19.10 两点的距离公式(7大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.10 两点的距离公式 知识点一 两点的距离公式 1.两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离 . 提示 (1) 平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关; (2) 运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此; (3) . 2.特殊情况 (1)当轴时,;所以; (2)当轴时,;所以; (3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以 题型1 已知两点坐标求线段长 解题技巧提炼 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离 . 1．已知A、B两点关于原点对称，且A(3，4)，则AB为（　　　） A．5 B．6 C．10 D．8 2．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 3．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ． 4．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有 个． 5．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个． 题型2 根据两点的距离公式求坐标 解题技巧提炼 先根据两点坐标距离公式列出一元二次方程，再解一元二次方程求出对应坐标. 1．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 2．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 4．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 题型3 利用两点坐标距离公式进行证明 解题技巧提炼 坐标平面内三角形形状的判断方法： 在直角坐标平面内,已知三点的坐标,判断联结这三点所构成的三角形形状，一般先由两点的距离公式计算三角形的三边长,再从三边之间的关系来判断它的形状,有时还要结合勾股定理的逆定理进行判断. 1．已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　） A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上 C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对 题型4 根据勾股定理求距离 解题技巧提炼： 先由勾股定理列出两直角边的平方和等于斜边的平方，再解方程即可求解. 1．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 2．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 4．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？    5．如图，笔直公路上、两点相距千米，、为两居民区，于，于，已知千米，千米，现要在公路段上建一超市，使、两居民区到的距离相等，则超市应建在离处多远处． 6．一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    7．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 8．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 题型5 最短路径问题 解题技巧提炼： 最短路径问题一般我们结合轴对称，将距离和转化到三角形两边之和大于第三边的问题中，即两点之间线段最短求解. 1．如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计） 3．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 4．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 3．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：km），铁路经过A，B两地． （1）求A，B间的距离； （2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等请用尺规作图的方法确定点D，并求出CD． 题型6 两点距离公式实际问题 解题技巧提炼： 直角三角形问题要结合勾股定理，坐标问题要结合两点距离公式进行求解. 1．一个机器人从点出发，向正东方向走3米到点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米，达到点．按如此规律走下去，若机器人走到点时，离起点的距离 米． 2．列方程解应用题： 如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？ 3．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．    （1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明） （2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？ （3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程） 4．如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置． 5．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 6．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 7．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 题型7 新定义与归纳探究 解题技巧提炼： 新定义问题首先要审题，明白题目的意思，再根据新定义和两点距离公式进行求解. 1．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A．4 B．8 C．10 D．12 2．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 3．【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； (2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)    试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.10 两点的距离公式 知识点一 两点的距离公式 1.两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离 . 提示 (1) 平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关; (2) 运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此; (3) . 2.特殊情况 (1)当轴时,;所以; (2)当轴时,;所以; (3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以 题型1 已知两点坐标求线段长 解题技巧提炼 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离 . 1．已知A、B两点关于原点对称，且A(3，4)，则AB为（　　　） A．5 B．6 C．10 D．8 【答案】C 【分析】关于原点对称的的的特征是，横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数，据此解题即可． 【详解】B两点关于原点对称，且A（3，4），那么B；根据两点的距离公式可得AB=10 故选：C． 【点睛】本题考关于原点对称的点的特征，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 2．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根即可解出a、b、c的值，在进行比较即可 【详解】根据， 将A、B两点坐标代入可得，即c= 将A、C两点坐标代入可得，即b= 将B、C两点坐标代入可得，即a= 所以c>a>b，选D 【点睛】本题的关键是利用两点间距离公式求出a，b，c的值，在进行比较 3．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ． 【答案】5． 