专题09 长沙八年级期末选择压轴30题-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题09 长沙八年级期末选择压轴30题 一、单选题 1．（长沙市2024年期末 ）如图，任意中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于；④．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①利用角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断； ②根据平行线的性质和角平分线的定义得出，从而通过等量代换即可判断； ③根据等量代换即可判断； ④根据的大小关系即可判断． 【详解】∵与的平分线交于点， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； 的周长等于，故③正确； ∵无法判断的大小关系， ∴BF，CF的大小也无法判断，故④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握数形结合与转化的思想是关键． 2．（长沙市湖南师范大学附属中学2024年期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴结论①不正确，结论②正确； 过点作于点，过点作于点，连接， ∵平分，OC平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴结论③正确， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴结论④正确， ∴正确的结论有：②③④， 故选：C．    【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关键． 3．（长沙市华益中学2024年期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：   点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 4．（长沙市湖南师大附中凌云中学2024年期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个大小相同的长方形两边长，观察图案及以下关系式：；；；其中正确的关系式的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【详解】①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，正确； ②∵xy为小长方形的面积， ∴， 故本项正确； ③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确； ④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=，故本项错误． 则正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 5．（长沙市立信中学2024年期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．144 C．169 D．196 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，小正方形的面积为，则，可得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则， 又∵小正方形的面积为，则， 解得， ∴大正方形的面积为， 故选：C． 6．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2024年期末）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 7．（长沙市湖南师范大学附属中学2024年期末） 已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键． 由可得进而得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，则， ∴． 故选A． 8．（长沙市湖南师大附中博才实验中学2024年期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】分式方程去分母转化为整式方程为，由分式方程无解可得或，求出的值，再代入整式方程即可． 【详解】解：， ， 去分母得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 或， 解得：或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 的值是或， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为0确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9．(长沙市长沙县2024年期末)如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 10．(长沙市宁乡市2024年期末) “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可． 【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 11．(长沙市雨花区2024年期末) 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（    ） ① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤ A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确． 【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴， ∴，即， ∴， ∴AD=BE， ∴①正确， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴ ， ∴PQ∥AE②正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ，③正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴ ， 即DP=QE， ∵ ， ∴∠DQE≠∠CDE， ∴DE≠DP，故④错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， ∴⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大． 12．(长沙市浏阳市2024年期末)如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（    ） A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD 【答案】D 【分析】只要证明△OPE≌△OPD即可解决问题． 【详解】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO， 在△OPE和△OPD中， ， ∴△OPE≌△OPD， ∴PD=PE，OD=OE，∠DPO=∠EPO， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．(长沙市长郡教育集团联考2024年期末) 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于，    ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时，    ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 14．(长沙市望城区2024年期末) 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是 （　　） A．205 B．250 C．502 D．520 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可． 【详解】解：根据平方差公式得： （2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n． 所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数 205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除． 故选：D． 【点睛】本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键． 15．（长沙市芙蓉区2024年期末）关于的方程的两个解为；的两个解为；的两个解为，则关于的方程的两个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得：的两个解为，然后把所求的方程变形为：的形式，再根据上述规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得：的两个解为， ∵方程即为：， ∴的解为：或， 解得：，． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题时要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用例子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致． 16．（长沙市雅礼实验中学2024年期末）如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（    ） ①； ②函数的最小值为； ③若关于 x 的方程无实数根，则； ④代数式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 则①②③④正确， 故选：D． 17．（长沙市雅礼教育集团2024年期末）一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（    ） A．1升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】本题主要考查根据题意列代数式，分式加减运算，列出代数式，裂项求和，是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： = = =（升）， 即次倒出的水量共为升． 故选：B． 18．（长沙市湖南师大附中部分示范性学校教科研协作体2024年期末）如图，已知，如图，在中，，延长至点，过点作平分，且．在上取点，上取点，使，连接，，，过点作，分别交，，于点，，，连接交于点．若，，，则的长为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质、解一元二次方程、相似三角形的性质和判定等相关知识，熟知相关定理及方法是正确解决本题的关键． 先利用，且证明是等边三角形，再证明，进而证明是等边三角形，，再结合题意列出比例式即可求解． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，即， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， 即的长为． 故答案为：B． 19（长沙市一中双语中学2024年期末 ） （n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： … 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n． 【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20， 当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21， 当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22， ••• 当n=9时，展开式的项系数和为=29=512， 故选：C． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 20．