专题08 分式方程与应用（3基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题08 分式方程与应用 分式方程的解 1．（2023秋•雨花区期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】先银分式方程求得解为，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可． 【解答】解：，，， 原方程解为负数， ， ， ， ， ， 且， 故选：． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键． 2．（2023秋•岳麓区校级期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可． 【解答】解：， 两边同乘，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 原分式方程的解为非负数， ，且 解得：且， 故选：． 【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得是解题的关键． 3．（2023秋•开福区校级期末）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【答案】 【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可求出的范围． 【解答】解：两边同时乘得， ， 解得：， 又方程的解是正数，且， ，即， 解得：， 的取值范围为：且． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键． 4．（2022秋•长沙期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　 A．21 B．24 C．27 D．36 【答案】 【分析】根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，进而确定的所以可能的值，再求和即可． 【解答】解：不等式组， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 由于不等式组的解集为， 所以， 解得， 关于的分式方程的解为， 由于分式方程的解是非负整数， 整数可能的值为0或3或6或9或12或15， 而是分式方程的增根， ，即， ， 符合条件所有的整数的和为：， 故选：． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，理解一元一次不等式组的解集以及分式方程的解是解决问题的关键． 5．（2022秋•长沙期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 　且　． 【答案】且 【分析】首先去分母得整式方程，然后求出整式方程的解结合方程的解为非负数分母不等于0讨论的取值范围． 【解答】解：去分母得：， 化简得：， ， 分式方程的解为非负数， ， ， 又， ， 故答案为：且． 【点评】本题主要看了分式方程的解为非负数的讨论，能力要求比较高． 6．（2022秋•开福区校级期末）若关于的分式方程无解，则　4或2　． 【答案】4或2． 【分析】先把分式方程去分母得到，再分和两种情况讨论求解即可． 【解答】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 分式方程无解， 当，即时满足题意， 当时，则， ， 综上所述，或． 故答案为：4或2． 【点评】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，掌握分式方程无解的意义，进行分类讨论是解题关键． 7．（2022秋•开福区校级期末）若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是且． 【分析】求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：关于的分式方程的解为：， 分式方程有可能产生增根2， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， 解得：， 综上，的取值范围是：且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键． 8．（2022秋•浏阳市期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 　且　． 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【解答】解：去分母，得： ， 去括号，移项，合并同类项，得： ． 关于的分式方程的解为正数， ． 又， ． ． ， 解得：且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键． 9．（2021秋•望城区期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 　　． 【分析】先解分式方程，根据分式方程解的情况得不等式，解不等式确定字母的取值范围． 【解答】解：去分母，得：， 去括号，移项合并同类项，得：， 关于的分式方程的解为负数， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查解分式方程，由于我们的目的是求的取值范围，根据方程的解列出关于的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 10．（2021秋•望城区期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据分式方程的解为正数及分式方程的意义得出关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围． 【解答】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， ， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，根据题意正确得出关于的不等式是解题的关键． 11．（2023秋•长沙期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对，称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对，就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”，若不是，打“”； ①，　　，②，　　，③，　　． （2）若数对，是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解．求整数的值． 【答案】（1），，；（2）；（3），． 【分析】（1）根据“关联数对”的定义进行验证即可； （2）将分式方程的解代入分式方程列出关于的方程解答即可； （3）解出关于的方程，根据有整数解求得的值即可． 【解答】解：（1）①若，，分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，故不正确； ②若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，故正确； ③若，，分式方程的解为，不符合“关联数对”的定义，故不正确． 故答案为：，，； （2）依题可知：， 整理得； 解得：； （3） 可化为， 解得：， 方程有整数解， 整数，，即，，1，又，， ， ，． 【点评】本题考查了新定义背景下分式方程的解，理解新定义是解题的关键． 解分式方程 12．（2023秋•芙蓉区期末）关于的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于的方程的两个解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】所求方程变形后，根据题中求方程解的方法求出解即可． 【解答】解：已知方程整理得：， 根据题中方程的解得所求方程的解为，， 解得：，， 经检验，都为分式方程的解， 故选：． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2022秋•长沙期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【解答】解：根据题意，得， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：． 