专题03 函数的概念与性质（知识梳理+13考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题03 函数的概念与性质 目录 考情回顾 1 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 4 考点一：函数的概念 4 考点二：函数的解析式 6 考点三：分段函数求值问题 8 考点四：分段函数与方程、不等式问题 9 考点五：求函数的定义域 10 考点六：求函数的值域 11 考点七：函数的单调性 12 考点八：求函数的最值 13 考点九：函数奇偶性的应用 15 考点十：函数的周期性 16 考点十一：函数的对称性 17 考点十二：幂函数 18 考点十三：函数的应用 19 实战训练 22 考情回顾 考点 考频 考查内容 函数的概念 5年3考 分段函数求值 函数的性质 5年5考 函数的单调性、奇偶性 幂函数 5年1考 幂函数的图象和性质 考情解读 (1) 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. (2) 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. (3) 了解简单的分段函数,并能简单应用. (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义:结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质, 知识梳理 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 7、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 8、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 9、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 考点精讲 考点一：函数的概念 【典型例题】 解题策略 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应， 即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．两个函数的定义域和对应关系分别相同时，两函数是同一个函数． 例1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例2．中国清朝数学家李谱兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合，， 给出下列四个对应关系， 请由函数定义判断， 其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【即时演练】 1．下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 2．已知集合. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 考点二：函数的解析式 【典型例题】 解题策略 方法 条件 思路 待定系 数法 已知函数类型 ①设出含有待定系数的函数解析式 ②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数 换元法 形如y＝ f[g(x)]的函数 ①令t＝g(x)，求出x＝φ(t)，换元注意给出新元t的取值范围 ②将x＝φ(t)代入表达式求出f(t) ③将t换成x得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围 配凑法 形如f[g(x)]＝F(x)的函数 ①由已知条件f[g(x)]＝F(x)将F(x)改写成关于g(x)的表达式 ②以x替代g(x)，得f(x)的解析式，同时注意给出x的取值范围 构造法 已知关于f(x) 与f(－x)或f()的表达式 ①把x换成－x或，构造出另外一个等式，与原等式组成方程组 ②通过解方程组求出f(x) 例1．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 例2．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 例3．已知，则（　　） A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D． 例4．已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则 . 3．（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 考点三：分段函数求值问题 【典型例题】 解题策略 求解分段函数求值问题的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 例1．（2023•广东学业考试）已知函数，则（1）　　 A． B．2 C．1 D．5 例2．（2021•广东学业考试），则（2）的值为 　　． 例3．（2020•广东学业考试）已知函数，若（1），则实数的值等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【即时演练】 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．函数，则 ，若，则 ． 4．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 5．已知函数，若，则（    ） A．0 B．2 C． D．2或3 6．某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为，收费标准如下表所示： 时间段 00：00—07：00 07：00—10：00 10：00—15：00 15：00—18：00 18：00—21：00 21：00—23：00 23：00—24：00 收费（元/） 1.2 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.2 小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（    ） A．31.5元 B．37.5元 C．45.3元 D．51.1元 考点四：分段函数与方程、不等式问题 【典型例题】 解题策略 解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：解由分段函数构成的方程、不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 例1．已知函数，则 ，不等式的解集为 . 例2．设函数 则不等式 的解集是 . 例3．设函数，若，则实数的取值范围是 . 【即时演练】 1．已知函数，表示，中的最小值． (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)求的解集． 2．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 考点五：求函数的定义域 【典例讲解】 解题策略 求函数定义域的策略 类型 策略 具体函数 已知函数的解析式，构建使解析式有意义的不等式(组)求解 抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出 ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域 实际问题 既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D． 例3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高三·广东·学业考试）函数的定义域为 . 例5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2024高二上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2022高三下·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点六：求函数的值域 【典例讲解】 解题策略 求函数值域的一般方法及注意点 (1)求函数值域常用的方法有：分离常数法、反解法、配方法、不等式法、单调性法、换元法、数形结合法、导数法． (2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围． (3)判别式法适用于y＝(ap≠0，x∈R)类型(即f(x)是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x值，还要注意对二次项系数是否为零进行讨论)，但若给定x一个范围，则此方法不再适用． 例1．下列值域是的是（   ） A． B． C． 