（长沙市浏阳市2024年期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，由题意知，当四点共线时，的周长最小，由，，可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，    由题意知，当四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，两点之间线段最断．解题的关键在于明确的周长最小的情况． 21．（长沙市雨花区2024年期末） 三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形． 故选：B． 22．（长沙市明德教育集团2024年期末）如图，，E是的中点，平分，连接．则下列结论：①点E到直线的距离等于的长；②平分；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先证明，作垂足为点F，得出，即可判定①正确；证明，再证明，即可判定②正确；根据，判定③错误；根据，得出，判定④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 如图， 作垂足为点F， ∴， ∴， ∵平分，点E到的距离等于的长，①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵E是的中点， ∴, 又∵，， ∴； ∴，，， ∴平分，②正确； ∵， ∴， ，③错误； ∵， ∴， ∴，④正确； 正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，关键是掌握全等三角形全等的判定定理． 23．（长沙市宁乡市2024年期末）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 24．（长沙市雨花区2024年期末）我市某超市用20000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨32000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克便宜了2元，购进苹果数量是试销时的2倍．设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由再次购进该苹果的进价与试销时进价间的关系可得出再次购买的进货价是每千克元，利用数量总价单价，结合再次购进苹果数量是试销时的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，再次购买时进货价比试销时每千克便宜了2元， ∴再次购买的进货价是每千克元． 依题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（长沙市湖南师范大学附属中学2024年期末）如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．    ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短． 26．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2024年期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，则，整体代入计算即可； 【详解】∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 则的值是； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题． 27．（长沙市北雅中学2024年期末) 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 28．(长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2024年期末) 如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或；根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：①， ， ，， ， 故①正确； ②为中点，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ； 或为等腰三角形， ， ， ， ， 故③错误； ④， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确， 综上所述正确的有①②④． 故选：． 29．(长沙市广益实验中学2024年期末) 如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交于一点即为最小距离点． 【详解】解：过作， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为， ∵是等边三角形，，， ∴， 故选：D    【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点． 30(【来源】长沙市湖南师大附中博才实验中学2024年期末) 九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：规定时间为天， 慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天， 又快马的速度是慢马的倍， 可列出方程． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 长沙八年级期末选择压轴30题 一、单选题 1．（长沙市2024年期末 ）如图，任意中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于；④．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．（长沙市湖南师范大学附属中学2024年期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（长沙市华益中学2024年期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（长沙市湖南师大附中凌云中学2024年期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个大小相同的长方形两边长，观察图案及以下关系式：；；；其中正确的关系式的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（长沙市立信中学2024年期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．144 C．169 D．196 6．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2024年期末）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．（长沙市湖南师范大学附属中学2024年期末） 已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 8．（长沙市湖南师大附中博才实验中学2024年期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．或 B． C． D．或 9．(长沙市长沙县2024年期末)如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 10．(长沙市宁乡市2024年期末) “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．(长沙市雨花区2024年期末) 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（    ） ① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤ A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 12．(长沙市浏阳市2024年期末)如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（    ） A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD 13．(长沙市长郡教育集团联考2024年期末) 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．(长沙市望城区2024年期末) 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是 （　　） A．205 B．250 C．502 D．520 15．（长沙市芙蓉区2024年期末）关于的方程的两个解为；的两个解为；的两个解为，则关于的方程的两个解为（    ） A． B． C． D． 16．（长沙市雅礼实验中学2024年期末）如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（    ） ①； ②函数的最小值为； ③若关于 x 的方程无实数根，则； ④代数式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（长沙市雅礼教育集团2024年期末）一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（    ） A．1升 B．升 C．升 D．升 18．（长沙市湖南师大附中部分示范性学校教科研协作体2024年期末）如图，已知，如图，在中，，延长至点，过点作平分，且．在上取点，上取点，使，连接，，，过点作，分别交，，于点，，，连接交于点．若，，，则的长为（    ） A．1 B． C．3 D． 19（长沙市一中双语中学2024年期末 ） （n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： … 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 20．（长沙市浏阳市2024年期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．（长沙市雨花区2024年期末） 三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 22．（长沙市明德教育集团2024年期末）如图，，E是的中点，平分，连接．则下列结论：①点E到直线的距离等于的长；②平分；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（长沙市宁乡市2024年期末）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（    ）    A． B． C． D． 24．（长沙市雨花区2024年期末）我市某超市用20000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨32000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克便宜了2元，购进苹果数量是试销时的2倍．设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 25．（长沙市湖南师范大学附属中学2024年期末）如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 26．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2024年期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．7 27．（长沙市北雅中学2024年期末) 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．(长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2024年期末) 如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．(长沙市广益实验中学2024年期末) 如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 30(【来源】长沙市湖南师大附中博才实验中学2024年期末) 九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$