又因为，且， 所以，则， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．（福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 5．（云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题）已知空间向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】由数量积的定义先求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 6．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、求点面距离 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（   ） A．，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 【答案】AC 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量基底概念及辨析 【分析】AC选项，根据基底的定义可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底. 【详解】A选项，由基底的定义可知，，，不能共面，，，两两共面，A正确； B选项，，，但，不一定垂直，B错误； C选项，由基底的概念可知，对空间任一向量，总存在有序实数组， 使，C正确； D选项，设，故，无解， 故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误. 故选：AC 10．（24-25高二上·山西·期中）如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（   ） A．若，则点P的轨迹为线段 B．若，则点P的轨迹为线段 C．存在，，使得平面 D．存在，，使得平面 【答案】AB 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明、判定空间向量共面 【分析】由共面向量定理可得点在侧面内（含边界），利用共线向量判断AB；借助向量数量积判断CD. 【详解】在正三棱柱中，由，得点在侧面内（含边界）， 对于A， 由，得，点的轨迹为线段，A正确； 对于B，由，得，则， 即，又，因此点的轨迹为线段，B正确； 对于C，，，则与不垂直， 即直线与直线不垂直，从而不存在，使得平面，C错误； 对于D，平面的法向量为，由选项C知，与不垂直， 因此不存在，使得平面，D错误. 故选：AB 三、填空题 11．（云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题）如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】由空间向量的线性运算及数量积的运算即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算， 可得，， 因为且，， 所以 . 故答案为：. 12．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二上·北京·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)． 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由空间向量加法，模长坐标计算公式可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【详解】（1）由题，则； （2）因为，则 又，， 则. 14．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知向量，，． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； 【答案】(1) (2)， 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）根据题意，由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由向量模长的坐标公式即可得到，再由向量垂直的坐标公式，代入计算，即可得到. 【详解】（1）因为，，则， 所以. （2）因为，即，解得，所以， 又，且向量与垂直， 所以，即，解得， 所以实数和的值分别为和. 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证法可得答案. 【详解】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,， 则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面. 16．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可由线面垂直求证面面垂直. 【详解】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 17．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、由线面平行求线段长度、证明线面垂直、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）如图建系，求出相关点的坐标，由，推得，，即可由线线垂直推出平面； （2）设的长为求出平面的法向量为，由平面可得即可求得. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，               由题设可得：，，，， ，，， ∴，，,            由， ， 可得，，                  又∵，平面MNC，∴平面； （2）设的长为则，点，进而得，          设平面的法向量为，因， 则，取得，          ∵，且平面， ∴，即 ，      解得，即的长为． 18．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】选择空间中一组基底，利用空间向量数量积公式计算即可. 【详解】选取作为空间的一个基底，设． 由已知条件和三棱柱的性质，得，， ，． 所以， 所以，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 空间向量的线性运算（考点清单） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 【清单01】几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【清单08】空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【考点题型一】空间向量基本概念 【例1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期中）下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【考点题型二】空间向量共线判断 核心方法： 【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】由空间向量共线求参数或值 核心方法：①②已知，， 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【变式3-1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【考点题型四】判断空间向量共面 核心方法：存在实数，使 【例4】（23-24高二上·云南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（23-24高二下·江苏淮安）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 【考点题型五】由空间向量共面求参数 核心方法：存在实数，使 【例5】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【变式5-2】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 【考点题型六】用基底表示向量 核心方法：空间向量的加减数乘运算 【例6】（23-24高二下·重庆合川）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·山东德州·期中）在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广东茂名·期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】空间向量数量积运算 核心方法：①坐标运算②定义法： 【例7】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【变式7-1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）若，，则 . 【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围） 核心方法：①坐标法（含自主建系法） ②极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即 （如图） (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即 （如图） 【例8】（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【变式8-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【变式8-2】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 【考点题型九】求空间向量模 核心方法： 【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则 . 【考点题型十】求空间向量模的最值（范围） 核心方法：坐标法 【例10】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 【变式10-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【考点题型十一】求空间向量夹角 核心方法：夹角公式 【例11】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）若向量，且，则的值为 【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角） 核心方法：①为锐角且与不同向共线 ②为顿角且与不反向共线 【例12】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【变式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【变式12-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三】求投影向量 核心方法： 【例13】（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【变式13-1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知点，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【变式13-2】（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系 核心方法：； （均非零向量） 【例14-1】（江西省部分高中学校2024-2025学年高二上学期十一月联考数学试卷）已知，，，设向量，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值． 【例14-2】（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，. (1)若，分别求与的值； (2)与垂直，求. 【变式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（多选）（24-25高二上·湖北·期中）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【考点题型十五】用向量证明空间中线面平行 核心方法：⇔⇔ 【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【变式15-1】（24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【变式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）长方体中，．点为中点．    (1)求证：平面 (2)求证：平面． 【变式15-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【考点题型十六】用向量证明空间中面面平行 核心方法：⇔⇔ 【例16】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【变式16-1】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【变式16-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 【变式16-3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【考点题型十七】用向量证明空间中线面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例17】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 【变式17-2】（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 【变式17-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【考点题型十八】证明面面垂直 核心方法：⇔⇔⇔ 【例18】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【变式18-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【变式18-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题）已知空间向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（   ） A．，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 10．（24-25高二上·山西·期中）如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（   ） A．若，则点P的轨迹为线段 B．若，则点P的轨迹为线段 C．存在，，使得平面 D．存在，，使得平面 三、填空题 11．（云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题）如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 12．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高二上·北京·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求实数的值． 14．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知向量，，． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 16．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 17．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 18．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$