专题11 长沙八年级期末解答题压轴33题-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题11 长沙八年级期末解答题压轴33题 一、解答题 1．（长沙市2023-2024学年期末 ）如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上，从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是秒（），连接、、、． （1）请判断形状，并证明你的结论． （2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含的式子表示． 【答案】（1）△EDF为等腰直角三角形，证明见详解；（2）不变，16 【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE=DF，∠BDE=∠ADF，由余角的性质可得∠EDF=90°，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得S△BDE=S△ADF，可得S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABD，可求解． 【详解】△EDF为等腰直角三角形， ∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC中点， ∴AD=BD=CD=BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°， ∵点E、F速度都是1个单位/秒，时间是t秒， ∴BE=AF， 在△BDE和△ADF中 ∴△BDE≌△ADF（SAS）， ∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠BDE+∠ADE=90°， ∴∠ADF+∠ADE=90°， ∴∠EDF=90°， ∴△EDF为等腰直角三角形； 故答案为△EDF为等腰直角三角形 （2）四边形AEDF面积不变， 理由：∵由（1）可知，△BDE≌△ADF， ∴S△BDE=S△ADF， ∴S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABC， ∴S四边形AEDF=××AC×AB=××8×8=16 故答案为不变，面积为16 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△BDE≌△ADF是本题的关键． 2．（长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末）如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 3．（长沙市华益中学2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转至，连接、． (1)若，求E点坐标及． (2)若点D、F分别是、中点，连接、，连接与交于点G，若为n，求（用含n的式子表示）． (3)在（2）的条件下，求线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作轴于点H，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得，，据此求解即可； （2）同（1）求得的坐标，根据两点之间的距离公式，用表示出，由，即可求解； （3）利用待定系数法求得直线和的解析式，再求得，利用两点之间的距离公式求得的长，再利用直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点H， ∵将线段绕点B顺时针旋转至， ∴是等边三角形， ∵，点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：作轴于点H，由题意得，， ∴，， ∴，， ∵点D、F分别是、中点， ∴，， ∵为n， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为，联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点D为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求直线的解析式，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．（长沙市湖南师大附中凌云中学2023-2024学年期末）如图1，，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角．         图1               图2 (1)求C点的坐标； (2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使与全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，过M作轴于N，求出的值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标是或 (3)1 【分析】作轴于E，证，推出，，即可得出答案； 分为两种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案； 作轴于F，证，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：作轴于E，如图1， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 即， ． （2）存在一点P，使与全等， 分为2种情况： ①如图4，过C作轴于M，过P作轴于E， 则， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 即P的坐标是； ②如图5，过P作轴于E， ， ，， 则， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即P的坐标是， 综合上述：符合条件的P的坐标是或． （3）如图6，作轴于F， 则， ，， ， 在和中 ， ， ，， 轴，轴， ， 四边形是长方形， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，以及数形结合和分类讨论的思想． 5．（长沙市立信中学2023-2024学年期末）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t； (3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度． 【答案】(1)32； (2)或； (3)． 【分析】（1）由，得，则，所以； （2）由，求得，则，再分两种情况讨论，一是，作于点H，由，得，求得，则，所以，则，求得；二是，则，求得； （3）以为一边在x轴下方作等边三角形，连接，因为是等边三角形，所以，可证明，得，所以平分，则垂直平分，所以点G、点C的横坐标都是4，作轴于点L，可证明，则，求得，则． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 的面积是32． （2）解：， ， ∵点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动， ， 如图2（甲），是等腰三角形，且，作于点H， 解得 ， 解得 如图2（乙），是等腰三角形，且， ， 解得， 综上所述，运动时间t为秒或2秒． （3）解：如图3，以为一边在x轴下方作等边三角形，连接，则， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，平分， 垂直平分， ∴点G、点C的横坐标都是点A的横坐标的， ∴点G、点C的横坐标都是4， 作轴于点L，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴线段AD的长度是． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 6．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年期末）如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内一点，且，过点作轴交于点，交于点，过点作轴交于点，交于点，已知点点且满足． (1)求点、的坐标； (2)判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由； (3)①当时，如图2，分别以、为边作等边三角形和，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当时，如图3，求的度数． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见详解 (3)①数量关系为，位置关系为，理由见详解；② 【分析】（1）由二次根式有意义的条件得，可求得，，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，，由等腰三角形的性质得，同理可求，，由勾股定理得，，，分别求出和，即可求解； （3）连接，由等边三角形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理即可求解；②将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得，，，，由勾股定理得，等量代换可证，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ，； （2）解：，， ， ， 轴，轴， ，， ，， ， ， 同理可求：，， ， ，， ， ， ， 同理可求：，， ， ， 线段，，组成的三角形为直角三角形； （3）解：和的数量关系为，位置关系为； 理由如下： ①如图，连接， 和是等边三角形， ，， 在和中 ， （）， ； ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； 故和的数量关系为，位置关系为； ②如图， ， 可将绕点逆时针旋转得， ，，，， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，旋转的性质等，掌握相关的判定方法及性质，“半角”模型的解法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形，通过旋转构建直角三角形是解题的关键． 7．（长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 【答案】43 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键． 先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得、，，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可． 【详解】解∵和， ∴， ∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴ ． 答：代数式的最小值是43． 8．（长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，点，轴，点为轴上一点，点在轴上，且为等边三角形． (1)如图，求的长度． (2)如图，与交于点，若是等边三角形，求证：． (3)如图，线段与线段交于点，记四边形、、的面积依次为，，．且． 为轴上一动点，求周长的最小值． 当周长最小时，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)周长最小值，． 【分析】（）由等边三角形的性质即可求解； （）由等边三角形的性质得出，，，证明即可求证； （）作点关于轴得对称点，则，连接与轴的交点即为，此时的周长最小； 由四边形、、的面积依次为，，，可得出，再由即可求解； 此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用轴对称的性质求最短距离，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）如图， ∵轴于，且 ∴， 则 ∵为等边三角形，， ∴平分，则， （2）如图， ∵与均为等边三角形， ∴，，， ∴， 则 ∴， ∴， ∴； （3）作点关于轴得对称点，则， 连接与轴的交点即为，此时的周长最小， 由（）知：，，， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴周长最小值； 记、的面积为、， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则轴，， 由， ∴， ∴， ∴． 9．（长沙市长沙县2023-2024学年期末) 如图1所示，，，三点在同一条直线上，，，．    (1)在如图1，已知，，求的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，且，且，则点坐标为________． (3)如图3，点M，E分别在轴，轴上，，点在轴负半轴上，连，作且，连交轴于，请猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质； （1）证明，即可得出结论； （2）过点作轴，则轴，过点B作于点F，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）过点B作于点F，同（1）可证：得，再证得故可得结论； 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴ ∴， ∴； （2）过点作轴，则轴，过点B作于点F，   ， ， ， ， ， ， ， 即； 故答案为：． （3）过点作于点，    同（1）可证：， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 10．(长沙市宁乡市2023-2024学年期末) （1）动手操作：如图①，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么度数为______； （2）观察发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图③）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （3）实践运用：将矩形纸片按如下步骤操作：将纸片对折得折痕，折痕与边交于点E，与边交于点F；将矩形与矩形分别沿折痕和折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有（如图④），求的大小． 【答案】（1）；（2）同意，见解析；（3） 【分析】本题考查了图形的折叠、等腰三角形的性质、轴对称等知识点，熟练理解折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得对应角相等，结合三角形内角和定理与平角的定义即可得出答案； （2）由折叠的性质得对应角相等，结合三角形内角和定理可推出两角相等，结合等腰三角形的判定即可得出答案； （3）由折叠和对称的性质得对应角和对应线段相等，从而得出三角形全等，全等三角形的对应角相等和两直线平行同旁内角互补，即可得出答案． 【详解】解：（1） 由折叠可得： ∴ （2）同意． 如图，设与交于点． 由折叠知，平分，所以． 由折叠知， 所以， 所以．所以， 即为等腰三角形． （3）由题意得： ， 由对称性可知， 而由题意得出：， 在和中， 而 即 ． 11．（长沙市雨花区2023-2024学年期末）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）， ， 而，， ， ； （2）由，，得， ， ∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别． 12．（长沙市浏阳市2023-2024学年期末）（1）如图1，中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，求证：． （2）在（1）的条件下，猜想：线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的一个动点，以为直角边作等腰直角，点在第二象限内，且，在点的运动过程中，的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）见详解，（2）猜想：，证明见详解；（3）不发生变化， 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的证明；掌握判定方法及性质，能用面积的转化证明勾股定理是解题的关键． （1）由同角的余角相等得，再由即可求证； （2）由全等三角形的性质得，，由面积公式得和，进行化简，即可求解； （3）过作轴，过作轴，过作交于，交于，，，，由全等三角形的性质得，再由即可求解； 【详解】（1）证明：， ， 直线经过点，分别过点，作直线的垂线， 垂足分别为，， ， ， ， 在和中 ， （）； （2）猜想：； 证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）的值不变化， 如图，过作轴，过作轴，过作交于，交于， ， ， ， 由（1）同理可得： ， ， ， ， ． 