专题07 分式的概念与分式的运算（9基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题07 分式的概念与分式的运算 科学记数法—表示较小的数 1．（2023秋•浏阳市期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为　　 A． B． C．5 D．6 2．（2023秋•雨花区期末）随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•雨花区期末）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•开福区校级期末）雪花是一种晶体，结构随温度的变化而变化，又名未央花和六出．单个雪花的重量很轻，只有左右，数据0.00003用科学记数法可以表示为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•开福区校级期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是　　 A． B．203 C．0.0203 D．0.00203 6．（2023秋•芙蓉区期末）数0.0000046用科学记数法表示为：　　． 7．（2023秋•长沙期末）已知某种病毒的直径是0.000000091米，这个数可用科学记数法表示为 　　米． 分式的定义 8．（2023秋•雨花区期末）下列各式中是分式的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•望城区期末）下列各式：，，，，，其中分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2022秋•长沙期末）在代数式，，，中，分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2022秋•望城区期末）下列式子中，是分式的是　　 A． B． C． D． 12．（2021秋•开福区校级期末）在、、、、、中，分式的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 分式有意义的条件 13．（2023秋•芙蓉区期末）要使分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•长沙县期末）要使分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•浏阳市期末）要使分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•望城区期末）使分式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•长沙县期末）若分式有意义，则应满足的条件是　　 A． B． C． D． 18．（2022秋•长沙期末）若分式有意义，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 19．（2022秋•开福区校级期末）若分式有意义，则满足的条件是　　 A． B． C． D．可以为任何实数 20．（2023秋•宁乡市期末）若分式有意义，则字母需满足的条件是 　 　． 21．（2022秋•长沙期末）已知式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 　 　． 分式的值为零的条件 22．（2023秋•开福区校级期末）若分式的值为0，则的值为　　 A．0 B．1 C． D． 23．（2023秋•长沙期末）若分式的值为0，则的值为　　 A．0 B． C．1 D．2 24．（2023秋•开福区校级期末）若分式的值为0，则的值是　　 A． B．3 C． D．0 25．（2022秋•长沙期末）若分式的值为0，则的值为　　 A． B． C．0 D．2 26．（2022秋•长沙期末）若分式的值等于0，那么的值等于　　 A．1 B．1或 C． D．0或 27．（2023秋•岳麓区校级期末）若分式的值为0，则的值应为　　 A．1 B． C．3 D． 28．（2022秋•宁乡市期末）若分式的值等于0，则的值为　　 A． B．0 C． D．3 分式的值 29．（2023秋•岳麓区校级期末）已知，则的值是　　 A． B．8 C． D．6 30．（2022秋•开福区校级期末）设，，则　 　． 31．（2021秋•雨花区期末）已知，则代数式的值为 　 ． 分式的基本性质 32．（2023秋•长沙期末）将分式中的，的值同时扩大10倍，则分式的值　　 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小为原来的 33．（2023秋•雨花区期末）下列等式从左到右的变形一定正确的是　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•芙蓉区期末）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 最简分式 35．（2021秋•岳麓区校级期末）下列分式中，最简分式是　　 A． B． C． D． 36．（2022秋•宁乡市期末）下列分式中是最简分式的是　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•宁乡市期末）下列分式是最简分式的是　　 A． B． C． D． 分式的乘除法 38．（2022秋•长沙期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 39．（2022秋•长沙期末）下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且．其中正确的是　　 A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 40．（2023秋•长沙县校级月考）计算：　 　． 分式的加减法 41．（2022秋•岳麓区校级期末）已知，则分式的值为　　 A．8 B． C． D．4 42．（2023秋•雨花区期末）已知，则代数式的值为 6　． 43．（2023秋•芙蓉区期末）已知，，　 　． 44．（2023秋•长沙期末）我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． （1）已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是 　 　． ①；②；③． （2）若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． （3）若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 45．（2023秋•芙蓉区期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于，所以，即，所以，并且当时，； （二分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； （1）在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是 　 　（填序号）； （2）已知：，求代数式的值； （3）当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 46．