专题01 第一章 空间向量与立体几何（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

人教版（2024）数学高二上期末考点大串讲 串讲01 第一章 空间向量与立体几何 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】几类特殊的空间向量 【清单02】空间向量的数乘运算 【清单03】共面向量定理 【清单04】空间向量的数量积 【清单05】空间向量运算的坐标表示 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 【清单07】空间中直线、平面的平行 【清单08】空间中直线、平面的垂直 【清单09】点到平面的距离 【清单10】用向量运算求两条直线所成角 【清单11】用向量运算求直线与平面所成角 【清单12】用向量运算求平面与平面的夹角 考点一：空间向量基本概念 【答案】D 考点二：空间向量共线判断 【答案】A 考点三：由空间向量共线求参数或值 【答案】B 考点四：判断空间向量共面 【答案】C 考点五：由空间向量共面求参数 【答案】D 考点五：由空间向量共面求参数 考点六：用基底表示向量 【答案】A 考点七：空间向量数量积运算 【答案】B 考点七：空间向量数量积运算 【答案】C 考点八：求空间向量数量积的最值（范围） 考点八：求空间向量数量积的最值（范围） 【答案】144 考点九：求空间向量模 【答案】D 考点十：求空间向量模的最值（范围） 考点十：求空间向量模的最值（范围） 【答案】B 考点十一：求空间向量夹角 【答案】B 考点十二：空间向量夹角为锐角（钝角） 考点十二：空间向量夹角为锐角（钝角） 考点十三：求投影向量 考点十四：空间向量平行与垂直关系 考点十五：用向量证明空间中线面平行 考点十五：用向量证明空间中线面平行 考点十五：用向量证明空间中线面平行 考点十五：用向量证明空间中线面平行 考点十五：用向量证明空间中线面平行 考点十六：用向量证明空间中面面平行 考点十六：用向量证明空间中面面平行 考点十七：用向量证明空间中线面垂直 考点十七：用向量证明空间中线面垂直 考点十七：用向量证明空间中线面垂直 考点十八：证明面面垂直 考点十八：证明面面垂直 考点十八：证明面面垂直 考点十九：利用空间向量求点面距 【答案】B 考点二十：利用等体积法求点面距 考点二十：利用等体积法求点面距 考点二十一：异面直线所成角 【答案】D 考点二十一：异面直线所成角 【答案】A 考点二十二：异面直线所成角的最值或范围 【答案】A 考点二十二：异面直线所成角的最值或范围 【答案】B 考点二十三：已知线线角求参数 考点二十三：已知线线角求参数 考点二十四：直线与平面所成角（定值） 【答案】A 考点二十四：直线与平面所成角（定值） 【答案】A 考点二十五：直线与平面所成角（最值或范围） 【答案】A 考点二十五：直线与平面所成角（最值或范围） 【答案】A 考点二十六：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十六：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十六：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十六：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十六：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十七：两个平面所成角（定值） 【答案】D 考点二十七：两个平面所成角（定值） 【答案】C 考点二十八：两个平面所成角（最值或范围） 【答案】B 考点二十八：两个平面所成角（最值或范围） 【答案】C 考点二十八：两个平面所成角（最值或范围） 考点二十九：两个平面所成角（探索性问题） 考点二十九：两个平面所成角（探索性问题） 考点二十九：两个平面所成角（探索性问题） 考点二十九：两个平面所成角（探索性问题） 考点二十九：两个平面所成角（探索性问题） 【答案】A 【答案】ABD 【答案】BCD 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个；故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（23-24高二上·云南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为 所以共面； 因为 所以共面； ， 所以共面； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 假设存在实数满足， 所以,所以 ，该方程组没有实数解. 所以不存在实数满足， 故不共面．所以选项C符合题意. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（23-24高二下·重庆合川）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 = 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 因为为棱的中点，所以， 所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴， 以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则点，设点的坐标为，由题意可得，， ， 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，设， 所以， 因此，当时，取得最小值1. 故答案为：1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点， 则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立， 且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立， 可得，所以的最大值144. 故答案为：144. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为平面，平面，则， 又，平面，故平面， 故平面的法向量可取， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为平面，故，即 则 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，故当时， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 依题意，，， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】向量，则， 由，得，解得，， 因此，，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为向量的夹角为钝角， 则，解得， 当共线时，由，即，解得， 所以当夹角为钝角时. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题，， 所以， ， 则在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为: . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（江西省部分高中学校2024-2025学年高二上学期十一月联考数学试卷）已知，，，设向量，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】(1)3(2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意，，，， 所以，解得， 所以，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解法一： 证明：连接与交于点，则是的中点，连接， 又是的中点，则有， 平面，平面，所以平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 解法二：，则有，又平面， 以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则， ， 设平面的一个法向量为，有， 令，则，得， 于是，且平面，故平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解法一： 取的中点，连接， 直三棱柱中，平面，平面，故， 又为的中点，则有且. 