13．（长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年期末）如图1，点为的外角的平分线上一点，，于． (1)求证：； (2)若，连接，，，求的长度； (3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）过作交于，根据角平分线性质得到，结合，得到，即得； （2）根据全等三角形性质得到，，得到，推出四边形是正方形，根据，得到，设，得到，，根据勾股定理得到，解得，即得； （3）在上截取，连接，证明，得到， ，得到，根据，得到，得到，推出，得到，即得； 本题主要考查了角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，是解题的关键． 【详解】（1）如图1，过作交于， ∵点为的平分线上一点， 于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（长沙市望城区2023-2024学年期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)求的长； (2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】(1)6 (2)1.2或2． 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解： ，， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．   ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 15．（长沙市芙蓉区2023-2024学年期末) 阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 16．(长沙市雅礼教育集团2023-2024学年期末) 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点． (1)填空：①______（填写“＞”“＜”或“”）；②______； (2)证明：； (3)①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值； ②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值． 【答案】(1)①＝；②90； (2)证明详见解析； (3)． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，先证明，得出，，继而证得 ，即可由勾股定理得出结论； （3）①先证明，，得出；然后过作于点，证明，得出，即可求解； ②过点作于点，连接，先证明，得，再证明，得到，即可代入计算求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，90． （2）证明：连接， ， ， 在和中， ， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①且， ，， ①， 同理，②， ①＋②得：， 可化为， 即 ，， ； 过作于点， 故， ， 又由（2）知， ， 在等腰中，由， ∴ ∴， ②如图，过点作于点，连接， 由（2）知 平分，， 又是的中垂线， ， ∴ 又由（2）知， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质．本题属三角形综合题目，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 17．(长沙市湖南师大附中部分示范性学校教科研协作体2023-2024学年期末) 二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案． 【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如：，． (1)证明：对于任意正实数，，都有． (2)求的最大值，并标明等号成立的条件． 【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了． (3)如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明． (4)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值． 【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理． (5)设，，，都是正数 证明：． 【答案】(1)证明见解析． (2)的最大值为，此时． (3)的最小值为，此时，证明见解析． (4)当且仅当时，的最小值为． (5)证明见解析． 【分析】本题考查了不等式的基本性质，完全平方公式，掌握不等式的性质是解答本题的关键． （1）根据题意，，由此得到证明． （2）根据题意，，，故，由此得到答案． （3）根据题意，，，利用不等式的性质，得到，由此得到答案． （4）根据题意设：，则，故，利用不等式的性质，得到答案． （5）根据题意，；；；；，将各式相加，得到证明． 【详解】（1）证明：根据题意得： ， 故． （2）解：根据题意得： ， ，， ， 当且仅当时，即时，取等号， 的最大值为． （3）解：根据题意得： ，即， ，，，， ，， ， ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为， 此时． （4）根据题意设： ， ，的面积分别是和， 由等高三角形可知：， ， ， ， 当且仅当时，取等号，即的最小值为． （5）解：根据题意， ；；；；， 将上述各式相加，得：， 故． 18．（长沙市长沙一中双语中学2023-2024学年期末) 如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析． (3)或． 【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论； （2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题； （3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：（2）如图2，过F点作于D点， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴＝2， ∴＝， ∵ ∴＝， ∴E点为中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴，   当点E在线段BC上时， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴． 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 19．(长沙市浏阳市2023-2024学年期末)在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 20．(长沙市立信中学2023-2024学年期末) 如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴的负半轴，且满足，点B在y轴的正半轴，且．试解决下列问题： (1)求点B的坐标； (2)若，垂足为M，求线段的长度； (3)如图2，在中，分别以为边，向外侧作正与正，连接，交于点E，求线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用含角的直角三角形的三边关系直接计算求出的长，再转化为坐标即可． （2）利用勾股定理求出的长，再用等积变形的方法求出的长度即可． （3）过点作，利用等边三角形的性质求证，即可得出． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： （3）解：过点作，垂足为点， 和是正三角形， ， ， ， ， 在和中 【点睛】本题主要考查点坐标的求解，含角的直角三角形三边的计算以及全等三角形的证明，熟练掌握特殊直角三角形的三边关系及全等三角形的证明是解决本题的关键． 21．(长沙市明德教育集团2023-2024学年期末) 由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：． 