（2022秋•长沙县期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值” ； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； （3） 在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 分式的混合运算 47．（2021秋•望城区期末）若分式□运算结果为，则在“□”中添加的运算符号为　　 A． B． C． D． 48．（2023秋•长沙期末）计算下列各式： （1）； （2）． 49．（2023秋•岳麓区校级期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： （1）分式是 　 　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）求所有符合条件的整数的值，使得的值为整数． 50．（2022秋•长沙期末）由完全平方公式可知，，而，所以，对所有的实数，都有：，且只有当时，才有等号成立：． 应用上面的结论解答下列问题： （1）计算　 　，由此可知　 　2（填不等号）； （2）已知，为不相等的两正数，试比较：与的大小； （3）试求分式的最大值． 51．（2021秋•望城区期末）以下是小华化简分式的过程： 解：原式① ② ③ （1）小华的解答过程在第　②　步出现错误． （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 分式的化简求值 53．（2023秋•开福区校级期末）先化简，再求值：，其中． 54．（2023秋•浏阳市期末）化简，求值：，其中． 55．（2023秋•长沙期末）先化简，再求值：，其中从不等式中选一个整数． 56． （2023秋•长沙县期末）先化简，再求值：，其中为小于3的正整数． 负整数指数幂 57．（2023秋•宁乡市期末）若，则　 　． 58．（2023秋•浏阳市期末）计算：　 　． 59．（2022秋•望城区期末）计算：． 60．（2022秋•长沙期末）计算：． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式的概念与分式的运算 科学记数法—表示较小的数 1．（2023秋•浏阳市期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为　　 A． B． C．5 D．6 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：， 则为． 故选：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．（2023秋•雨花区期末）随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．（2023秋•雨花区期末）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（2023秋•开福区校级期末）雪花是一种晶体，结构随温度的变化而变化，又名未央花和六出．单个雪花的重量很轻，只有左右，数据0.00003用科学记数法可以表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5．（2023秋•开福区校级期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是　　 A． B．203 C．0.0203 D．0.00203 【答案】 【分析】科学记数法就是用幂的方式来表示，写成的形式，，则2的前面有两个零． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数，正指数幂是较大的数，负指数幂是较小的数． 6．（2023秋•芙蓉区期末）数0.0000046用科学记数法表示为：　　． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 7．（2023秋•长沙期末）已知某种病毒的直径是0.000000091米，这个数可用科学记数法表示为 　　米． 【答案】． 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 分式的定义 8．（2023秋•雨花区期末）下列各式中是分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：、是整式，不是分式，故不符合题意； 、是整式，不是分式，故不符合题意； 、是整式，不是分式，故不符合题意； 、是分式，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 9．（2023秋•望城区期末）下列各式：，，，，，其中分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据分式的定义即可得出答案． 【解答】解：分式有，，共2个， 故选：． 【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键． 10．（2022秋•长沙期末）在代数式，，，中，分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式来判断． 【解答】解：、是整式， 、是分式． 故选：． 【点评】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的概念，注意它是一个数字而不是一个字母是解题关键． 11．（2022秋•望城区期末）下列式子中，是分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由分式的概念即可判断． 【解答】解：、、的分母中不含有字母，不是分式；的分母中含有字母，属于分式．观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式和，如果中分母含有字母，那么叫分式． 12．（2021秋•开福区校级期末）在、、、、、中，分式的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，根据分式的定义即可求出答案． 【解答】解：由题可得，分式有：、、，共3个． 故选：． 【点评】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义． 分式有意义的条件 13．（2023秋•芙蓉区期末）要使分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：由题意知， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 14．（2023秋•长沙县期末）要使分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，即可求出答案． 【解答】解：由分式有意义的条件可知：， ． 故选：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键． 15．（2023秋•浏阳市期末）要使分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，解答本题的关键应从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零． 