2.5直线与圆的位置关系（5）课件2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2.5直线与圆的位置关系（5） 沭阳县南湖中学 初三数学备课组 一、导入 p A B o 想一想：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线,能画几条切线？ 首创 奋斗 奉献 一、导入 想一想：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线，能画几条切线？ 点在圆内时， 点在圆上时， 点在圆外时， 不存在切线． 只能画一条切线． 可以画两条切线． 首创 奋斗 奉献 学习目标 1．了解切线长的概念； 2．探索并证明切线长定理，并运用切线长定理解决相关问题。 首创 奋斗 奉献 二、自学 请同学们自学课本P70-71内容，思考： 什么叫切线长？ 切线长定理的具体内容是什么？ 如何证明？ 3. 连接OA,OB,AB和OP，还有哪些相等的量？ 5分钟后，完成自学检测 .A B P O. . 首创 奋斗 奉献 .A B P O. . 圆的切线长： 思考：切线与切线长有什么区别？ 什么叫切线长？ （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长，可度量． 不可度量. 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。 首创 奋斗 奉献 2.切线长定理的具体内容是什么?如何证明？ A P O ． B PA ＝ PB 证明：∵PA、PB与⊙O相切， 点A、B是切点． ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP＝∠OBP＝90°． ∵ OA＝OB，OP＝OP． ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ． ∴ PA ＝ PB， ∠OPA＝∠OPB ． ∠OPA＝∠OPB． 试用文字语言叙述你所发现的结论． 首创 奋斗 奉献 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B． ∴PA ＝ PB． ∠OPA＝∠OPB． 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理 A P O ． B 几何语言： 反思： 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法． 首创 奋斗 奉献 3. 连接OA,OB,AB和OP，还有哪些相等的量？ A P O ． B E 首创 奋斗 奉献 1．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠APB＝60°，⊙O的半径为2cm，则 （1）∠APO＝ ___ °，∠BOP＝___ ° （2）OP＝ ___cm，AP＝___ cm ，BP＝ cm （3）△ABP的周长＝ cm。 30 60 4 三、交流 首创 奋斗 奉献 　　 1. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Ｃ，交PA、PB于点E、F． (1)已知PA＝12cm，△PEF的周长为_____. 三、交流 试探究△PEF的周长与线段PA的数量关系； 若∠P＝α，求∠EOF的度数． (2)已知∠P＝40°，∠EOF的度数为_____． 24cm 70° 首创 奋斗 奉献 1.如图，△ABC中,∠C＝90º，且AC＝6，BC＝8， 它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r. 6 8 r 6-r 6-r 8-r r 8-r 变式：△ABC中，∠C ＝90º ，AC＝b，BC＝a，AB=c，则内切圆半径r为_____ 四、展示 应用： Rt△ABC的两条直角边分别为3，4，则内切圆的半径为_____. 外接圆的半径为_____. 2.5 1 r=2 首创 奋斗 奉献 　 四、展示 1. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？ 解：AB与AC相等 连接OD、OE， ∵AB,AC是小圆的两条切线 ,切点分别为D、E， ∴OD⊥AB,OE⊥AC(切线性质定理), AD=AE(切线长定理) 又∵ AB、AC是大圆的弦， OD⊥AB,OE⊥AC ∴AD=BD,AE=CE(垂径定理) ∴AB=2AD,AC=2AE ∴AB=AC A B C D E ● O 首创 奋斗 奉献 变式1：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E.求证：DE∥BC且DE=BC. A B C D E ● O 证明：连接OD、OE， ∵AB,AC是小圆的两条切线 ,切点分别为D、E， ∴OD⊥AB,OE⊥AC(切线性质定理), ∵AB、AC是大圆的弦，OD⊥AB,OE⊥AC ∴AD=BD，AE=CE（垂径定理）， ∴D、E分别是AB、AC的中点. ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC且DE=BC（中位线定理）. 首创 奋斗 奉献 变式2：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E.连接BC，若两圆的半径分别为3和5，试判断BC与小圆的位置关系，并说明理由. A B C D E M 证明：连接OD、OE、OA、OB、OC. 延长AO交BC于点M. ∵AB,AC是小圆的两条切线 ,切点分别为D、E， ∴OD⊥AB,OE⊥AC(切线性质定理), ∴由勾股定理得： AD=BD=AE=CE==4 ∴AB=AC=8 ∴ AM＜8, ∵两圆半径和为8， ∴5+OM ＜5+3，即OM ＜3，∴ BC与小圆相交. ● O 首创 奋斗 奉献 15 变式3：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E.当大圆半径R与小圆半径r满足什么关系时,直线BC与小圆相切. A B C D E Q ● O 证明：当R=2r 时,直线BC与小圆相切. 假设直线BC与小圆相切,切点为Q,易证AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形，∠ABC=60 °， 连接OQ，由切线性质定理得OQ⊥BC， ∴∠BQO=90° 连接BO,由切线长定理得 ∠ABO=∠CBO=∠ABC=30° ∴OB=2OQ ∴ 当R=2r时,直线BC与小圆相切. 首创 奋斗 奉献 16 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．如果AB＝5，AC＝3．则BD的长为 ____ . 2 五、反馈 2．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC内切圆半径为____。 1.5 3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为 ____°.若AP＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为为 ____ . 90 首创 奋斗 奉献 五、反馈 4. ⊙O是四边形ABCD的内切圆，E，M，F，N分别是边AB，BC，CD，DA上的切点，AB、CD、AD、BC之间有怎样的数量关系？为什么？ A B F ● O D E C N M 首创 奋斗 奉献 六、总结 1、切线长的定义； 2、切线长定理，有关于切线长的性质。 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 2、内切圆半径的相关公式. 首创 奋斗 奉献 谢谢，再见！ $$