例2．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 例3．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【即时演练】 1．函数的值域是 ． 2．函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 考点七：函数的单调性 【典例讲解】 解题策略 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法． (3)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 例1．（2024•广东学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是　　 A． B． C． D． 例2．（2023•广东学业考试）下列函数中，在其定义域上是增函数的是　　 A． B． C． D． 例3．（2024•广东学业考试）已知对定义域内的任意实数，，且，恒成立，设，（3），（5），则　　 A． B． C． D． 【即时演练】 1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 3．证明：函数在上是增函数 4．已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若，求实数的取值范围． 考点八：求函数的最值 【典例讲解】 解题策略 求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 例1．函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 例3．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 例5．（2023•广东学业考试）已知函数，其中． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为2，求的值． 【即时演练】 1．下列函数中，存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二·辽宁沈阳·学业考试）已知函数，则在上的最大值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 3．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 4．设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 考点九：函数奇偶性的应用 【典例讲解】 解题策略 (1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值． (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． 例1．（2024•广东学业考试）下列函数图像中，为偶函数的是　　 A． B． C． D． 例2．（2022•广东学业考试）已知函数为偶函数，且（2），则　　 A．1 B．3 C．4 D．7 例3．（2024•广东学业考试）函数是偶函数，当时，，则　　． 例4．（2023•广东学业考试）已知是奇函数，且当时，．若（8），则实数　　 A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2021•广东学业考试）已知为奇函数，当时，，则（3）　　． 2．（2020•广东学业考试）已知函数是偶函数，当时，，则当，　　． 3．（2020•广东学业考试）设是定义在上的偶函数，当时，，则时，　　． 4．（2020•广东学业考试）已知设函数，． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求使的的取值范围． 考点十：函数的周期性 【典例讲解】 解题策略 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 例1．定义在上的奇函数满足，且，则 ． 例2．已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则=（    ） A．0 B．1 C． D． 例3．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知函数，则 . 2．已知函数的周期为1，且当时，，则 ． 考点十一：函数的对称性 【典例讲解】 解题策略 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心． (2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 例1．如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 例2．在同一坐标系中，函数与的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 例3．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 2．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数” .    3．已知函数的图像关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．3 考点十二：幂函数 【典例讲解】 解题策略 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 例1．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 例2．函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 例3．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 例4．（2021•广东学业考试）已知三个数，，，则三个数的大小关系是　　 A． B． C． D． 【即时演练】 1．下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（    ）          A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 2．）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，的值可以是 .（写一个即可） 3．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 考点十三：函数的应用 【典例讲解】 解题策略 用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． ． 例1.某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 例2．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    例3．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 【即时演练】 1．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 3．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 实战训练 一、单选题 1．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 2．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 4．已知函数（表示不超过的最大整数），则 . 5．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是 ． 6．奇函数，则 ． 7．已知则 ；的最大值为 ． 三、解答题 8．已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由 (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 9．函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)解关于的不等式． 10．