16．（2023秋•望城区期末）使分式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此求出的取值范围即可． 【解答】解：分式有意义， ， 解得． 故选：． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零． 17．（2022秋•长沙县期末）若分式有意义，则应满足的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 【解答】解：当分母，即时，分式有意义； 故选：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零． 18．（2022秋•长沙期末）若分式有意义，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 19．（2022秋•开福区校级期末）若分式有意义，则满足的条件是　　 A． B． C． D．可以为任何实数 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 20．（2023秋•宁乡市期末）若分式有意义，则字母需满足的条件是 　　． 【答案】． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：要使分式有意义， 则分母不为零， 即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 21．（2022秋•长沙期末）已知式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：由题意得，，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式的值为零的条件 22．（2023秋•开福区校级期末）若分式的值为0，则的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【答案】 【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案． 【解答】解：分式的值为0， ，且， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键． 23．（2023秋•长沙期末）若分式的值为0，则的值为　　 A．0 B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于的不等式组，求出的值即可． 【解答】解：分式的值为0， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，根据此条件列出关于的不等式组是解答此题的关键． 24．（2023秋•开福区校级期末）若分式的值为0，则的值是　　 A． B．3 C． D．0 【答案】 【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0． 【解答】解：根据题意，得 且， 解得，； 故选：． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 25．（2022秋•长沙期末）若分式的值为0，则的值为　　 A． B． C．0 D．2 【答案】 【分析】根据分式值为零条件可得，且，再解即可． 【解答】解：根据分式值为零条件：，且， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 26．（2022秋•长沙期末）若分式的值等于0，那么的值等于　　 A．1 B．1或 C． D．0或 【答案】 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【解答】解：根据题意得， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 27．（2023秋•岳麓区校级期末）若分式的值为0，则的值应为　　 A．1 B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 分式的值为0， 且， 解得． 故选：． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键． 28．（2022秋•宁乡市期末）若分式的值等于0，则的值为　　 A． B．0 C． D．3 【答案】 【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0． 【解答】解：根据题意，得 且， 解得； 故选：． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 分式的值 29．（2023秋•岳麓区校级期末）已知，则的值是　　 A． B．8 C． D．6 【答案】 【分析】先把已知条件变形为，再求的值，然后求其倒数即可． 【解答】解：， ， 即， ， 方程两边都除以得，， 即， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键． 30．（2022秋•开福区校级期末）设，，则　　． 【答案】． 【分析】已知等式利用完全平方公式变形，求出与的值，代入所求式子计算即可得到结果． 【解答】解：， 变形得：， ， ， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，掌握完全平方公式，以及平方差公式公式是关键． 31．（2021秋•雨花区期末）已知，则代数式的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】由题意可知：，然后代入原式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， 原式 ． 故答案为：5． 【点评】本题考查分式的值，解题的关键是将代入原式，本题属于基础题型． 分式的基本性质 32．（2023秋•长沙期末）将分式中的，的值同时扩大10倍，则分式的值　　 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小为原来的 【分析】首先判断出分式中的，的值同时扩大10倍，分式的分子与分母的变化情况，然后根据分式的基本性质，即可判断出分式的值的变化情况． 【解答】解：分式中的，的值同时扩大10倍，分子扩大100倍，分母扩大10倍， 分式的值扩大10倍． 故选：． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 33．（2023秋•雨花区期末）下列等式从左到右的变形一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选择项． 【解答】解：、根据分式基本性质知道，故选项错误； 、，其中左边隐含，故选项正确； 、，当或时，原式不成立，故选项错误； 、，当且时，原式不成立，故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 34．