第三十章 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 已知三点求二次函数表达式 1.【2023河北邢台质检】已知二次函数 的图像如图所示，那么这 个函数的表达式为( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】根据图像可知抛物线经过点，， ，将三点坐标代入二 次函数的表达式，得解得 所以二次函数的表达式是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.二次函数图像过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点 在轴的正半轴上，且 ，则此二次函数的表达式为___________________. 【解析】，，， ， ， 点在轴的正半轴上， 点 的坐标 为.设二次函数的表达式为 二次函数图像过，， 三 点，解得 二次函数的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 因为二次函数表达式 中含有三个待定系数，所以要求一个二次函 数的表达式一般至少需三组自变量和函数 的对应值或图像上三个点的坐标，解 题时要注意寻找题中的有关信息，根据题中的信息选取合适的方法进行求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 3.【2024江苏宿迁期末】如图，已知抛物线 经过 ，两点，与轴交于点 . （1）求抛物线表达式和顶点坐标； 【解】 抛物线经过， 两点， 解得 抛物线的表达式为 ， 顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）观察图像： ①当时，直接写出 的取值范围； 【解】的取值范围为， 抛物线开 口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大， 当时，在处，取得最小值为，当 时，， 当时，的取值范围为 . ②点为抛物线上一点，若，求出此时 点的坐标. 【解】，，， 抛物线的顶 点坐标为，.当时，，解得 ， ，点的坐标为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点2 用顶点式求二次函数表达式 4.【2024湖南长沙期末】一个二次函数图像的顶点坐标是，且与 轴的交点为 ，则这个二次函数的表达式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 顶点坐标为, 设抛物线的表达式为，将 代入上式，得，解得 ，故抛物线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 5.【2023上海浦东新区质检】已知二次函数图像的顶点是，且与 轴的交点 到原点的距离为3,则这个二次函数的表达式为_______________________________ ______________. 或 【解析】 二次函数图像的顶点是， 设这个二次函数的表达式为 二次函数的图像与轴的交点到原点的距离是3， 交 点坐标为或.把代入，得 ，解得 ，则这个二次函数的表达式为；把 代入 ，得，解得 ,则这个二次函数的表达式为 ,故答案为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 易错警示 抛物线与轴的交点到原点的距离为3的点有两个,即和 ，注意不要漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 6.已知二次函数，当或4时， ，且函数的最大值为2． （1）求二次函数的表达式． 【解】 当或4时，，且函数的最大值为2, 对称轴为直线 ， 顶点坐标为 . 设二次函数的表达式为.把代入得 ，解得 , 二次函数的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）讨论时， 的最小值． 【解】 二次函数的表达式为， 函数的图像与 轴 的交点坐标为， . ①当,即时，的最小值为 ； ②当,即时， 的最小值为0； ③当，即时，的最小值为 ； ④当，即时， 的最小值为 ; ⑤当时， 的最小值为0； ⑥当时，的最小值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 知识点3 用交点式求二次函数表达式 7.二次函数的图像如图所示，对称轴为直线 ，根据图中信 息可求得该二次函数的表达式为_________________． 【解析】由对称轴为直线,知，抛物线与 轴的另外 一个交点是 ，所以设二次函数表达式为 .将代入得,解得 , 所以二次函数的表达式为 ，故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 思路分析 根据题目及题图中的已知条件可得到抛物线与 轴的另一个交点坐标,进而可设出 交点式,将 点坐标代入求解即可． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 8.【浙江杭州中考】设二次函数，是常数的图像与 轴交于 ， 两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数 的表达式及其图像的对称轴． 【解】 二次函数的图像与轴的交点,的坐标分别为 ， ， 抛物线表达式为，即， 抛物线的对称 轴为直线 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （2）若函数的表达式可以写成是常数的形式，求 的 最小值． 【解】把化成一般式，得 ， ，，， 当 时，有最小值 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （3）设一次函数是常数，若函数 的表达式还可以写成 的形式，当函数的图像经过点 时，求 的值． 【解】由题意得 函数 的图像经过点， 或 ，或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 提升 1.【2023浙江杭州拱墅区质检，中】已知二次函数的图像如图所示，则它的表达 式可能是( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】抛物线的顶点为 ，而 ，顶点在轴下方，故A不符合题意；在 中， 令,得，，则抛物线对称轴为直线 ，故B 不符合题意；题图中抛物线的表达式可能是 ，故C 符合题意；在中，令 ,得 ，，故抛物线与 轴有一个交点横坐标为1，故D不符合题意． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 2.