专题06 因式分解（4基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题06 因式分解 因式分解的意义 1．（2023秋•芙蓉区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意； 、是因式分解，故本选项符合题意； 、不是因式分解，故本选项不符合题意； 、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 2．（2022秋•雨花区期末）下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．（2021秋•岳麓区校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【解答】解：．从左到右的变形是乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意； ．从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； ．分解因式出现错误，应该是，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 因式分解-提公因式法 4．（2022秋•望城区期末）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，周长为20，面积为16，请计算的值为　　 A．96 B．480 C．320 D．160 【答案】 【分析】根据长方形的周长和面积求出和的值，根据完全平方公式的变形得到的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可． 【解答】解：长方形的边长为、，周长为20，面积为16， ，， ， ， ， ， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解提公因式法，掌握是解题的关键． 5．（2022秋•长沙期末）如图，边长为、的长方形周长为20，面积为16，则的值为　　 A．80 B．160 C．320 D．480 【答案】 【分析】直接利用长方形面积求法以及周长求法得出，，再将原式提取公因式分解因式，代入数据求出答案． 【解答】解：边长为、的长方形周长为20，面积为16， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 6．（2023秋•长沙期末）分解因式：　　． 【分析】本题属于因式分解中的基础题，观察多项式的特点，直接运用提公因式法提取公因式即可分解因式． 【解答】解：． 【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式． 7．（2023秋•望城区期末）因式分解：　　． 【答案】． 【分析】直接提取公因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 8．（2022秋•长沙县期末）分解因式：　　． 【答案】． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察分解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 9．（2022秋•开福区校级期末）已知，，则　8　． 【答案】8． 【分析】直接将已知提取公因式，进而分解因式得出答案． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键． 10．（2022秋•长沙期末）分解因式：　　． 【分析】这个多项式含有公因式，分解因式时应先提取公因式． 【解答】解：． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项． 11．（2021秋•岳麓区校级期末）分解因式：　　． 【分析】直接把公因式提出来即可． 【解答】解：． 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键． 因式分解-运用公式法 12．（2022秋•长沙期末）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式：，对进行求值即可． 【解答】解：当时，， 当时，， ， 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式的基本形式是解题的关键． 13．（2022秋•望城区期末）下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，不符合意义； 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 14．（2021秋•望城区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答． 【解答】解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15．（2021秋•长沙县期末）已知，那么等于　　 A．4 B．2 C．16 D． 【答案】 【分析】已知等式左边分解因式得到结果，即可确定出的值． 【解答】解：已知等式变形得：， 则． 故选：． 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 16．（2021秋•开福区校级期末）分解因式：　　． 【分析】利用平方差公式分解即可求得答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式的方法．题目比较简单，解题需细心． 提公因式法与公式法的综合运用 17．（2023秋•望城区期末）分解因式结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 18．（2023秋•开福区校级期末）分解因式：　　． 【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【解答】解： ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键． 19．（2023秋•宁乡市期末）因式分解：　　． 【分析】首先提公因式2，再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 20．（2023秋•雨花区期末）分解因式：　　． 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 21．（2023秋•开福区校级期末）分解因式：　　． 【分析】应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止． 22．（2023秋•岳麓区校级期末）分解因式：　　． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23．（2022秋•岳麓区校级期末）分解因式：　　． 【答案】． 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 24．（2023秋•芙蓉区期末）分解因式： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可； （2）首先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 25．（2023秋•长沙县期末）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形后利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 26．（2023秋•长沙期末）因式分解： （1） （2）． 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解； （2）先提前公因式3，然后利用完全平方和公式进行二次分解． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】本题综合考查了提取公因式法、公式法分解因式．利用公式法分解因式时，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 27．（2023秋•浏阳市期末）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用提公因式法分解； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 28．