（2023秋•芙蓉区期末）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【解答】解：、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故错误； 、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不相等，故错误； 、，故错误； 、分子分母同时乘以，即，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．掌握这条性质是解题关键． 最简分式 35．（2021秋•岳麓区校级期末）下列分式中，最简分式是　　 A． B． C． D． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：、原式，不是最简分式，故本选项错误； 、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项正确； 、原式，不是最简分式，故本选项错误； 、原式，不是最简分式，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 36．（2022秋•宁乡市期末）下列分式中是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将各个选项中式子能化简的化简，不能化简的那一项即为所求． 【解答】解：，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 是最简分式，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查最简分式，解答本题的关键是明确最简二次根式的定义，二次根式的除法法则． 37．（2023秋•宁乡市期末）下列分式是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用约分和最简分式的定义进行判断． 【解答】解：．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； ．为最简分式，所以选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 分式的乘除法 38．（2022秋•长沙期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． 【点评】本题考查分式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 39．（2022秋•长沙期末）下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且．其中正确的是　　 A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可． 【解答】解：①正确，不论为何值不论，不论为何值都有意义； ②错误，当时，，此时分式无意义，此结论错误； ③正确，若的值为负，即，即，此结论正确； ④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则的取值范围是即，，且，故此结论错误． 故选：． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解． 40．（2023秋•长沙县校级月考）计算：　　． 【分析】根据分式的除法法则先把除法转化成乘法，再进行约分即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 分式的加减法 41．（2022秋•岳麓区校级期末）已知，则分式的值为　　 A．8 B． C． D．4 【答案】 【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 【解答】解：，即， ，即， ． 故选：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握整体思想并且将整体代入是关键． 42．（2023秋•雨花区期末）已知，则代数式的值为 　6　． 【答案】6． 【分析】先把已知条件变形为，再将要求的代数式变形为，然后整体代入求值即可． 【解答】解：， ， 即， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了分式的值，得出是解题的关键． 43．（2023秋•芙蓉区期末）已知，，　　． 【分析】将、代入原式，计算可得． 【解答】解：当、时， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式． 44．（2023秋•长沙期末）我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． （1）已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是 　②　． ①；②；③． （2）若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． （3）若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 【答案】（1）②； （2）①； ②10； （3）或或或或或． 【分析】（1）先求出①②③分别与的和，然后根据计算的结果与互为“和整分式”的定义进行判断即可； （2）①先把写成整式和分式和的形式，然后根据真分式与互为“和整分式”求出即可； ②根据①中所求的和，列出关于的分式方程，解方程，求出，再把的值代入假分式，进行计算即可； （3）设，均为整式），求出，根据已知条件判断是整数，从而列出关于的方程，求出即可． 【解答】解：（1）由题意可知：①②③都是真分式， ； ； ； 是分式，2是整式， 与假分式互为“和整分式”的是②， 故答案为：②； （2）① ， ， 当时，真分式与互为“和整分式”； ②， ， ， ， ， 或， ， 检验：当时，， 是原方程的解， 当时，， 不是原方程的根， ， ；． （3）设，均为整式）， ， 与均与真分式互为“和整分式”， 是整式， 若是整数，则为整数， 必须能被整除，且， 或2或或或4或， 或或或或或． 【点评】本题主要考查了数与式中新定义问题和分式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 45．（2023秋•芙蓉区期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于，所以，即，所以，并且当时，； （二分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； （1）在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是 　①②④　（填序号）； （2）已知：，求代数式的值； （3）当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】（1）①②④； （2）； （3）3． 【分析】（1）分离常数后判断； （2）整体代换后利用平方非负性求值； （3）先变形，再利用求最值． 【解答】解：（1）， ①合题意． ， ②合题意， 不能分离常数， ③不合题意． ， ④合题意． 综上所述，①②④属于假分式． 故答案为：①②④． （2）， ． ． ． （3）由题意，， ． ． 当且仅当，即时，等号成立． 原式的最小值为3． 