应用上面的结论解答下列问题： (1)计算 ，由此可知 （填不等号）； (2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小； (3)试求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据资料提示的算法即可求解； （2）分别按多项成乘法运算方法展开与，再根据资料提供的方法即可求解； （3）根据分式的运算方法，计算，再根据资料提供的解题方法即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：， ∵ 又 ∴． （3）解：，当时，原式； 当时， ， ∵（当时，等号成立） ∴， 当时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查分式的运算，理解题干意思，掌握分式的混合运算是解题的关键． 22．(长沙市明德教育集团2023-2024学年期末)定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于180°，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”，且中有一个内角为50°，则 ° (2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点P为角平分线上一动点，点C为x轴上一动点，连接． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”； ②在①的条件下，若点P的坐标为，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点O顺时针方向旋转30°（即）得到，连接、、、，为的角平分线，过点P（P点不在点O处）作轴于点E，当点E在线段之间（不包含端点），点C在点E左侧且时，证明：与互为“友好三角形”，并说明，，之间的数量关系． 【答案】(1)或 (2)①见解析；② (3)证明见解析；或． 【分析】（1）根据“友好三角形”的定义分当和时，两种情况讨论，即可求解； （2）①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，证明，据此求解即可； ②根据，求得，，据此求解即可； （3）过点P作于点F，证明，可说明与互为“友好三角形”，证明，推出，分点C在x轴的正半轴上和点C在x轴的负半轴上，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵中有一个内角为50°，且与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”， 当时， ∴， 当时，则， ∴， 故答案为：或； （2）解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 与互为“友好三角形”； ②∵点P的坐标为，点，， ∴，， ∴， 所以； （3）解：过点P作于点F，则，      ， ， 为的平分线， ， 在和中， ， ∴， ， 在四边形中，，， ， ， ， 即， ， 又与为等腰三角形， 与互为“友好三角形”， 在和中， ， ∴， ， ， ， ①当点C在x轴的正半轴上时， ， ②当点C在x轴的负半轴上时， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解“友好三角形”的定义，分类讨论是解题的关键． 23．(长沙市宁乡市2023—2024学年期末) 【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可． （2）根据题意可得，设，，则，，将化成的形式，代入求值即可． （3）根据题意可得，设，，则，，再由阴影部分的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设； 则，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，， 则，， ∴ ， 故答案为：． （3）解：由题意得，，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∴阴影部分的面积， ， ∴阴影部分的面积和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． 24．(长沙市雨花区2023-2024学年期末) 先阅读下面的材料，再解答问题．25．(因为， 所以． 特别地，， 所以． 当然，也可以利用，得， 所以， ， ， 这种变形也是将分母有理化． 利用上述的思路方法，计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2022 (2)1 【分析】（1）根据题意，先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可； （2）根据题意，先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化的应用，能正确利用平方差公式进行分母有理化是解此题的关键． 25.(长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末) 已知中，是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在．．理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质以及角平分线的定义，求解即可； （2）通过证明和，即可求证； （3）连接，通过全等三角形的性质，找到面积之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ∴ （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴ （3）解：存在．． 理由：连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及三角形面积，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 26．（长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末） 材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可； 则． ∵对于任意上述等式成立， ∴，解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)已知整数x使分式的值为整数，请求出满足条件的整数x的值． (3)试求的最小值． 【答案】(1) (2)或6或0或2． (3)10． 【分析】（1）由分母，可设，再利用待定系数法求解，即可； （2）由分母，可设，再利用待定系数法求解，，再利用分式的值为整数可得答案； （3）把化为，从而可得答案． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则， ， ． ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ， ． （2）由分母，可设， 则， ， ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得； ∴， ， ， ， ∵x为整数，分式的值为整数， ∴为整数， ∴或6或0或2． （3）∵ ∵的值最小，则与同时取最小值即可， 当时，整式与分式同时取最小值， 所以最小值的和最小，最小值为10． 【点睛】本题考查的是待定系数法的应用，新定义运算，分式的加减运算的逆运算的理解，求解代数式的值，理解题意是解本题的关键． 27．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年期末）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)下列分式中属于“真分式”的有________；（填序号） ①；②；③ (2)将假分式化为带分式的形式； (3)如果的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)① (2) (3)的整数值为、、0、2 【分析】（1）根据题中所给新定义进行判断即可； （2）由题中所给方法进行化为带分式的形式即可； （3）先把分式化为带分式的形式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：①是“真分式”；②③都是“假分式”； 故答案为①； （2）解：； （3）解：， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴3是的倍数， ∴的整数值为、、0、2． 