（2023秋•望城区期末）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题考查的是因式分解，熟知利用提取公因式法及公式法分解因式是解题的关键． 因式分解-十字相乘法等 29．（2022秋•浏阳市期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据因式分解的定义解答． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 、，故本选项错误； 、，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解，熟悉提公因式法和乘法公式是解题的关键． 30．（2021秋•开福区校级期末）下列各式因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可． 【解答】解：．，不能分解，故不符合题意； ．，故符合题意； ．，不是因式分解，故不符合题意； ．，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 31．（2022秋•浏阳市期末）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为　　． 【分析】根据甲、乙看错的情况下得出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， ， 又乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， 因此，， 故答案为：． 【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键． 32．（2021秋•长沙期末）分解因式：　　． 【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 因式分解的应用 33．（2022秋•望城区期末）已知，，分别是等腰三边的长，且满足，若，，均为正整数，则这样的等腰有　　 A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】 【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论，利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系定理得出结论． 【解答】解：， ， ， ，，均为正整数，，， 或或或， 当时，三边长分别为1，12，12或1，1，23 （不合题意舍去）； 当时，三边长分别为2，6，6或2，2，10 （不合题意舍去）； 当时，三边长分别为3，4，4或3，3，5； 当时，三边长分别为4，3，3或4，4，2． 所以一共有6个， 故选：． 【点评】本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的性质，以及三角形三边关系定理，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论． 34．（2022秋•岳麓区校级期末）若的三边，，满足，那么的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】 【分析】根据完全平方公式，将已知等式化为，可得或，再由等腰三角形的定义即可判断三角形的形状． 【解答】解： ， 或， 或， ，，是的三边， 是等腰三角形， 故选：． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，等腰三角形的定义是解题的关键． 35．（2023秋•望城区期末）已知，，，则代数式的值是 　6　． 【答案】6． 【分析】先分组再配方法即可实现转化，从而求解． 【解答】解：． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了学生分组法，配方法的能力，配方法是难点． 36．（2022秋•长沙期末）若，则　2022　． 【答案】2022． 【分析】先把条件变式，再把原式变式，整体代入求解． 【解答】解：， ， ， 故答案为：2022． 【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键． 37．（2022秋•长沙期末）已知，，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】将代数式因式分解，然后代入，，即可求值． 【解答】解：， 将，代入， 原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 38．（2022秋•雨花区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且（以上长度单位：．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 　　． 【答案】． 【分析】根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解． 【解答】解：由图形可知，表示所有部分面积之和，整体来看面积为：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键． 39．（2022秋•长沙期末）如果，，那么代数式的值是 　　． 【答案】． 【分析】将两边进行平方，结合已知得到，利用完全平方公式的形式，求得，对原式进行因式分解，再将式子整体代入求值即可． 【解答】解：， ，即， ， ， ，即， ，， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解和代数式求值，利用完全平方公式的特点进行求解是解题的关键． 40．（2023秋•雨花区期末）观察下面的因式分解过程： 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解： （2）三边，，满足，判断的形状． 【答案】（1）； （2）是等腰三角形． 【分析】（1）仿照样例，先分组，组内提公因式后组与组之间提取公因式，便可达到分解因式的目的； （2）用样例的方法，把已知等式左边分解因式，再根据几个因式积为0的性质得出一次方程求得、、之间的关系，便可确定的形状． 【解答】解：（1） ； 或 ； （2）， ， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 【点评】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判断，关键是读懂样例，运用样例进行因式分解． 41．（2023秋•长沙县期末）阅读理解：待定系数法是设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即：，展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，可以求出，．所以． （1）若取任意值，等式恒成立，则　2　； （2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式； （3）根据（2）可将多项式分解因式为 　　．（直接写答案） 【答案】（1）2； （2）； （3）． 【分析】（1）根据等式左右两边的系数相等，常数项相等可得，的值，再求即可； （2）可模仿范例设另一个因式为，和因式相乘，并展开，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即可求解； （3）根据（2）可将多项式分解因式为，进而把继续分解后再进行整理即可． 【解答】解：（1）， ，， ， ． 故答案为2． （2）设多项式的另一因式为， ． ， ． ，， ，． 另一因式为：． （3）多项式有因式，另一因式为， ． 【点评】本题考查了把待定系数法用到因式分解中求相关系数．理解所给的定义，并模仿范例求解是解决阅读型问题的关键．注意因式分解一定要分解到底，并进行整理． 42．（2022秋•望城区期末）数学活动：认识算两次 把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次． 