【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB= 【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5, 故答案为5, 故答案是：5. 【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 4．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有 个． 【答案】3 【详解】解：点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个． 故答案是：3． 【点睛】正确确定满足条件的点是解决本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q（x，0）或（y，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q点坐标 【详解】解：设这一点为Q，坐标轴上点Q到点P的距离等于10， 若点Q在x轴上，设Q（x，0）则，解得x=0或x=-12，此时Q点坐标为（0,0），（-12,0）； 若点Q在y轴上，设Q（0，y）则，解得y=0或y=16，此时Q点坐标为（0,0），（0,16） 所以坐标轴上到点P（-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3 【点睛】本题的关键是掌握两点间的距离公式，进行分类讨论 题型2 根据两点的距离公式求坐标 解题技巧提炼 先根据两点坐标距离公式列出一元二次方程，再解一元二次方程求出对应坐标. 1．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 【答案】(3，0)或(-9，0) 【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可． 【详解】 xB=3或-9 故答案为：3或-9 【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可 【详解】解： 因为∠ACB=90°，C点在x轴上， 所以 即，整理得， 解得 所以点C坐标为（-4,0）或（1,0） 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理 3．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可 【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4； ②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3 综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3） 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理 4．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 【答案】8或0 【分析】根据两点的距离公式解答即可. 【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0， 故答案为：8或0. 【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键. 题型3 利用两点坐标距离公式进行证明 解题技巧提炼 坐标平面内三角形形状的判断方法： 在直角坐标平面内,已知三点的坐标,判断联结这三点所构成的三角形形状，一般先由两点的距离公式计算三角形的三边长,再从三边之间的关系来判断它的形状,有时还要结合勾股定理的逆定理进行判断. 1．已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，两点之间的距离公式的运用，先分别计算，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， 故选C 2．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　） A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上 C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用两点的距离公式，可得AB= 5，AC= 3，BC= 2，因为AB=AC+BC可得点A 、点B、点C在同一条直线上 【详解】∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)， ∴AB===5， AC= ==3， BC= ==2， ∴AB=AC+BC, ∴点A 、点B、点C在同一条直线上. 故选：B 【点睛】此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键. 题型4 根据勾股定理求距离 解题技巧提炼： 先由勾股定理列出两直角边的平方和等于斜边的平方，再解方程即可求解. 1．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】连接AE交BD于C， 则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE， 过A作AH⊥ED交ED的延长线于H， ∵， ∴， ∴此时桥C到A村和E村的距离和为10， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用． 2．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 3．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝102+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：102+x2＝152+（25﹣x）2， 解得：x＝15km． 所以，E应建在距A点15km处． 故选：C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 4．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？    【答案】 【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等， 则千米； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， 答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解决本题的关键． 5．如图，笔直公路上、两点相距千米，、为两居民区，于，于，已知千米，千米，现要在公路段上建一超市，使、两居民区到的距离相等，则超市应建在离处多远处． 【答案】千米 【分析】设千米，则千米，利用勾股定理求出两个直角三角形的斜边长，再利用两个三角形的斜边相等求出的长即可． 【详解】设千米，则千米， 因为， 所以， 解得：千米， 经检验是原方程的解， 故超市应建在离处千米处． 【点睛】考查根据勾股定理确定相应长度，利用两直角三角形斜边相等是解答本题的关键． 6．一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【答案】储藏仓库到A站点的距离约为 【分析】根据题意得到，结合勾股定理得到，设，则代入求解即可得到答案； 【详解】两村到储藏仓库的直线距离相等， ∴， ，， ， 在和中， 由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库到站点的距离约为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是得到． 7．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 8．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 题型5 最短路径问题 解题技巧提炼： 最短路径问题一般我们结合轴对称，将距离和转化到三角形两边之和大于第三边的问题中，即两点之间线段最短求解. 1．如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是 【答案】1700m 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP＋BP＝A′B， 在Rt△A′DB中， 由勾股定理求得A′B＝＝＝1700m， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是1700m． 故答案为1700m． 【点睛】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】20 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：AD==16（m）， AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）， 在Rt△ADE中，AE=（m）． 