第三十章 30.5 二次函数与一元二次方程的关系-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的根 1.【2023广西柳州柳南区调研】已知二次函数为常数 的图像与 轴的一个交点是，则关于的一元二次方程 的两个实数根 是( ) C A.， B.， C.， D.， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】 二次函数表达式为， 二次函数图像的对称轴为直线 二次函数为常数的图像与 轴的一个交点是 ， 与轴的另一个交点是， 方程 的两个实数根为 ， ，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.【2024河北唐山丰南区期中】二次函数的与 的部分对应值如 表，则一元二次方程 的解为( ) … 0 1 2 4 … … 5 0 5 … C A.， B.， C.， D.， 【解析】 抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线 抛 物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为 ， 一元二次方程的解为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 二次函数与一元二次方程根的判别式 3.【2023河北廊坊期末】已知抛物线的表达式为 . （1）求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点； 【证明】，， ， ， 方程 有两个不相等的实数根， 抛物线 与 轴必有两个不同的交点. （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求 的值. 【解】把代入中，得，把 代入 中，得,，解得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识点3 利用函数图像求不等式的解集 （第4题图） 4.二次函数 的部分图像如图所示，其 对称轴为直线，图像和轴的一个交点坐标为 ，由图 像可知不等式 的解集是( ) D A. B. C.且 D.或 【解析】 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点与点 关于直线对称， 另一交点的坐标为 ， ， 抛物线的图像在轴下方， 不等式 的解集是或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.如图，抛物线与直线交于， 两点，则不 等式 的解集是____________． （第5题图） 【解析】，， 当时，抛物线在直线下方， 不等 式的解集是 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 关键点拨 掌握二次函数与不等式的关系，通过图像求解是解题关键． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 知识点4 求一元二次方程根的近似值 6.【2023河北石家庄校级期末】已知二次函数，，， 为常数的与 的部分对应值如表： 3.23 3.24 3.25 3.26 0.09 判断方程的一个解 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题表可以看出，当取3.25与3.26之间的某个数时， ，即这个 数是的一个根．故的一个解 的取值范围 为 ．故选D． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7.如图，点， 在二次函数 的图像上，则方程 的一个近似解可能是( ) D A.2.18 B.2.68 C. D.2.45 【解析】 图像上有两点分别为 ， ， 当时， ；当 时，， 当时，存在一个使得 ，只有选项 D符合.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 刷易错 易错点 忽略抛物线与 轴的交点 8.抛物线 与坐标轴的交点个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】， 抛物线与轴没有交点.又 当 时，, 抛物线与 轴有一个交点，故抛物线与坐标轴的交点个数为1. 故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 易错警示 抛物线与坐标轴的交点，包括与轴和与 轴的交点两种情况,做题时，要审清题目， 不要漏掉抛物线与 轴的交点个数． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 1.［中］小明在解二次函数时，只抄对了， ，求得图 像过点.他核对时，发现所抄的值比原来的值大2，则抛物线与 轴交点的 情况是( ) B A.只有一个交点 B.有两个交点 C.没有交点 D.不确定 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】根据题意得 所抄的值比原来的值大2， 原来的值为1， 抛物线的表达式应 该为， 抛物线与 轴有两个交点.故 选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2.【2024河北石家庄裕华区质检,中】已知二次函数 的图像经过 与两点，关于的方程 有两个整数根，其 中一个根是3，则另一个根是( ) A A. B. C. D.3 【解析】 二次函数的图像经过与两点， 抛物线 的对称轴是直线.又 关于 的方程 有两个整数根，其中一个根是3, 二次函数 的图像与直线的一个交点的横坐标为 对称轴是直线 ， 二次函数的图像与直线 的另一个交点的横坐 标为， 关于的方程的另一个根是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 3.［中］如图，已知函数与 的图像交于点，点的纵坐标为1，则关于 的方程 的解是________． 【解析】 点在函数的图像上，点 的纵坐标为1， ，解得， 函数与 的图像交于 点 .联立 可得，即， 该方程的解为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 4.［中］已知抛物线经过,两点，则关于 的一元 二次方程 的解是________________． ， 【解析】 抛物线经过,两点， 关于 的一元二 次方程的解为或．将方程 变 形为方程， 把方程 看 成关于的一元二次方程，或，， ， 即关于的一元二次方程的解为， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 5.【2023河北邢台襄都区期末，较难】如图（1），梯形中， ， ，.动点,同时从点出发，点沿折线 运动到 点时停止运动，点沿运动到点时停止运动，它们运动时的速度都是 . 设出发时，的面积为.已知与 的函数图像如图（2）所示，其中 曲线为抛物线的一部分，, 为线段. 请根据图中的信息，解答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 图（1） 图（2） （1）___,____ ； 2 5. 【解】由题图（2）可知,在之间，在线段上运动，运动了 ， .段为抛物线，此时点,分别在,上运动，当,重合， , 重合时，， .故答案为2，5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （2）求的值并用文字说明点 所表示的实际意义； 【解】过作，垂足为.由（1）可知, ，易 得，， 当点,分别运动到,时, 的面积为 ，即的值为10.点所表示的实际意义：当点 运动 时到达点，此时点沿已运动到点并停止运动，这时 的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （3）求出当自变量为何值时，函数 的值等于2.5. 【解】当点在上运动时，设抛物线的表达式为，把点的坐标 代入得，，.当点在上运动时，运动时间为 , 则.设直线的表达式为，把， 代入，得 解得.把 分别代入 和，解得和， 当或时，函数 的 值等于2.5. 关键点拨 准确理解函数图像上各点的实际意义是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合【2023湖北黄石质检，较难】如图,已知 抛物线交坐标轴于点，， . （1）求，， 三点的坐标； 【解】已知抛物线,令，则，故;令 ，则 ,解得，,所以， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）若直线，试证明：无论为何值，直线 与抛物线始终 只有一个交点； 【证明】根据题意，得，整理，得 ．因 为，所以无论为何值，直线 与抛物线始终只有一个交点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）若过点且不与轴平行的直线 与抛物线只有一个交点，试 求出 的值； ①【解】若该直线不与轴平行，将代入，得 ,所 以,所以．联立 得 ，整理，得 ．因为该直线与抛物 线只有一个交点，所以，解得或 . ②若该直线与轴平行，该直线与抛物线只有一个交点,则该直线经过点 ， 不经过,不符合题意．综上所述，的值为4或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （4）为直线上一动点，为抛物线上一动点，试求 的最小值. 【解】当最小时,平移直线与抛物线相切，则切点为 点.设平移后的 直线为，联立得 ,整理得 .因为该直线与抛物线只有一个交点,所以 ，解得 ，所以平移后的直线表达式为 ，,所以.将代入,得 ,所以 ．设,所以 ,所以当 时，的值最小,最小值为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 $$