【点睛】本题主要考查分式，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 28．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年期末）（1）如图1，平分，若，求的长； （2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段之间的数量关系，并就图2的情形说明理由； （3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）5或17 【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质证明即可； （2）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明，即可解决问题； （3）连接，在上取点G，使得，连接，通过证明，得，则，求出的长度即可．当点M在射线上时，同理可得． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：，理由如下： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，连接，在取点G，使得，连接， ∵是等边三角形，点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点P作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当点M在射线上时， 同理可得． 故答案为：5或17． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 29．（长沙市北雅中学2023-2024学年期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图，已知格点(小正方形的顶点)：、、，若为格点，请直接画出所有以、为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：，即四边形是勾股四边形； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3）10 【分析】（1）利用勾股定理计算画出即可. （2）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，即可解答． （3）将△ABC逆时针旋转60°，即可得出上△ADE为直角三角形，再根据勾股定理求出ED的值即可解答. 【详解】（1）如图1 （2）如图2，连接EC. 根据旋转的性质知△ABC≌△BDC，则BC=BD，AC=DE. 又∠CBE=60° △CBE是等边三角形 ∠BCE=60°，BD=DE ∠DCB=30° ∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90° ，即四边形ABCD是勾股四边形. （3）如图示，将△ABC逆时针旋转60°，使C，与D点重合，得到△EBD， 则有：AB=AE，AC=ED，∠ABE=60， ∴△ABE为等边三角形， ∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90° △DAE为直角三角形 即： 故AC=10. 【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质. 30．（长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2023-2024学年期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，已知，，且满足 (1)求两点的坐标； (2)若点为中点，延长交轴于点，在的延长线上取点，使，连接． ①与轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图，若点的坐标为，是轴的正半轴上一动点，是直线上一点，且点的坐标为，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)①轴，理由见解析；②； (3)存在，． 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）①先证，得出，，最后根据平行线的性质得出，，进而得到即可；②根据，列出方程求解即可； （）如图，过分别向轴作垂线垂足分别为，可得，，先证，可得，进而得出即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴,， ∴， ∴，； （2）解：①轴，理由如下： ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即轴； ②从①可知，，为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在点使为等腰直角三角形，理由如下： 如图，过分别向轴作垂线，垂足分别为，则， ∵，， ∴，， 要使为等腰直角三角形，必有，且， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的性质、余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 31．（长沙市广益实验中学2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，点，关于轴对称．    (1)求，两点坐标； (2)如图1，点为射线上点右侧一动点，过点作交直线于，连，是否存在点，使？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限内一动点，且，过点作于点． ①若点在的延长线上，求证：平分； ②的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)①见详解②不变化，2 【分析】（1）由，可得，根据非负数的性质可得，，即可获得答案； （2）连接，过点作轴于点，首先证明，由可得，再利用轴对称的性质可得，则有，易得，证明，由全等三角形的性质可得，结合，可计算，可获得答案； （3）过点作于点，首先证明，可得，即可证明平分； ②在上取，证明，可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， 整理可得， ∴， ∴，， 解得，， ∴，， ∵点，关于轴对称， ∴； （2）连接，过点作轴于点，如下图，    ∵点，关于轴对称， ∴，，，，， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：过点作于点，如下图，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； ②不变化，在上取，连接，如下图，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质的知识，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 32．（长沙市开福区清水塘实验学校2023-2024学年期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即 （1）若A（2，1）和B（，3），则______； （2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值 （3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）10， 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解； （3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为：； （2）， ∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：； 故最小值为：； （3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值， 此时； 作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=， 在x轴上任取一点，， 即 故的最小值为：10m；的最大值为． 