【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 14．（2023秋•长沙期末）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 　　． 【答案】． 【分析】方程两边都乘以，化成整式方程，然后再代入检验即可求解． 【解答】解：方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，熟记解分式方程的解法是解题的关键． 15．（2023秋•长沙期末）解分式方程． （1）； （2）． 【答案】（1）无解；（2）． 【分析】（1）先把分式方程两边同时乘以，转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可； （2）先把分式方程两边同时乘以，转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 当时，， 是原方程的增根，此方程无解； （2） ， ， ， 当，，， 是方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键． 16．（2023秋•雨花区期末）解方程：． 【分析】先确定最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后求解即可． 【解答】解：， 方程两边同乘得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解， 所以原分式方程的解是． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 17．（2023秋•浏阳市期末）解分式方程：． 【答案】． 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边都乘，得， ， ， ， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 18．（2023秋•芙蓉区期末）解分式方程： ①； ②． 【答案】（1）； （2）原方程无解． 【分析】根据分式方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，验根计算即可． 【解答】解：①方程两边同乘， 得：， ， 当时，， 是原方程的解； ②方程两边同乘， 得：， 当时，， 不是原方程的解， 原方程无解． 【点评】本题考查的是分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）去分母时要注意符号的变化． 19．（2023秋•望城区期末）计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用同分母分式除法法则，进行计算即可解答； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1） ； （2）方程两边同时乘， 得整式方程， 解得：， 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 【点评】本题考查了解分式方程、同分母分式除法，掌握转化的思想，分式方程要检验是关键． 20．（2023秋•宁乡市期末）解分式方程：． 【答案】． 【分析】解分式方程的步骤：1．去分母．2．移项．3．合并同类项．4．化系数为1．解分式方程要检验． 【解答】解：， 方程两边同时乘以， 得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以． 【点评】本题考查解分式方程．解题的关键是掌握分式方程的步骤．注意分式方程要检验． 21．（2022秋•开福区校级期末）解分式方程：． 【答案】． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 22．（2022秋•长沙期末）解方程：． 【答案】． 【分析】根据解分式方程的解法步骤进行计算即可． 【解答】解：两边都乘以得， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 【点评】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法步骤是正确求解的前提． 23．（2022秋•长沙期末）化简与解方程： （1）化简：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）对分式进行因式分解，先化简再计算即可； （2）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1） ； （2）， 方程两边同时乘得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为． 【点评】本题考查分式的混合运算，解分式方程，能熟练掌握运算法则是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． 分式方程的增根 24．（2022秋•长沙县期末）若关于的方程有增根，则的值为　　 A．1 B．0 C．3 D． 【答案】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【解答】解：， 方程两边都乘以，得：， 分式方程有增根， ，即， 将代入整式方程，得：，即， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 25．（2023秋•岳麓区校级期末）若关于的分式方程无解，则的值是　　 A．或 B． C． D．或 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【解答】解：去分母得：， 由分式方程无解，得到或， 把代入整式方程得：； 把代入整式方程得：． 故选：． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 26．（2021秋•开福区校级期末）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A．或 B． C． D．或 【答案】 【分析】根据题意可得：，然后把的值代入到整式方程中进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 解得：， 分式方程有增根， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值是6或2， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键． 27．（2022秋•岳麓区校级期末）已知关于的方程有增根，则　　． 【答案】． 【分析】根据分式方程有增根时最简公分母为0可求解，将分式方程化为整式方程，将代入计算可求解值． 【解答】解：关于的方程有增根， ， 解得， 由得， 将代入方程得， 解得． 故答案为． 【点评】本题主要考查分式方程的增根，求解方程的增根是解题的关键． 28．（2022秋•雨花区校级期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 　　． 【答案】 【分析】利用增根的意义可以求解． 【解答】解：方程两边同乘以得：， 由题可得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查增根的概念，正确理解增根的含义是解题的关键． 29．（2021秋•长沙期末）若关于的分式方程有增根，则　3　． 【分析】根据分式方程有增根求出，然后把代入整式方程中进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， 把代入中得： ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式方程的增根，求出增根后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 由实际问题抽象出分式方程 30．（2023秋•长沙期末）长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等田之重器．还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，雅礼中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米时，回程路上所花时间比去程节省了，设去程的平均速度为千米时，下列方程正确的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设去程的平均速度为千米时，则回程的平均速度为千米时，再利用“回程路上所花时间比去程节省了”得出分式方程即可． 