【2023辽宁沈阳期中，中】小英在用“描点法”探究二次函数性质时，得到了 如下数据不完整的表格，小英只知道缺少的三个数中（如，， 所示），有两 个数相同.根据以上信息，小英探究的二次函数表达式可能是( ) … 0 1 2 3 … … A … B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】 A 对称轴为直线 C 对称轴为直线 B 对称轴为直线 D 对称轴为直线 若与相同，则抛物线的对称轴为直线，只有B选项符合，将点 ， 代入 ,可得这两点都在此抛物线上,故B选项符合题意；若 与A相同，则抛物线的对称轴为直线，没有选项符合；若 与A相同，则抛 物线的对称轴为直线，选项A、D符合，将点， 分别都代入 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 和中,可得点 不在这两条抛物线上,故A、D 选项不符合题意.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3. 开放性试题【2023河南洛阳质检，中】有一条抛物线,两位同学分别说了 它的一个特点. 甲:对称轴是直线 . 乙:顶点到 轴的距离为2. 请你写出一个符合条件的函数表达式:______________________________. （答案不唯一） 【解析】 对称轴是直线, 顶点的横坐标为 顶点到轴的距离为2, 顶 点的纵坐标为2或, 抛物线的顶点坐标为或, 抛物线的表达式可 设为或,其中 可取任意不为0的数,例如令 ,则抛物线的表达式为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 4.【2023吉林长春二道区模拟，中】如图，已知平面直角坐标系中的四个点： ，，，.二次函数 的图像经过其中任意 三个点，当 的值最大时，二次函数的表达式为_________________. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】由图像知，经过,,三点的抛物线开口向上，;经过,, 三 点的抛物线开口向上，；经过,,三点的抛物线开口向下， ；经 过,,三点的抛物线开口向下， 经过,, 三点的抛物线的开口小 于经过,,三点的抛物线的开口, 当抛物线经过,,三点时， 的值最大， 此时解得故 的值最大时,二次函数的表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 关键点拨 掌握抛物线的开口方向和开口大小与 的关系是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 5.【2023河北承德期末，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于,两点（点在点的左侧），点的坐标为 ，与 轴交于点，顶点为,则抛物线的表达式为_______________；顶点 的坐 标为________；连接，，则 ___. 2 （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】将，代入得 解 得， 顶点 的坐标为 ．如图,作于点. 点坐标为，点 坐标为 ， 点坐标为，.在 中，由勾股定理得 .在 中，由勾股定理得 .由的面积得 ， .在中，由勾股定理得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 关键点拨 利用等面积法求出线段 的长是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.【2023北京西城区期中，中】平面直角坐标系 中，抛物线 与轴交于点，其对称轴与轴交于点 . （1）求点， 的坐标. 【解】当时，， . 抛物线的对称轴为直线， . （2）设直线与直线关于该抛物线的对称轴对称，求直线 的表达式. 【解】易得点关于对称轴的对称点为,关于对称轴 的对 称点仍为.设直线的表达式为 , 则 解得 直线的表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （3）在（2）的条件下,若该抛物线在这一段位于直线 的上方，并且 在这一段位于直线 的下方，求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线对称轴为直线，直线和直线关于直线对称, 抛物 线在这一段与在这一段关于对称轴对称. 抛物线在 这一段位于直线的下方, 抛物线在这一段位于直线 的下 方，而抛物线在这一段位于直线 的上方, 抛物线与直线的一个交点的横坐标为 . 当时，，则抛物线过点 , 当时，，解得 . 抛物线表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 思路分析 （3）根据抛物线的对称性判断抛物线在这一段与在 这一段关于 对称轴对称，然后判断出抛物线与直线的一个交点的横坐标为，将 代入直 线的表达式求出该点坐标，然后代入抛物线表达式求出 的值,即可得到答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合【2024河北张家口万全区一模,较难】小李使用电脑软件通 过光点的运动模拟弹力球的抛物运动，如图，弹力球从轴上的点 处抛出， 其运动的路径是抛物线的一部分，并在点处达到最高点，落在轴上的 点处又被弹起，向右继续沿抛物线的一部分运动，抛物线与抛物线 的形状相 同，且其达到的最大高度为1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （1）求抛物线的函数表达式及点 的坐标； 【解】 抛物线在点处达到最高点， 设抛物线 的函数表达式为 ，将点代入得，解得， 抛 物线的函数表达式为 对称轴为直线，点与 关于直线对称， 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 （2）在轴上有一个矩形框，光点只可通过矩形框的边 落入框内，已知 ，， .请判断光点能否落入矩形框中，若能，请说明理 由；若不能，为使光点落入框内包括点， ，可以移动矩形框，请直接写出移 动后的点的横坐标 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 【解】不能.. 抛物线与抛物线形状相同且抛物线 的最 大高度为1， 设抛物线的函数表达式为，将点 代入得 ，解得（舍去），， 抛物线 的函数表达式为 .当时，， 光点不能落入矩形框里.为使 光点落入框内包括点，，将矩形框向左移动. 移动后的点的横坐标为, 点，则点，.当刚好在抛物线 上时， ，解得（舍去），;当 刚好在抛物 线上时，，解得（舍去）， . 综上所述，点的横坐标的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 $$