【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性． 33．（长沙市开福区清水塘实验学校2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(0,b)分别为x轴和y轴上一点，且a,b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ． （2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由． （3） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2），；理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）直接根据完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件得出的值即可得出答案； （2）根据题意证明，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理可得结论； （3）①作轴交轴于点，轴交轴于点，证明，即可得到答案； ②延长交于点，根据题意证明，然后证明，可得结论． 【详解】解：（1）∵， 即， ∴，， ∴A点的坐标为，点 ∴, ∵， ∴, 故答案为：，； （2）设与轴交于点,与交于点， ∵BE⊥AC， ∴， 在和中，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴，； （3）①作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点C的坐标为(4，3)， ∴， 由知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∴； ②延长交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵CE平分∠OCD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 长沙八年级期末解答题压轴33题 一、解答题 1．（长沙市2023-2024学年期末 ）如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上，从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是秒（），连接、、、． （1）请判断形状，并证明你的结论． （2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含的式子表示． 2．（长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末）如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 3．（长沙市华益中学2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点B顺时针旋转至，连接、． (1)若，求E点坐标及． (2)若点D、F分别是、中点，连接、，连接与交于点G，若为n，求（用含n的式子表示）． (3)在（2）的条件下，求线段与的数量关系，并说明理由． 4．（长沙市湖南师大附中凌云中学2023-2024学年期末）如图1，，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角．         图1               图2 (1)求C点的坐标； (2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使与全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，过M作轴于N，求出的值． 5．（长沙市立信中学2023-2024学年期末）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t； (3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度． 6．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年期末）如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内一点，且，过点作轴交于点，交于点，过点作轴交于点，交于点，已知点点且满足． (1)求点、的坐标； (2)判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由； (3)①当时，如图2，分别以、为边作等边三角形和，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当时，如图3，求的度数． 7．（长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 8．（长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，点，轴，点为轴上一点，点在轴上，且为等边三角形． (1)如图，求的长度． (2)如图，与交于点，若是等边三角形，求证：． (3)如图，线段与线段交于点，记四边形、、的面积依次为，，．且． 为轴上一动点，求周长的最小值． 当周长最小时，求线段的长度． 9．（长沙市长沙县2023-2024学年期末) 如图1所示，，，三点在同一条直线上，，，．    (1)在如图1，已知，，求的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，且，且，则点坐标为________． (3)如图3，点M，E分别在轴，轴上，，点在轴负半轴上，连，作且，连交轴于，请猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想． 10．(长沙市宁乡市2023-2024学年期末) （1）动手操作：如图①，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么度数为______； （2）观察发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图③）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （3）实践运用：将矩形纸片按如下步骤操作：将纸片对折得折痕，折痕与边交于点E，与边交于点F；将矩形与矩形分别沿折痕和折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有（如图④），求的大小． 11．（长沙市雨花区2023-2024学年期末）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 12．（长沙市浏阳市2023-2024学年期末）（1）如图1，中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，求证：． （2）在（1）的条件下，猜想：线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的一个动点，以为直角边作等腰直角，点在第二象限内，且，在点的运动过程中，的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由． 13．（长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年期末）如图1，点为的外角的平分线上一点，，于． (1)求证：； (2)若，连接，，，求的长度； (3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：． 14．（长沙市望城区2023-2024学年期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)求的长； (2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 15．（长沙市芙蓉区2023-2024学年期末) 阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 16．(长沙市雅礼教育集团2023-2024学年期末) 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点． (1)填空：①______（填写“＞”“＜”或“”）；②______； (2)证明：； (3)①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值； ②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值． 