【解答】解：根据题意知：回程的平均速度为千米时，则：． 故选：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用“回程路上所花时间比去程节省了”得出等量关系是解题关键． 31．（2023秋•开福区校级期末）某修路队计划天内铺设铁路，由于采用新技术，每天多铺设铁路，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设原计划每天修建道路，则实际用了天，每天修建道路为 ，根据每天多铺设铁路，列出方程即可． 【解答】解：根据题意，得． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 32．（2023秋•长沙期末）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 33．（2023秋•宁乡市期末）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为 ，则依题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据甲、乙的速度比是，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前到达基地，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可知，甲的速度为 ，则乙的速度为 ， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 34．（2022秋•雨花区期末）我市某超市用20000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨32000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克便宜了2元，购进苹果数量是试销时的2倍．设试销时该品种苹果的进货价是每千克元，则可列方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由再次购进该苹果的进价与试销时进价间的关系可得出再次购买的进货价是每千克元，利用数量总价单价，结合再次购进苹果数量是试销时的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：试销时该品种苹果的进货价是每千克元，再次购买时进货价比试销时每千克便宜了2元， 再次购买的进货价是每千克元． 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 35．（2022秋•望城区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里， ． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 36．（2022秋•开福区校级期末）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设每套《水浒传》连环画的价格是元．则《三国演义》连环画的价格是元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 37．（2022秋•长沙期末）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产万份，据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗及现在每天生产万份疫苗，可得出更新技术前每天生产万份疫苗，利用工作时间工作总量工作效率，结合现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，且现在每天生产万份疫苗， 更新技术前每天生产万份疫苗． 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 38．（2022秋•浏阳市期末）某工程队准备修建一条长的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路 ，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设原计划每天修建道路 ，则实际每天修建道路为 ，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可． 【解答】解：设原计划每天修建道路 ，则实际每天修建道路为 ， 由题意得，． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 39．（2023秋•长沙县期末）、两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？若设型机器人每小时搬运，可列方程：　　． 【分析】设种机器人每小时搬运千克化工原料，则种机器人每小时搬运千克化工原料，根据型机器人搬运原料所用时间与型机器人搬运原料所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论． 【解答】解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，则种机器人每小时搬运千克化工原料，由题意得 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据型机器人搬运原料所用时间与型机器人搬运原料所用时间相等建立方程是关键． 40．（2022秋•宁乡市期末）甲、乙两人负责在社区进行核酸采样，已知甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样170人所用时间与乙采样150人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为 　　． 【答案】． 【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程． 【解答】解：设甲每小时采样人，则乙每小时采样人，根据题意得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 分式方程的应用 41．（2023秋•开福区校级期末）米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”．已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元． （1）求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价； （2）红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价． 【答案】（1）“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“牛肉哨子粉”的单价是12元； （2）第三季度红薯粉条的单价是12元． 【分析】（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是元，“牛肉哨子粉”的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度红薯粉条的单价是元，则第三季度红薯粉条的单价是元，利用数量总价单价，结合第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出第二季度红薯粉条的单价，再将其代入中，即可求出第三季度红薯粉条的单价． 【解答】解：（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是元，“牛肉哨子粉”的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“牛肉哨子粉”的单价是12元； （2）设第二季度红薯粉条的单价是元，则第三季度红薯粉条的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：第三季度红薯粉条的单价是12元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 42．（2023秋•雨花区期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； （2）购买吊兰的数量最多是17盆． 【分析】（1）设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为17， 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 43．