由，则有， 又，平面， 所以平面，平面. ，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 解法二： 在（1）的基础上，， 设平面的一个法向量为，， 令则，得， 于是点到平面的距离为， 于是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设面的一个法向量为，且， 由， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】（24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式16-1】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图   则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,， ，，同理， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又平面 平面与平面平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，， ∴，，，，， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）证明：连接，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，所以，，，四点共面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别为棱，，，的中点， 可得，，，， 则，， 设，即，则， 由平面，故， 即，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为， 所以， 所以平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为， 所以， 所以平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】证明：因为底面是边长为1的菱形，， 所以⊥， 如图以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，，，． 所以， 平面的一个法向量是， 所以和共线，所以平面， 又因为平面，故平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（24-25高二上·云南普洱·期中）如图，在棱长为4的正方体中，M，N分别是，的中点，则点D到截面的距离为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图1，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则 令，则，， 故平面的法向量为， 所以点D到截面的距离为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）取的中点为，连接， 在中，为的中位线， . 又在正方形中，且， ，且 又是的中点， ，且， 四边形为平行四边形，. 又平面，平面 平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以，且， 代入（）化简可得，解得， 点A到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）连接. 由题意，在四棱锥中，平面， 为三棱锥的高. 又平面，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设点到平面的距离为， 则有，则，（） 由题意，，则， 由为的中点，则， 所以， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21-2】（24-25高二上·四川成都·期中）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由条件可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， 当且仅当时等号成立， 设直线所成的角为，则， 又，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设球的半径为，记正方形中心为， 因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面． 所以过点且的中点为球心， 设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，， 则，，，， 所以，， 所以， 所以，， 又，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以， 当时，，此时与所成角为， 当时，， 此时，当且仅当时等号成立， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为在上单调递减，所以， 综上，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设与所成角为， 如图所示，不妨设， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，， ，，． 设， 则，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式23-1】.（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（    ） A．2 B． C．4 D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设，则，，，，所以，所以，.因为直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，也即. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以，即与面所成角的正切值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（24-25高二上·福建泉州·期中）P为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则与面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以O，P，三点共线，因此， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设， 则，则， 易知平面ABC的一个法向量为， 设与面所成角为， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为为定值，要想三棱锥的体积最大，则点到底面的距离最大，其中， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以当时，取最大值为，因为，所以的最大值为，则三棱锥的体积最大时，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式24-1】（23-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，设，，， 则，，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，则， 因为， 所以，即，则，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面的一个法向量为， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 又，所以当时，最大为，则，此时最大为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25-1】（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ）. A． B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，，，， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为， 所以平面的一个法向量， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，有最大值，最大值为; 当或时，有最小值，最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25-2】（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设正方体的的棱长为1，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系, 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则 , 可设 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26】（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点. (1)证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为平面平面，且相交于，又且平面， 故平面，又平面，故. 在上取使得，连接，因为，可得四边形为矩形，且，又，故为等腰直角三角形，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为为的中点，故，又，， 则，故，故. 又，，，平面，故平面. 又平面，故，即得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量，则，即， 令有，，故. 故直线与平面所成角的正弦值为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即，即， 故，则，化简可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即，解得或（舍）. 