专题04 等腰三角形（4基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题04 等腰三角形 等腰三角形的性质 1．（2023秋•雨花区期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：，， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 2．（2023秋•浏阳市期末）如图，在中，，，且，则长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题． 【解答】解：，， 是的边的中线， ， 故选：． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握等腰三角形中三线合一定理的应用． 3．（2023秋•长沙期末）已知等腰三角形周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰为　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】分腰长为或底为两种情况，再利用三角形三边关系进行验证即可得到答案． 【解答】解：当腰长为时，则三角形的另两边分别为，，此时，不满足三角形的三边关系； 当底为时，则可知腰长为，，满足三角形三边关系，此时腰长为， 故选：． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 4．（2023秋•长沙期末）如图，在中，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2023秋•浏阳市期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】因为的垂直平分线交于点，交于点，所以，即，已知，，可得的度数． 【解答】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线，关键是掌握线段垂直平分线的性质． 6．（2023秋•芙蓉区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先由等腰三角形的性质求出的度数，再由垂直平分线的性质可得出，进而可得出结论． 【解答】解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 的度数为， 故选：． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键． 7．（2023秋•芙蓉区期末）如图，在中，，点和点在直线的同侧，，，，连接、，则的度数为　　． 【分析】如图，作 ， ，连接，，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，推出△是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，由全等三角形的性质得到，等量代换得到． 【解答】解：如图，作 ， ，连接，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，，， ， ，， ， △是等边三角形， ，， 在△和△中， ， △△， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2023秋•望城区期末）如图，在△中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接，，，则的度数是 　　． 【分析】根据三角形的内角和得出，根据等腰三角形两底角相等得出，进而根据角的和差得出． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用． 9．（2022秋•浏阳市期末）已知△是等腰三角形．若，则△的顶角度数是 　或　． 【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答． 【解答】解：当是顶角时，△的顶角度数是； 当是底角时，则△的顶角度数为； 综上，△的顶角度数是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 10．（2023秋•雨花区期末）如图，，分别是的中线和角平分线，． （1）若的面积是20，且，求的长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【解答】解：（1）是的中线，． ， 的面积是20，且， ， ， ； （2）是的中线，，， ，． 是的角平分线， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 11．（2022秋•浏阳市期末）如图，，，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解（1），， ， ， ； （2）证明：在与中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的对应角，对应边相等是解题关键． 等腰三角形的判定 12．（2022秋•长沙期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有　　个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【分析】分三种情况，，，三种情况画出图形，即可得出结果． 【解答】解：作出图形，如图，可知使得是等腰三角形的点共有8个， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，掌握坐标与图形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 13．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，求证：是等腰三角形． 【分析】先由，，可求，然后由是的垂直平分线，可得，进而可得，然后根据外角的性质可求：，根据等角对等边可得：，进而可证是等腰三角形． 【解答】证明：，， ， 是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ， ， 是等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 14．（2022秋•长沙期中）如图，在△中，是边上的中线，，，交的延长线于点． （1）若，，求的长； （2）求证：△为等腰三角形． 【答案】（1）6；（2）见解析． 【分析】（1）证明为△的中位线得到； （2）通过证明得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：是边上的中线， ， ，， ， ， ，， ， ， ． △是等边三角形， ； （2）证明：， ，， 而， ， ， 是的中点，， 是△的中位线， 是的中点， ， ， △为等腰三角形． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，证得为△的中位线是解题的关键． 等腰三角形的判定与性质 15．（2023秋•开福区校级期末）如图，已知在中，的平分线交于点，交于点，若，，则　5　． 【答案】5． 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后根据代入数据计算即可得解． 【解答】解：是的平分线， ， ， ， ， ， ，，， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出是解题的关键． 16．（2022秋•开福区校级期末）如图，、的平分线相交于点，过作，交于点，交于点，，，则　5　． 【答案】5． 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的判定定理得到，，然后利用等量代换即可求出线段的长． 【解答】解：和的平分线相交于点， ，， ，交于点，交于点． ，， ，， ． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线段性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（2023秋•望城区期末）如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长． 【答案】的周长为11． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为11． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 18．（2022秋•开福区校级期末）已知在中，的平分线交于点，． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）4． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：是的平分线，， ，，，， 即是等腰三角形； （2）解：， ，， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 【点评】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 19．（2022秋•开福区校级期末）在中，点，点分别是边，上的点，且，连接，交于点，． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，根据角的和差得到，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到，推出是等边三角形，求得，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：，，， ， ，， ， ， 即， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形世界地图根据． 20．（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据三角形的内角和定理得到，由（2）知，，求得，根据勾股定理得到，设，求得，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【解答】（1）证明：所在的直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， 即平分； （2）证明：所在的直线垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （3）解：， ， 由（2）知，， ， ， ，， ， 设， ， ， 解得， ， ， ， 所在的直线垂直平分线段， ， ． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 等边三角形的性质 21．（2023秋•望城区期末）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数． 【解答】解：在等边中，， 是边上的高， 平分， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 22．（2022秋•浏阳市期末）如图，在等边△中，，平分，点在的延长线上，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：等边△的边长，平分， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答． 23．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】因为是等边三角形，所以，是的平分线，则，，再由题中条件，即可求得． 【解答】证明：是等边三角形， ， 是的平分线， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键． 24．（2023秋•浏阳市期末）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，当衣架收拢时，，如图②，此时，两点之间的距离是 　15　． 【答案】15． 【分析】连接，根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形可得出为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出，两点之间的距离 【解答】解：连接，如图所示： ，， 为等边三角形， ． 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 25．（2022秋•长沙期末）如图，是等边三角形，点是的中点，延长到，使，若，则　120　度． 【答案】120． 【分析】根据等边三角形的性质可证明，根据等边对等角得出，即可得出． 【解答】解：为等边三角形，是边的中点， ， ， ， ， 故答案为：120． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键． 26．（2021秋•长沙期末）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　15　度． 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知，根据等腰三角形底角相等即可得出的度数． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ，， ， ． 故答案为：15． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为以及等腰三角形的性质，难度适中． 等边三角形的判定与性质 27．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知，平分，，若，，则　7　． 【答案】7． 【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出为等边三角形，得出，从而得出的长，进而求出答案． 【解答】解：延长交于，延长交于，如图， ，平分， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质等知识，根据题意构造含的直角三角形是解题的关键． 28．（2021秋•长沙期末）如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 　　． 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【解答】解：过作交于． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 29．（2022秋•长沙期末）已知：如图，在等边三角形的三边上，分别取点，，，使． 求证：是等边三角形． 【分析】由是等边三角形，，易证得，即可得，同理可得，即可证得：是等边三角形． 【解答】证明：是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ． 是等边三角形． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 含30度角的直角三角形 30．（2023秋•长沙期末）如图，在直角三角形中，，，，则等于　　 A．2 B．3 C．4 D． 【答案】 【分析】利用含角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：在中，，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 31．（2023秋•长沙期末）在中，为直角，，于，若，则的长度是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先根据为直角，，求出的度数，再根据于，求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案． 【解答】解：为直角，， ， 于， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用为直角和于，求出，以后的问题即可迎刃而解了． 32．（2022秋•长沙期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：，是的中点， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 33．（2022秋•长沙期末）在中，，，，则　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：． 故选：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记角所对的直角边是斜边的一半． 34．（2023秋•长沙期末）如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，若，则　3　． 【分析】根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，得到，，于是得到结论． 【解答】解：，， ， 垂直平分， ， ， ，， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了含角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 35．（2023秋•开福区校级期末）如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则这个等边三角形的边长是 　　． 【答案】． 【分析】作交于，根据平行线的性质可得出是等边三角形，，故，再根据可知，由三角形外角的性质可知，因为，故可得出，再由可知，故可得出，故，进而可得．根据即可得出结论． 