（2023秋•长沙期末）为全面落实长沙市“三高四新”美好蓝图，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天能改造道路的长度是80米，乙工程队每天能改造道路的长度是40米； （2）至少安排甲队工作10天． 【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度是米，则甲工程队每天能改造道路的长度是米．根据甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．列出分式方程，解方程即可； （2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，根据需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度是米，则甲工程队每天能改造道路的长度是米． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天能改造道路的长度是80米，乙工程队每天能改造道路的长度是40米； （2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天， 由题意得：， 解得：， 答：至少安排甲队工作10天． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 44．（2023秋•长沙县期末）为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，现提供以下三种方案，请你选择其中一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 方案一：甲工程队单独完成； 方案二：乙工程队单独完成； 方案三：甲、乙工程队合作完成． 【答案】（1）甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天；（2）选择方案一甲工程队承包该项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【分析】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可； （2）根据（1）中的结果可知，符合要求的施工方案有三种，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两队合作完成．分别计算出所需的工程费用，再比较即可． 【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （天， 答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天； （2）甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成， 有如下三种方案： 方案一：甲工程队单独完成．所需费用为：（万元）； 方案二：乙工程队单独完成．所需费用为：（万元）； 方案三：甲乙两队合作完成．所需费用为：（万元）． ， 选择甲工程队承包该项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 45．（2023秋•望城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． （1）求乙骑自行车的速度； （2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？ 【答案】（1）300米分钟；（2）600米． 【分析】（1）设乙骑自行车的速度为米分钟，则甲步行速度是米分钟，公交车的速度是米分钟，根据题意列方程即可得到结论； （2）米即可得到结果． 【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为米分钟，则甲步行速度是米分钟，公交车的速度是米分钟， 根据题意得， 解得：米分钟， 经检验是方程的根， 答：乙骑自行车的速度为300米分钟； （2）米， 答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键． 46．（2023秋•长沙期末）某商店购进，两种商品，购进一个商品比购买一个商品少10元，并且花费100元购买的商品和花费300元购进的商品的数量相等． （1）求购买一个商品和商品各需要多少元； （2）商店准备购进，两种商品共80件，若商品的数量不少于商品的4倍，并且购买，商品的总费用不低于1000且不高于1100，那么商店有几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个商品需要5元，购买一个商品需要15元； （2）商店有7种购买方案． 【分析】（1）根据“花费100元购买的商品和花费300元购进的商品的数量相等”列方程求解； （2）根据“商品的数量不少于商品的4倍”和“购买，商品的总费用不低于1000且不高于1100”列不等式组求解． 【解答】解：（1）设购买一个商品需要元， 则， 两边同乘以得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：购买一个商品需要5元，购买一个商品需要15元； （2）设购买商品件， 则， 解得：， 的整数解为：10、11、12、13、14、15、16， 商店有7种购买方案． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系和不等关系是解题的关键． 47．（2023秋•浏阳市期末）“春节”是我国最传统、最热闹的节日．计划由甲、乙两个工厂一起生产一批2024龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”．已知甲工厂每天生产的数量是乙工厂每天生产数量的1.5倍，两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天． （1）求甲乙两工厂每天各生产多少个吉祥物？ （2）已知甲乙两工厂生产该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，计划由两个工厂合作生产15000个这种吉祥物，由于时间的限制，甲乙两工厂同时开始生产，同时结束，那么一共需要支付多少资金？ 【答案】（1）甲工厂每天生产600个吉祥物，乙工厂每天生产400个吉祥物； （2）一共需要支付42000元资金． 【分析】（1）设乙工厂每天生产个吉祥物，则甲工厂每天生产个吉祥物，根据“两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天”，列出分式方程，解分式方程即可； （2）先求出甲乙两工厂同时生产，一天可生产吉祥物的数量，再求出甲乙两工厂同时生产的天数，然后由需要支付的资金每天的费用生产的天数，即可得出答案． 【解答】解：（1）设乙工厂每天生产个吉祥物，则甲工厂每天生产个吉祥物， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工厂每天生产600个吉祥物，乙工厂每天生产400个吉祥物； （2）甲乙两工厂同时生产，一天可生产吉祥物：（个， 甲乙两工厂同时生产的天数为：（天， 一共需要支付的资金为：（元， 答：一共需要支付42000元资金． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 48．（2023秋•芙蓉区期末）“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元． （1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？ （2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？ 【分析】（1）设该纪念品第一次每个进价是元，根据题意列出方程即可求出答案． （2）设剩余的纪念品每个售价要元，根据题意列出不等式即可求出答案． 【解答】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是元， 第二次每个进价是元， 根据题意可知：， 解得：， 经检验，是方程的解， 答：该纪念品第一次进价为10元． （2）设剩余的纪念品每个售价要元， ， 解得：， 答：剩余的纪念品每个售价至少12元． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 49．