【点评】本题考查分式的性质，实数大小的比较，最值的求法，作差后利用平方的非负性比较大小和求最值是求解本题的关键． 46．（2022秋•长沙县期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值” ； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】（1）与是互为“和整分式”，“和整值” ； （2）①；②； （3）的值为：1或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【解答】解：（1），， ． 与是互为“和整分式”，“和整值” ； （2）①，， ， 与互为“和整分式”，且“和整值” ， ， ； ②，且分式的值为正整数．为正整数， 或， 舍去）； （3）由题意可得：， ， ， ， 整理得：， 方程无解， 或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 【点评】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 分式的混合运算 47．（2021秋•望城区期末）若分式□运算结果为，则在“□”中添加的运算符号为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同分母分式加减法，分式乘除法运算法则分别进行计算，从而作出判断． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握同分母分式加减法，分式乘除法运算法则是解题关键． 48．（2023秋•长沙期末）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 49．（2023秋•岳麓区校级期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： （1）分式是 　真　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）求所有符合条件的整数的值，使得的值为整数． 【答案】（1）真； （2）； （3）符合条件的整数的值为． 【分析】（1）根据定义可知，是“真分式”； （2）； （3）把化简得，根据的值为整数，为整数，知或或或，又，，，时，原式无意义，故符合条件的整数的值为． 【解答】解：（1）根据定义可知，是“真分式”； 故答案为：真； （2）； （3） ， 的值为整数，为整数， 或或或， 或或或， ，，，时，原式无意义， 符合条件的整数的值为． 【点评】本题考查分式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是掌握分式的基本性质，把分式化简． 50．（2022秋•长沙期末）由完全平方公式可知，，而，所以，对所有的实数，都有：，且只有当时，才有等号成立：． 应用上面的结论解答下列问题： （1）计算　　，由此可知　　2（填不等号）； （2）已知，为不相等的两正数，试比较：与的大小； （3）试求分式的最大值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【分析】（1）模仿例题解决问题即可． （2）转化为例题的模型解决问题即可． （3）分两种情况：当时；当时；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：，； （2）， ， ， 又， ； （3）当时，， 当时，， ， ， ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方公式，关键是理解例题的模型． 51．（2021秋•望城区期末）以下是小华化简分式的过程： 解：原式① ② ③ （1）小华的解答过程在第　②　步出现错误． （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 【分析】（1）第②步括号内分式相减时符号错误； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【解答】解：（1）小华的解答过程在第②步出现错误， 故答案为：②； （2）原式 ， 当时，原式． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 分式的化简求值 52．（2023秋•望城区期末）已知，，则的值等于　　 A．6 B． C．12 D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开得出，，求出，，再通分，最后代入求出答案即可． 【解答】解：，， ①，②， ①②得：， ， ①②得：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式和分式的化简求值，能求出和是解此题的关键． 53．（2023秋•开福区校级期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 当时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 54．（2023秋•浏阳市期末）化简，求值：，其中． 【答案】，4． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 55．（2023秋•长沙期末）先化简，再求值：，其中从不等式中选一个整数． 【答案】，． 【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件得出不能为1、和，取，最后代入求出答案即可． 【解答】解： ， 要使分式有意义必须且且， 解得：不能为1、和， 取， 原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 56．（2023秋•长沙县期末）先化简，再求值：，其中为小于3的正整数． 【答案】，0． 【分析】先算括号内的式子，再算括号外的乘法，然后根据为小于3的非负整数和分母不为0，选出一个使得原分式有意义的整数，代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ， 为小于3的非负整数，，， 或， 当时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 负整数指数幂 57．（2023秋•宁乡市期末）若，则　3　． 【答案】3． 【分析】根据负整数指数幂，即可解答． 【解答】解：， 所以， 故答案为：3． 【点评】本题考查了负整数指数幂，解决本题的关键是熟记负整数指数幂的定义． 58．（2023秋•浏阳市期末）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据负整数指数幂法则和零指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查负整数指数幂和零指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 59．（2022秋•望城区期末）计算：． 【答案】． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键． 60．（2022秋•长沙期末）计算：． 【答案】4． 【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$