已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 目录 考情回顾 1 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 4 考点一：函数的概念 4 考点二：函数的解析式 7 考点三：分段函数求值问题 11 考点四：分段函数与方程、不等式问题 15 考点五：求函数的定义域 18 考点六：求函数的值域 21 考点七：函数的单调性 24 考点八：求函数的最值 27 考点九：函数奇偶性的应用 31 考点十：函数的周期性 34 考点十一：函数的对称性 36 考点十二：幂函数 39 考点十三：函数的应用 42 实战训练 47 考情回顾 考点 考频 考查内容 函数的概念 5年3考 分段函数求值 函数的性质 5年5考 函数的单调性、奇偶性 幂函数 5年1考 幂函数的图象和性质 考情解读 (1) 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. (2) 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. (3) 了解简单的分段函数,并能简单应用. (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义:结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质, 知识梳理 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 7、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 8、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 9、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 考点精讲 考点一：函数的概念 【典型例题】 解题策略 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应， 即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．两个函数的定义域和对应关系分别相同时，两函数是同一个函数． 例1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图意，写出定义域和值域，再与条件对照得解. 【详解】对于A，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于B，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于C，一个自变量对应两个函数值，不是函数，与条件矛盾，错误； 对于D，定义域为，值域为，与条件吻合，正确； 故选：D. 例2．中国清朝数学家李谱兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合，， 给出下列四个对应关系， 请由函数定义判断， 其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A：因为，，当时， 所以不能构成从到的函数，故A错误； 对于B：因为，，当时， 所以不能构成从到的函数，故B错误； 对于C：因为，，当时， 所以不能构成从到的函数，故C错误； 对于D：因为，当时，当时， 当时，当时， 所以能构成从到的函数，故D正确. 故选：D 例3．在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】根据函数的定义，即可判断选项. 【详解】根据函数的定义可知，任何一个值只能对应唯一的值，（1）（2）（3）不满足, 故选：D 【即时演练】 1．下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】作直线，，通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 2．已知集合. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C. 考点二：函数的解析式 【典型例题】 解题策略 方法 条件 思路 待定系 数法 已知函数类型 ①设出含有待定系数的函数解析式 ②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数 换元法 形如y＝ f[g(x)]的函数 ①令t＝g(x)，求出x＝φ(t)，换元注意给出新元t的取值范围 ②将x＝φ(t)代入表达式求出f(t) ③将t换成x得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围 配凑法 形如f[g(x)]＝F(x)的函数 ①由已知条件f[g(x)]＝F(x)将F(x)改写成关于g(x)的表达式 ②以x替代g(x)，得f(x)的解析式，同时注意给出x的取值范围 构造法 已知关于f(x) 与f(－x)或f()的表达式 ①把x换成－x或，构造出另外一个等式，与原等式组成方程组 ②通过解方程组求出f(x) 例1．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 例2．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求得的解析式. 【详解】由于， 所以. 故选：C 例3．已知，则（　　） A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D． 【答案】A 【分析】采用方程组法，将替换为再写一组，联立两个方程消去即可求解 【详解】因为①，所以②，联立①②解得． 故选：A 【点睛】本题考查方程组法求解析式，属于基础题 例4．已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】设，则且，因为，可得， 所以函数. 故选：B. 【即时演练】 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 2．已知，则 . 【答案】 【分析】用换元法，设，解出，再将换成即可. 【详解】令，则，∴，即. 故答案为：. 3．（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 考点三：分段函数求值问题 【典型例题】 解题策略 求解分段函数求值问题的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 例1．（2023•广东学业考试）已知函数，则（1）　　 A． B．2 C．1 D．5 【解析】根据题意，函数， 则（1）， 故选：． 例2．（2021•广东学业考试），则（2）的值为 　　． 【解析】由题意，自变量为2， 故内层函数（2）， 故有（1）， 即（2）（1）， 故答案为 2 例3．（2020•广东学业考试）已知函数，若（1），则实数的值等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】函数， ，（1）， 若（1）， ， 故选：． 【即时演练】 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 2．已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B. 3．函数，则 ，若，则 ． 【答案】 / 【分析】根据分段函数的解析式求函数值，由函数值求对应自变量即可. 【详解】由，故， 令，无解，令，可得. 故答案为：，. 4．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 5．已知函数，若，则（    ） A．0 B．2 C． D．2或3 【答案】B 【分析】由题意分类讨论，，解方程可求解a. 【详解】当时，则，解得：或（舍去） 当时，则，解得：（舍去） 综上所述： 故选：B. 6．某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为，收费标准如下表所示： 时间段 00：00—07：00 07：00—10：00 10：00—15：00 15：00—18：00 18：00—21：00 21：00—23：00 23：00—24：00 收费（元/） 1.2 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.2 小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（    ） A．31.5元 B．37.5元 C．45.3元 D．51.1元 【答案】B 【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项. 【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x小时，费用为元. 综上，小王应缴纳的充电费， 因为，所以. 故选：B 考点四：分段函数与方程、不等式问题 【典型例题】 解题策略 解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：解由分段函数构成的方程、不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 例1．