（2023秋•宁乡市期末）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运1500千克所用时间与型机器人搬运1000千克所用时间相等． （1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料； （2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进型机器人多少台？ 【分析】（1）设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，利用工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运1500千克所用时间与型机器人搬运1000千克所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型机器人每小时搬运化工原料的质量，再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量； （2）设购进台型机器人，则购进台型机器人，利用总价单价数量，结合总价不超过45万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：型机器人每小时搬运90千克化工原料，型机器人每小时搬运60千克化工原料； （2）设购进台型机器人，则购进台型机器人， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为4． 答：最多可购进型机器人4台． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 50．（2023秋•雨花区期末）某中学为了创设“书香校园”，准备购买，两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求，两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买，两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 【分析】（1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据数量总价单价结合用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设准备购买个种书架，则购买种书架个，根据题意列出不等式并解答． 【解答】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得． 解得． 经检验：是原分式方程的解． ． 答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得． 解得． 答：最多可购买10个种书架． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 51．（2022秋•望城区期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】（1）每千克5元； （2）5820元． 【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元，利用数量总价单价，结合第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量总价单价，可求出第一次及第二次购进干果的数量，再利用总利润销售单价销售数量进货总价，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）第一次购进（千克）， 第二次购进（千克）． （元． 答：超市销售这种干果共盈利5820元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 52．（2022秋•长沙期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍． （1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作　　天（用含的代数式表示）可完成此项工程； （3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 【分析】（1）关系式为：甲20天的工作量乙20天的工作量； （2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可； （3）关系式为：甲需要的工程费乙需要的工程费，注意利用（2）得到的代数式求解． 【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天， ， 解得：， 经检验是原方程的解． ， 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天； （2）天； 故答案为：； （3）设甲单独做了天， ， 解得： 答：甲工程队至少要单独施工36天． 【点评】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 分式方程与应用 分式方程的解 1．（2023秋•雨花区期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 2．（2023秋•岳麓区校级期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2023秋•开福区校级期末）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 4．（2022秋•长沙期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　 A．21 B．24 C．27 D．36 5．（2022秋•长沙期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 　 　． 6．（2022秋•开福区校级期末）若关于的分式方程无解，则　 　． 7．（2022秋•开福区校级期末）若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是________. 8．（2022秋•浏阳市期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________. 9．（2021秋•望城区期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________. 10．（2021秋•望城区期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________. 11．（2023秋•长沙期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对，称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对，就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”，若不是，打“”； ①，　 　，②，　　，③，　　． （2）若数对，是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解．求整数的值． 解分式方程 12．（2023秋•芙蓉区期末）关于的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于的方程的两个解为　　 A．， B．， C．， D．， 13．（2022秋•长沙期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•长沙期末）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 　 　． 15．（2023秋•长沙期末）解分式方程． （1）； （2）． 16．（2023秋•雨花区期末）解方程：． 17．（2023秋•浏阳市期末）解分式方程：． 18．（2023秋•芙蓉区期末）解分式方程： ①； ②． 19．（2023秋•望城区期末）计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 20．（2023秋•宁乡市期末）解分式方程：． 21．（2022秋•开福区校级期末）解分式方程：． 22．（2022秋•长沙期末）解方程：． 23．（2022秋•长沙期末）化简与解方程： （1）化简：； （2）解分式方程：． 分式方程的增根 24．（2022秋•长沙县期末）若关于的方程有增根，则的值为　　 A．1 B．0 C．3 D． 25．