【解答】解：作交于． 是等边三角形， ，． ，，， 是等边三角形，， ． ， ， ． ， ． 在与中， ，，， ， ， ． ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于是解答此题的关键． 36．（2023秋•雨花区期末）如图，在中，，，，则的长为 　8　． 【分析】由在中，，，利用所对的直角边等于斜边的一半得到为的一半，列出方程，求出方程的解即可求出的长． 【解答】解：在中，，， ， 设， ， ， ，即， 解得：． 则． 故答案为：8． 【点评】此题考查了含直角三角形的性质，利用了方程的思想，熟练掌握含直角三角形的性质是解本题的关键． 37．（2023秋•雨花区期末）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）4． 【分析】（1）证明中的三个角均为，然后再求得，则可得出答案； （2）先求得，然后由进行求解即可． 【解答】解：（1）是等边三角形， ． ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ． ， ． ． ． 【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 轴对称-最短路线问题 38．（2023秋•长沙县期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是　　 A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点，交于点．则，所以．即的最小值为． 【解答】解：作点关于的对称点，作点，交于点 则， ． 即的最小值为． ，，， ，， ， ， 即的最小值为9.6． 故选：． 【点评】此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键． 39．（2023秋•长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形 的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】过点作于点，于点，如图所示：根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形；故①正确；根据全等三角形到现在得到，求得，即，推出四边形的面积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到的值最小，当最小时，的周长最小，于是得到当时，最小，的周长最小，故③正确，根据平行线的性质得到，求得，得到一定与不平行，故④错误． 【解答】解：过点作于点，于点，如图所示： 点是的平分线上的一点， ， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形；故①正确； ， ， 即， 点是的平分线上的一个定点， 四边形的面积是一个定值， 四边形的面积是一个定值，故②正确； ， 点与重合， 垂线段最短， 的值最小， 当最小时，的周长最小， 当时，最小，的周长最小，故③正确， ，， ， ， 一定与不平行，故④错误． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地最小辅助线是解题的关键． 40．（2022秋•长沙期末）如图，河道的同侧有、两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至，两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时管道长度最短． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 41．（2022秋•浏阳市期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，作点关于、的对称点，，与交点为，与交点为，连接交、于、两点，则，，由题意知，当，，，四点共线时，的周长最小，由，，可知，，则，根据，计算求解即可． 【解答】解：如图，作点关于、的对称点，，与交点为，与交点为，连接交、于、两点，则，， 由题意知，当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，两点之间线段最断．解题的关键在于明确的周长最小的情况． 42．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是　　 A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】 【分析】作点关于的对称点，则，，当、、三点在同一直线上，且时，为最短． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，． ， 当、、三点在同一直线上，且时，为最短． ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 43．（2021秋•长沙县期末）如图，、是两个居民小区，快递公司准备在公路上选取点处建一个服务中心，使最短．下面四种选址方案符合要求的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，在公路上选取点，使最短． 则选项 符合要求， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 44．（2022秋•长沙县期末）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时　　． 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求． 四边形中，，， ， 由轴对称知，，， 在中， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 45．（2022秋•宁乡市期末）如图，等腰△的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则△周长的最小值为 　13　． 【答案】13． 【分析】连接，由于△是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接， △是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， △的周长最短． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 46．（2022秋•长沙期末）如图，在等边中，于，．点、分别为、上的两个定点且，点为线段上一动点，连接、，则的最小值为 　5　． 【答案】5． 【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 【解答】解：如图，等边三角形中，， ，， 在上截取，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ，，， △， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：5． 【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 47．（2023秋•长沙期末）如图．三个顶点的坐标分别为、、． （1）若△与关于轴成轴对称，则△三个顶点的坐标分别为　　，　　，　　； （2）若为轴上一点，则的最小值为 　　； （3）求点到边的距离． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）作出点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求； （3）根据三角形打麻将公式即可得到结论． 【解答】解：（1）如图， 故答案为：、、； （2）如图所示，点即为所求， 的最小值为； 故答案为：； （3）由题意，得， ，， ， 解得． 【点评】此题主要考查了轴对称变换和平移变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点位置是解题关键． 48．（2022秋•长沙期末）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点关于射线对称点为，连接，，． （1）证明：； （2）若为直线上一个动点，求周长最小时，所在的位置，并求出周长的最小值． 【答案】（1）见解答； （2）点在点，周长的最小值为36． 【分析】（1）连接，如图，利用对称的性质得到垂直平分，则，，然后证明，从而得到； （2）先证明，则为等边三角形，所以，再利用垂直平分，则，所以（当且仅当、、共线时取等号），于是可判断点运动到点时，的最小值为24，从而得到周长的最小值． 【解答】（1）证明：连接，如图， 点关于射线对称点为， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 垂直平分， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 即点点运动到点时，的最小值为24，此时周长的最小值为36． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题：利用对称把几条线段的和转化为一条线段，然后利用两点之间线段最短解决问题． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰三角形 等腰三角形的性质 1．（2023秋•雨花区期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 2．（2023秋•浏阳市期末）如图，在中，，，且，则长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•长沙期末）已知等腰三角形周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰为　　 A． B． C．或 D． 4．（2023秋•长沙期末）如图，在中，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•浏阳市期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•芙蓉区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•芙蓉区期末）如图，在中，，点和点在直线的同侧，，，，连接、，则的度数为　 　． 8．（2023秋•望城区期末）如图，在△中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接，，，则的度数是 　 　． 9．（2022秋•浏阳市期末）已知△是等腰三角形．若，则△的顶角度数是 　 　． 10．（2023秋•雨花区期末）如图，，分别是的中线和角平分线，． （1）若的面积是20，且，求的长． （2）若，求的度数． 11．（2022秋•浏阳市期末）如图，，，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 等腰三角形的判定 12．（2022秋•长沙期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有　　个 A．6 B．7 C．8 D．9 13．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，求证：是等腰三角形． 14．（2022秋•长沙期中）如图，在△中，是边上的中线，，，交的延长线于点． （1）若，，求的长； （2）求证：△为等腰三角形． 等腰三角形的判定与性质 15．（2023秋•开福区校级期末）如图，已知在中，的平分线交于点，交于点，若，，则　 ． 16．（2022秋•开福区校级期末）如图，、的平分线相交于点，过作，交于点，交于点，，，则　 　． 17．（2023秋•望城区期末）如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长． 18．（2022秋•开福区校级期末）已知在中，的平分线交于点，． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 19．（2022秋•开福区校级期末）在中，点，点分别是边，上的点，且，连接，交于点，． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 20．（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 等边三角形的性质 21．（2023秋•望城区期末）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则　　 A． B． C． D． 22．（2022秋•浏阳市期末）如图，在等边△中，，平分，点在的延长线上，且，则的长是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 24．（2023秋•浏阳市期末）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，当衣架收拢时，，如图②，此时，两点之间的距离是 　 　． 25．（2022秋•长沙期末）如图，是等边三角形，点是的中点，延长到，使，若，则　 　度． 26．（2021秋•长沙期末）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　 　度． 等边三角形的判定与性质 27．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知，平分，，若，，则　 　． 28．（2021秋•长沙期末）如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 　 　． 29．（2022秋•长沙期末）已知：如图，在等边三角形的三边上，分别取点，，，使． 求证：是等边三角形． 含30度角的直角三角形 30．（2023秋•长沙期末）如图，在直角三角形中，，，，则等于　　 A．2 B．3 C．4 D． 31．（2023秋•长沙期末）在中，为直角，，于，若，则的长度是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 32．（2022秋•长沙期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为　　 A． B． C． D． 33．（2022秋•长沙期末）在中，，，，则　　 A．1 B．2 C． D． 34．（2023秋•长沙期末）如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，若，则　 　． 35．（2023秋•开福区校级期末）如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则这个等边三角形的边长是 　 　． 36．（2023秋•雨花区期末）如图，在中，，，，则的长为 　 　． 37．（2023秋•雨花区期末）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 轴对称-最短路线问题 38．（2023秋•长沙县期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是　　 A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 39．（2023秋•长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形 的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2022秋•长沙期末）如图，河道的同侧有、两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至，两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是　　 A． B． C． D． 41．（2022秋•浏阳市期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 42．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是　　 A．8 B．10 C．12 D．16 43．（2021秋•长沙县期末）如图，、是两个居民小区，快递公司准备在公路上选取点处建一个服务中心，使最短．下面四种选址方案符合要求的是　　 A． B． C． D． 44．（2022秋•长沙县期末）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时　 　． 45．（2022秋•宁乡市期末）如图，等腰△的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则△周长的最小值为 　　． 46． （2022秋•长沙期末）如图，在等边中，于，．点、分别为、上的两个定点且，点为线段上一动点，连接、，则的最小值为 　 　 ． 47．（2023秋•长沙期末）如图．三个顶点的坐标分别为、、． （1）若△与关于轴成轴对称，则△三个顶点的坐标分别为　　，　　，　　； （2）若为轴上一点，则的最小值为 　　； （3）求点到边的距离． 48．（2022秋•长沙期末）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点关于射线对称点为，连接，，． （1）证明：； （2）若为直线上一个动点，求周长最小时，所在的位置，并求出周长的最小值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/28 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