已知函数，则 ，不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的特点求值和分情况解不等式即可求解 【详解】因为， 所以, ; 由得； 由得； 所以不等式的解集为． 故答案为：； 例2．设函数 则不等式 的解集是 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得，按时和时讨论，取并集即可. 【详解】解：因为函数， 所以， 当时，由可得， 即，解得或， 因为，所以或， 当时，由可得， 解得，所以， 综上或， 故答案为： 例3．设函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由分段函数解析式画出函数图象，再由不等式解集可得解出的解集即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 易知当可得； 当时，，此时恒成立，即； 当时，，即，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 【即时演练】 1．已知函数，表示，中的最小值． (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)求的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接代入计算并比较大小即可； （2）先求出函数，进而代值求解即可； （3）分和或两种情况解不等式即可求解. 【详解】（1），. （2）由，得， 由，得或， 则， （3）由（1）知，， 当时，，即，即，所以； 当或时，，即，即，所以. 综上所述，的解集为. 2．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解； （2）根据分段函数定义分类列不等式求解． 【详解】（1）由可得：舍去） （2）由可得： ； 综上可得. 考点五：求函数的定义域 【典例讲解】 解题策略 求函数定义域的策略 类型 策略 具体函数 已知函数的解析式，构建使解析式有意义的不等式(组)求解 抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出 ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域 实际问题 既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解析式有意义即可. 【详解】由题意可得：，∴ 故选：A 例2．函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式、分式的意义直接运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B. 例3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 例4．（2024高三·广东·学业考试）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用具体函数的定义域求解. 【详解】解：因为， 所以,解得x≥1且x≠2，x≠3， 即函数的定义域为 ， 故答案为：. 例5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得； 【详解】解：因为函数的定义域为， 即，所以，令，解得， 所以函数的定义域为； 故选：A 【即时演练】 1．（2024高二上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】令，解得，故定义域为. 故选：D 2．（2024高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】∵有意义，∴，即， 所以函数的定义域是， 故选: A. 3．（2022高三下·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义解不等式可得. 【详解】由解析式有意义知，解得， 即的定义域为. 故选：B 考点六：求函数的值域 【典例讲解】 解题策略 求函数值域的一般方法及注意点 (1)求函数值域常用的方法有：分离常数法、反解法、配方法、不等式法、单调性法、换元法、数形结合法、导数法． (2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围． (3)判别式法适用于y＝(ap≠0，x∈R)类型(即f(x)是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x值，还要注意对二次项系数是否为零进行讨论)，但若给定x一个范围，则此方法不再适用． 例1．下列值域是的是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】分别求出各函数的值域. 【详解】对A：值域为，故A错误； 对B：值域为，故B错误； 对C：的定义域为，在定义域上为增函数，故值域为，故C正确. 故选：C. 例2．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法设，可得，结合二次函数性质可得值域. 【详解】设，，则， 所以， 所以当时，取最大值为， 即函数的值域为. 故选：D. 例3．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 【即时演练】 1．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】, 由于，故， 故值域为， 故答案为： 2．函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域. 【详解】设，则， 所以， 因为，在上单调递增，所以当时，， 当时，， 所以函数，的值域是， 故选：D. 考点七：函数的单调性 【典例讲解】 解题策略 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法． (3)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 例1．（2024•广东学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，，是指数函数，在上递增，不符合题意； 对于，，是对数函数，在上递增，不符合题意； 对于，是幂函数，在上递增，不符合题意； 对于，，是反比例函数，在上递减，符合题意． 故选：． 例2．（2023•广东学业考试）下列函数中，在其定义域上是增函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于选项，函数在定义域上为减函数，不满足条件； 对于选项，函数在定义域上不单调，不满足条件； 对于选项，函数在定义域上为增函数，满足条件； 对于选项，函数在定义域上不单调，不满足条件． 故选：． 例3．（2024•广东学业考试）已知对定义域内的任意实数，，且，恒成立，设，（3），（5），则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，对定义域内的任意实数，，且，恒成立， 则在其定义域内为增函数， 所以． 故选：． 【即时演练】 1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可. 【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：B 2．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 【答案】A 【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围. 【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以. 故选：A 3．证明：函数在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】直接根据定义法证明即可. 【详解】证明：任取，则，， ， ， 故函数在上是增函数 4．已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. （2）由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 考点八：求函数的最值 【典例讲解】 解题策略 求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 例1．函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出最大值. 【详解】因为是单调增函数， 又因为,所以. 故选：D. 例2．已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值. 