例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：． （1）如图2，将长为，宽为的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式 　　． （2）如图3，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体． ①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含、的整式分别表示为 　　、　　、　　； ②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：； ③若，求的值． 【答案】（1）． （2）①，，． ②． ③36． 【分析】（1）阴影的面积大正方形的面积个小长方形的面积，阴影的面积边长为的正方形的面积，两种方法计算的阴影的面积相等，从而得出等式． （2）①体积长宽高，用含有和的式子分别表示甲、乙、丙的长、宽、高，代入体积公式分别表示出面积． ②图3的体积大正方体的体积小正方体的体积甲、乙、丙的体积的和，两种方法计算的体积相等，得出，从而把因式分解． ③，利用等式的性质，等号两边都除以得，等号两边平方得，由②的结论得，，把，代入，求出数值． 【解答】解：（1）阴影部分的面积， 阴影部分的面积， ． 故答案为：． （2）①甲长方体的体积， 乙长方体的体积， 丙长方体的体积． 故答案为：，，． ②大正方体的体积小正方体的体积， 甲长方体的体积乙长方体的体积丙长方体的体积 ， ． ③，， 等号两边都除以，得： ， ， 等号两边平方，得： ， 即， ， 由②得，， 把，代入得， ． 【点评】本题考查因式分解的应用，用两种不同的算法计算阴影的面积、图中立体图形的体积得到等式，然后利用发现的结论进行计算． 43．（2022秋•宁乡市期末）若，，分别为三边的长． （1）若满足，试判断的形状，并说明理由； （2）若满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）是等腰三角形； （2）是等边三角形． 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状． 【解答】解：（1）， ， 、、是的三边的长， ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 因式分解 因式分解的意义 1．（2023秋•芙蓉区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•雨花区期末）下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 3．（2021秋•岳麓区校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为　　 A． B． C． D． 因式分解-提公因式法 4．（2022秋•望城区期末）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，周长为20，面积为16，请计算的值为　　 A．96 B．480 C．320 D．160 5．（2022秋•长沙期末）如图，边长为、的长方形周长为20，面积为16，则的值为　　 A．80 B．160 C．320 D．480 6．（2023秋•长沙期末）分解因式：　 　． 7．（2023秋•望城区期末）因式分解：　 　． 8．（2022秋•长沙县期末）分解因式：　 　． 9．（2022秋•开福区校级期末）已知，，则　 　． 10．（2022秋•长沙期末）分解因式：　 　． 11．（2021秋•岳麓区校级期末）分解因式：　 　． 因式分解-运用公式法 12．（2022秋•长沙期末）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　 A．2 B． C． D． 13．（2022秋•望城区期末）下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 14．（2021秋•望城区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 15．（2021秋•长沙县期末）已知，那么等于　　 A．4 B．2 C．16 D． 16．（2021秋•开福区校级期末）分解因式：　 　． 提公因式法与公式法的综合运用 17．（2023秋•望城区期末）分解因式结果正确的是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•开福区校级期末）分解因式：　 　． 19．（2023秋•宁乡市期末）因式分解：　 　． 20．（2023秋•雨花区期末）分解因式：　 　． 21．（2023秋•开福区校级期末）分解因式：　 　． 22．（2023秋•岳麓区校级期末）分解因式：　 　． 23．（2022秋•岳麓区校级期末）分解因式：　 　． 24．（2023秋•芙蓉区期末）分解因式： （1）； （2）． 25．（2023秋•长沙县期末）分解因式： （1）； （2）． 26．（2023秋•长沙期末）因式分解： （1） （2）． 27．（2023秋•浏阳市期末）因式分解： （1）； （2）． 28．（2023秋•望城区期末）因式分解： （1）； （2）． 因式分解-十字相乘法等 29．（2022秋•浏阳市期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2021秋•开福区校级期末）下列各式因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 31．（2022秋•浏阳市期末）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为　　． 32．（2021秋•长沙期末）分解因式：　 　． 因式分解的应用 33．（2022秋•望城区期末）已知，，分别是等腰三边的长，且满足，若，，均为正整数，则这样的等腰有　　 A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 34．（2022秋•岳麓区校级期末）若的三边，，满足，那么的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 35．（2023秋•望城区期末）已知，，，则代数式的值是 　 　． 36．（2022秋•长沙期末）若，则　 　． 37．（2022秋•长沙期末）已知，，则的值是 　 　． 38．（2022秋•雨花区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且（以上长度单位：．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 　 　． 39．（2022秋•长沙期末）如果，，那么代数式的值是 　 　． 40．（2023秋•雨花区期末）观察下面的因式分解过程： 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解： （2）三边，，满足，判断的形状． 41．（2023秋•长沙县期末）阅读理解：待定系数法是设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即：，展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，可以求出，．所以． （1）若取任意值，等式恒成立，则　　； （2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式； （3）根据（2）可将多项式分解因式为 　　．（直接写答案） 42．（2022秋•望城区期末）数学活动：认识算两次 把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次． 例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：． （1）如图2，将长为，宽为的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式 　 　． （2）如图3，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体． ①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含、的整式分别表示为 　　、　　、　　； ②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：； ③若，求的值． 43．（2022秋•宁乡市期末）若，，分别为三边的长． （1）若满足，试判断的形状，并说明理由； （2）若满足，试判断的形状，并说明理由． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$