17．(长沙市湖南师大附中部分示范性学校教科研协作体2023-2024学年期末) 二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案． 【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如：，． (1)证明：对于任意正实数，，都有． (2)求的最大值，并标明等号成立的条件． 【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了． (3)如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明． (4)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值． 【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理． (5)设，，，都是正数 证明：． 18．（长沙市长沙一中双语中学2023-2024学年期末) 如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 19．(长沙市浏阳市2023-2024学年期末)在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 20．(长沙市立信中学2023-2024学年期末) 如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴的负半轴，且满足，点B在y轴的正半轴，且．试解决下列问题： (1)求点B的坐标； (2)若，垂足为M，求线段的长度； (3)如图2，在中，分别以为边，向外侧作正与正，连接，交于点E，求线段与的数量关系，并说明理由． 21．(长沙市明德教育集团2023-2024学年期末) 由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：． 应用上面的结论解答下列问题： (1)计算 ，由此可知 （填不等号）； (2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小； (3)试求分式的最大值． 22．(长沙市明德教育集团2023-2024学年期末)定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于180°，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”，且中有一个内角为50°，则 ° (2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点P为角平分线上一动点，点C为x轴上一动点，连接． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”； ②在①的条件下，若点P的坐标为，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点O顺时针方向旋转30°（即）得到，连接、、、，为的角平分线，过点P（P点不在点O处）作轴于点E，当点E在线段之间（不包含端点），点C在点E左侧且时，证明：与互为“友好三角形”，并说明，，之间的数量关系． 23．(长沙市宁乡市2023—2024学年期末) 【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 24．(长沙市雨花区2023-2024学年期末) 先阅读下面的材料，再解答问题．25．(因为， 所以． 特别地，， 所以． 当然，也可以利用，得， 所以， ， ， 这种变形也是将分母有理化． 利用上述的思路方法，计算： (1)； (2)． 25.(长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末) 已知中，是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由． 26．（长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年期末） 材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可； 则． ∵对于任意上述等式成立， ∴，解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)已知整数x使分式的值为整数，请求出满足条件的整数x的值． (3)试求的最小值． 27．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年期末）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)下列分式中属于“真分式”的有________；（填序号） ①；②；③ (2)将假分式化为带分式的形式； (3)如果的值为整数，求x的整数值． 28．（长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年期末）（1）如图1，平分，若，求的长； （2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段之间的数量关系，并就图2的情形说明理由； （3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长． 29．（长沙市北雅中学2023-2024学年期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图，已知格点(小正方形的顶点)：、、，若为格点，请直接画出所有以、为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：，即四边形是勾股四边形； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求长． 30．（长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2023-2024学年期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，已知，，且满足 (1)求两点的坐标； (2)若点为中点，延长交轴于点，在的延长线上取点，使，连接． ①与轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图，若点的坐标为，是轴的正半轴上一动点，是直线上一点，且点的坐标为，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 31．（长沙市广益实验中学2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，点，关于轴对称．    (1)求，两点坐标； (2)如图1，点为射线上点右侧一动点，过点作交直线于，连，是否存在点，使？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限内一动点，且，过点作于点． ①若点在的延长线上，求证：平分； ②的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由． 32．（长沙市开福区清水塘实验学校2023-2024学年期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即 （1）若A（2，1）和B（，3），则______； （2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值 （3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示） 33．（长沙市开福区清水塘实验学校2023-2024学年期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(0,b)分别为x轴和y轴上一点，且a,b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ． （2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由． （3） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$