方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值. 【详解】方法一：当时，， 所以得最小值是6. 方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C 例3．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例判断A，利用基本不等式判断BC，利用函数单调性判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，又，等号取不到，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为和在和单调递增， 所以在和单调递增，无最小值，故D错误. 故选：C 例4．已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以函数的最大值为15. 故选：A 例5．（2023•广东学业考试）已知函数，其中． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为2，求的值． 【解析】（1）要使函数有意义，则有，解得， 函数的定义域为； （2）函数可化为 ， ，． ，， 即， 由，解得． 【即时演练】 1．下列函数中，存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可. 【详解】单调递减值域为,无最小值，A选项错误； 在单调递减，在单调递增，当取得最小值，B选项正确； 单调递增，值域为，无最小值，C选项错误； 单调递增，值域为,无最小值，D选项错误. 故选:B. 2．（2023高二·辽宁沈阳·学业考试）已知函数，则在上的最大值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 【答案】A 【分析】先通过对称轴确定单调性，进一步可求最大值. 【详解】函数的对称轴为， 所以函数在上单调递减， . 故选：A. 3．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 4．设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可； （2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可. 【详解】（1）当时，即为， 解得或， 则该不等式解集为. （2）对恒成立， 即对恒成立， 分离参数得对恒成立， 因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 则. 考点九：函数奇偶性的应用 【典例讲解】 解题策略 (1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值． (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． 例1．（2024•广东学业考试）下列函数图像中，为偶函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，偶函数的图象关于轴对称， 分析选项可得：选项和中图象关于原点对称，不符合题意， 选项中图象既不关于原点对称，也不关于轴对称，不符合题意， 选项中图象关于轴对称，根据题意． 故选：． 例2．（2022•广东学业考试）已知函数为偶函数，且（2），则　　 A．1 B．3 C．4 D．7 【解析】由偶函数的性质得（2）． 故选：． 12．已知函数是奇函数，且当时，，则　　 A． B．0 C．1 D．2 【解析】是定义在上的奇函数， ，（1）， 又当时，， （1），， 故选：． 例3．（2024•广东学业考试）函数是偶函数，当时，，则　　． 【解析】因为当时，， 所以当时，， 所以， 函数是偶函数， 所以， 所以． 故答案为：2． 例4．（2023•广东学业考试）已知是奇函数，且当时，．若（8），则实数　　 A． B． C． D． 【解析】由是奇函数，可得， 当时，， 若（8），则（8）， 即， 解得． 故选：． 【即时演练】 1．（2021•广东学业考试）已知为奇函数，当时，，则（3）　　． 【解析】为奇函数，当时，， 则（3）， 故答案为：． 2．（2020•广东学业考试）已知函数是偶函数，当时，，则当，　　． 【解析】设，则，依题意，， 为偶函数， ． 故答案为：． 3．（2020•广东学业考试）设是定义在上的偶函数，当时，，则时，　　． 【解析】是定义在上的偶函数，当时，， 设，，则：． 故答案为：． 4．（2020•广东学业考试）已知设函数，． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求使的的取值范围． 【解析】（1）要使函数有意义，则，得，即， 所以的定义域为． （2）定义域为，关于原点对称 又因为所以为奇函数． （3）， 当时，原不等式等价为：， 当时，原不等式等价为：， 又因为的定义域为， 所以使的的取值范围，当时为；当时为． 考点十：函数的周期性 【典例讲解】 解题策略 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 例1．定义在上的奇函数满足，且，则 ． 【答案】1 【分析】由题意求得函数的周期为8，进而可求得结果. 【详解】由题意得，所以， 所以函数以8为周期，所以． 故答案为：1. 例2．已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则=（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先得到函数的周期，进而得到. 【详解】，故， 所以，函数的一个周期为4， 故. 故选：A 例3．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象，判断函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，逐项判断即可. 【详解】解：由函数的图象可得，函数为偶函数，函数关于对称，且最小正周期为2，最大值为1，最小值为0， A项中，，故A项正确； B项中，，故B项正确； C项中，因为，则函数的周期为1，而函数的最小正周期为2，故C项错误. D项中，，则函数关于对称，故D项正确. 故选：C. 【即时演练】 1．已知函数，则 . 【答案】3 【分析】根据分段函数及周期性，即可求解. 【详解】解：， 故答案为：3. 2．已知函数的周期为1，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数为周期函数，得，代入函数即可得解． 【详解】解：因为函数是周期为1的周期函数， 所以， 又当时，， 所以， 故答案为：． 考点十一：函数的对称性 【典例讲解】 解题策略 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心． (2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 例1．如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】利用函数图象上取点，求得关于对称直线的对称点，代入函数求得参数值，再检验即得. 【详解】依题意，在函数的图象上取点，点关于直线的对称点必在函数的图象上， 则有，解得， 此时函数即，相当于将函数的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意. 故选：D. 例2．在同一坐标系中，函数与的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系. 【详解】当时，与互为相反数， 即函数与的图象关于轴对称. 故选：B. 例3．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论. 【详解】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确； 对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误； 对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误； 对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误. 故选：A. 【即时演练】 1．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】设点在函数图象上，证明关于轴对称的点在函数的图象上. 【详解】解：设点在函数图象上，则， 则关于轴对称的点满足， 所以点在函数的图象上. 故选：B 2．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数” .    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可. 