（2023秋•岳麓区校级期末）若关于的分式方程无解，则的值是　　 A．或 B． C． D．或 26．（2021秋•开福区校级期末）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A．或 B． C． D．或 27．（2022秋•岳麓区校级期末）已知关于的方程有增根，则　 　． 28．（2022秋•雨花区校级期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 　 　． 29．（2021秋•长沙期末）若关于的分式方程有增根，则　 　． 由实际问题抽象出分式方程 30．（2023秋•长沙期末）长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等田之重器．还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，雅礼中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米时，回程路上所花时间比去程节省了，设去程的平均速度为千米时，下列方程正确的　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•开福区校级期末）某修路队计划天内铺设铁路，由于采用新技术，每天多铺设铁路，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•长沙期末）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•宁乡市期末）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为 ，则依题意可列方程为　　 A． B． C． D． 34．（2022秋•雨花区期末）我市某超市用20000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨32000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克便宜了2元，购进苹果数量是试销时的2倍．设试销时该品种苹果的进货价是每千克元，则可列方程　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•望城区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为　　 A． B． C． D． 36．（2022秋•开福区校级期末）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 37．（2022秋•长沙期末）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产万份，据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 38．（2022秋•浏阳市期末）某工程队准备修建一条长的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路 ，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•长沙县期末）、两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？若设型机器人每小时搬运，可列方程：　 　． 40．（2022秋•宁乡市期末）甲、乙两人负责在社区进行核酸采样，已知甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样170人所用时间与乙采样150人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为 　 　． 分式方程的应用 41．（2023秋•开福区校级期末）米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”．已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元． （1）求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价； （2）红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价． 42．（2023秋•雨花区期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 43．（2023秋•长沙期末）为全面落实长沙市“三高四新”美好蓝图，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，至少安排甲队工作多少天？ 44．（2023秋•长沙县期末）为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，现提供以下三种方案，请你选择其中一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 方案一：甲工程队单独完成； 方案二：乙工程队单独完成； 方案三：甲、乙工程队合作完成． 45．（2023秋•望城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． （1）求乙骑自行车的速度； （2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？ 46．（2023秋•长沙期末）某商店购进，两种商品，购进一个商品比购买一个商品少10元，并且花费100元购买的商品和花费300元购进的商品的数量相等． （1）求购买一个商品和商品各需要多少元； （2）商店准备购进，两种商品共80件，若商品的数量不少于商品的4倍，并且购买，商品的总费用不低于1000且不高于1100，那么商店有几种购买方案？ 47．（2023秋•浏阳市期末）“春节”是我国最传统、最热闹的节日．计划由甲、乙两个工厂一起生产一批2024龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”．已知甲工厂每天生产的数量是乙工厂每天生产数量的1.5倍，两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天． （1）求甲乙两工厂每天各生产多少个吉祥物？ （2）已知甲乙两工厂生产该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，计划由两个工厂合作生产15000个这种吉祥物，由于时间的限制，甲乙两工厂同时开始生产，同时结束，那么一共需要支付多少资金？ 48．（2023秋•芙蓉区期末）“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元． （1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？ （2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？ 49．（2023秋•宁乡市期末）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运1500千克所用时间与型机器人搬运1000千克所用时间相等． （1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料； （2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进型机器人多少台？ 50．（2023秋•雨花区期末）某中学为了创设“书香校园”，准备购买，两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求，两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买，两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 51．（2022秋•望城区期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 52．（2022秋•长沙期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍． （1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作　 　天（用含的代数式表示）可完成此项工程； （3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$