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可得平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，设， 则，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式26-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)求平面与平面夹角的余弦值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例27-1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，， ，，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式27-1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，同理平面， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为， 设平面的法向量为，，. 由，即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，则，， 则为平面的一个法向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. . ，. 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则.则二面角的正切值的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例28】（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.已知，， 则，，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，所以, , 因为，所以, 因为，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式28-1】（2024高二下·浙江）如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（    ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意，三棱锥 是正四面体，以 的重心为原点，BC边的中线PG为x轴， OA为z轴，过O点平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设三棱锥P-ABC的棱长为 ，则有：  ， ， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设 是平面ABD的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，解得 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 显然 是平面PBC的一个法向量， ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 显然当时（x的取值范围是 ），最小，， 当时，变大，二面角为锐角，变小， 时，变大，二面角为钝角，即变小； 综上减小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）．故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式29-1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一点，D，F分别是AC，AB的中点. (1)当，证明：平面BED； (2)判断当的值为多少时，锐二面角的余弦值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）连接，D，F分别是CA，BA中点，则且， ，是平行四边形，因此且， 所以与平行且相等，是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的一个法向量是，则， 取，则，，即， 平面的一个法向量是， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设锐二面角的大小为， 则．且，解得，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)判断当的值为多少时，锐二面角的余弦值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时锐二面角的余弦值为，理由如下： 取中点，连接，， 因为，则，，， 则是正三角形，所以，， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，， 以OA，OC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，，，， 可得，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·河南焦作·期中）在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，，， 则，所以，. 由空间向量的基本定理，，， 所以， 又， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设异面直线和所成的角为， 则. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（多选）（24-25高二上·四川成都·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（    ） A．三棱锥的体积为定值． B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段上存在点，使平面平面． D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于选项A，因为平面，平面平面， 所以，点到平面的距离等于， 的面积为， 所以，，故选项A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于选项B，连接，易知面，又面，所以， 又分别为棱的中点，则，而，所以， 又面，，所以面， 又面，所以平面平面，故选项B正确， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角为， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（多选）（24-25高二上·辽宁锦州·期中）已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则（   ） A．存在点，使得 B．若是中点，当在棱上运动时，存在点使得 C．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 D．若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】A选项：由已知若，则在线段靠近的三等分点处，此时点不在正方体表面，A选项错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 B选项：由已知，又点在棱上，则可设，， 则由，得，解得，B选项正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 C选项：由已知，设，， 则，即， 则， 所以与所成角的余弦值为， 当时，， 当时，设，则， 综上所述，即，C选项正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 D选项：由已知，设，且， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 若平面，则，即， 即点在直线上， 又直线与正方形有公共点，所即存在点可使得平面，D选项正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，三棱锥中，，平面平面，为棱AB的中点，为棱PC上的点. (1)证明：平面PBC； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面AEF的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）平面平面ABC，平面平面平面ABC，则平面PAB， 由平面PAB，得，由，得， 又，则，因此， 而平面， 所以平面PBC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）过点P作，垂足为点， 由平面平面ABC，平面平面平面PAB，得平面ABC， 在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由（1）知，平面PBC，又平面PBC，得， 在中，，则，又，则， 于是， ，设， 则，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面PAF的法向量为，则，令，得， 设平面AEF的法向量为，则， 取，，设二面角的大小为， 则，解得， 此时为PC的中点，，平面AEF的法向量为， 所以点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，在五棱锥中，，，，，，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，，，， 所以，， 则，， 因为，平面，平面，所以平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ，，， 则，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$