故他滑行的最短距离约为20m． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 4．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 3．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：km），铁路经过A，B两地． （1）求A，B间的距离； （2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等请用尺规作图的方法确定点D，并求出CD． 【答案】（1）20km；（2）13km，作图见详解 【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度； （2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值． 【详解】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴， ∴AB＝12−（−8）＝20（km）； （2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D， 由（1）可知：CE＝1−（−17）＝18，AE＝12， 设CD＝x， ∴AD＝CD＝x， 由勾股定理可知：x2＝（18−x）2＋122， ∴解得：x＝13， ∴CD＝13（km）． 【点睛】本题考查勾股定理，图形与坐标，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型． 题型6 两点距离公式实际问题 解题技巧提炼： 直角三角形问题要结合勾股定理，坐标问题要结合两点距离公式进行求解. 1．一个机器人从点出发，向正东方向走3米到点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米，达到点．按如此规律走下去，若机器人走到点时，离起点的距离 米． 【答案】 【分析】根据机器人行走规律，每换一个方向，行走距离增加3米，行走路线为正东-正北-正西-正南，可以得到A7点坐标为（-12,12），再根据两点间距离公式即可求出答案 【详解】解：已点O为原点，建立平面直角坐标系，根据题意可知，机器人从A5向正北方向走18米到达点A6，所以点A6的坐标为（9,12），机器人从A6向正西方向走21米到达A7，所以A7坐标为（-12,12），所以 【点睛】本题的关键是建立平面直角坐标系，根据规律推出A7坐标 2．列方程解应用题： 如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？ 【答案】15 【分析】根据题意设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，进而利用勾股定理即可解答． 【详解】解：设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km， 由题意可得：， 解得：x=15， 答：D处距离A镇15千米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是读懂题意，表示出BD，CD的距离． 3．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．    （1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明） （2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？ （3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程） 【答案】（1）画图见解析；（2）万元；（3）；画图见解析 【分析】（1）作点A关于CD的对称点，连接，与CD的交点即为所求； （2）AF⊥BD于点F，过点A′作，交BD延长线于点E，可得，，，利用勾股定理求得，继而由可得答案． （3）作AB的中垂线，交CD于点M，点M即为所求；设，则，由即，列方程求解可得． 【详解】（1）如图1所示，点即为所求．    （2）如图1，过点作于点，过点作，交延长线于点， 则四边形和四边形均为矩形， ， ， 则，， 在中，， ， 则， 所以最节省的费用为（万元）． （3）如图，作的中垂线，交于点， 则点即为所求；    连接、， 设，则， ， ，即， 解得：，即点在距离点的地方． 【点睛】本题考查了尺规作图，轴对称的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用． 4．如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置． 【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处. 【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置． 【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图， 根据题意可知, 设P(x,0)，则 整理得：， 解得． 故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处． 【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键． 5．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 6．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 7．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)； (2)P点的位置见解析，的距离为16千米； (3)15． 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E， 则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 题型7 新定义与归纳探究 解题技巧提炼： 新定义问题首先要审题，明白题目的意思，再根据新定义和两点距离公式进行求解. 1．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】由条件可得到|x﹣2|+|y﹣1|=3，分四种情况：①x﹣2=±3，y﹣1=0，②x﹣2=±2，y﹣1=±1，③x﹣2=±1，y﹣1=±2，④x﹣2=0，y﹣1=±3，进行讨论即可求解． 【详解】解：依题意有： |x﹣2|+|y﹣1|=3， ①x﹣2=±3，y﹣1=0， 解得，； ②x﹣2=±2，y﹣1=±1， 解得，，，； ③x﹣2=±1，y﹣1=±2， 解得，，，； ④x﹣2=0，y﹣1=±3， 解得，． 故满足条件的点P有12个． 故选：D． 【点睛】本题为新概念题目，考查了观察与实验能力，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 2．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 3．【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； (2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)    【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480−)km． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE； （2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可； （3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案． 【详解】解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。    理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点， ∴∠BAD=30∘， ∵EF⊥AB， ∴EF=AE； (2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。 ∵△ABC是边长为2的正△ABC， ∴CN=BCsin60∘=2×= ∴MN+CM=12AM+MC= 即AM+MC的最小值为 (3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30 作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。 在Rt△ABD中,AD=(km) 在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30∘,得MD=BDtan30∘=(km)， 所以AM=(480−)km． 【点睛】此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$