【详解】由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线， 所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数， 则符合题意的一个“完美函数”为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 3．已知函数的图像关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果. 【详解】图象关于点对称，， 又， ， ，解得：，. 故选：C. 考点十二：幂函数 【典例讲解】 解题策略 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 例1．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 例2．函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的特点即可求解. 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 例3．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 例4．（2021•广东学业考试）已知三个数，，，则三个数的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解析】指数函数在上为单调增函数， 指数函数在上为单调减函数， 幂函数在上为单调增函数， 故选：． 【即时演练】 1．下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（    ）          A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 【答案】A 【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像. 【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①； 幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②； 幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③； 幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④； 故选：A. 2．）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，的值可以是 .（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】由偶函数在上单调递增，得在上单调递减， 而是幂函数，则，取，符合题意. 故答案为： 3．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 考点十三：函数的应用 【典例讲解】 解题策略 用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． ． 例1.某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 例2．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    【答案】 【分析】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可. 【详解】当时，设， 将代入得，，解得， 则， 由，解得，即； 当时，设， 将，代入得，则， 由，解得，即. 综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 故答案为：. 例3．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1). (2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解. 【详解】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时 ，当时，万元. 当时万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【即时演练】 1．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，即， 当时，万元； 若， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 3．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【答案】(1)，，从第3年开始盈利； (2)答案见详解 【分析】（1）根据题意得到函数关系化简，列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可. （2）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案. 【详解】（1）由题意可得，，（） 令，解得， 因为，所以，故从第3年开始盈利. （2）, 当且仅当，即时等号成立， 故第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元； 由，当时，， 故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理. 实战训练 一、单选题 1．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值. 【详解】令生产零件件的成本为元， 当时，， 当时，， 因此，当时，， 所以当时，生产成本为1750元. 故选：B 2．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 3．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 二、填空题 4．已知函数（表示不超过的最大整数），则 . 【答案】3 【分析】根据定义直接求解即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 5．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得抛物线的对称轴方程为，可得，求解即可. 【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为 ∵函数在上单调递增， ∴，∴，则的取值范围为. 故答案为： 6．奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，即， 经验证：函数的定义域为关于原点对称， 且，符合题意，所以. 故答案为：. 7．已知则 ；的最大值为 ． 【答案】 1 2 【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解. 【详解】由解析式可知：， 当，易知， 当，，当时，取最大值2， 所以的最大值为2， 故答案为：1，2 三、解答题 8．已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由 (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可判断； （2）由题意可得当时，恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可得答案. 【详解】（1）的定义域为R，且满足， 故为奇函数； （2）当时，恒成立，即， 即恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 故. 9．函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （3）利用的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数 所以，则，所以 因为，则，则，所以， 此时，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，满足题意， 故，. （2）由（1）知． 设是内的任意两个实数，且， ， 因为， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为，所以，即， 则，所以，所以， 即此不等式解集为． 10．已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可; （3）利用单调性及定义域列出不等式即可 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$