第三十章 30.2 课时2 二次函数y=a(x-h)^2与y=a(x-h)^2+k的图像和性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三十章二次函数 4 30.2 二次函数的图像和性质 课时2 二次函数与 的图像和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图像和性质 1.【2024广西桂林模拟】把二次函数 的图像向上平移2个单位长度，所得 到的图像对应的二次函数表达式为( ) D A. B. C. D. 【解析】根据抛物线的平移规律“上加下减”可知，所得到的图像对应的二次函 数表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2024河南商丘期末】下列选项中,有可能是函数 的图像的 是( ) A A. B. C. D. 【解析】当时，函数的图像开口向上，顶点在 轴的正半 轴；当时，函数的图像开口向下，顶点在 轴的负半轴. 故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 知识点2 二次函数 的图像和性质 3.下列对抛物线 的描述中，正确的是( ) B A.开口向上 B.顶点在 轴上 C.对称轴是直线 D.与轴的交点坐标是 【解析】 抛物线中，， 抛物线开口向下，故A错 误； 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴是直线 ，顶点 坐标为，在轴上，故B正确，C错误；令，则， 与 轴的交点 坐标是 ，故D错误.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.【2023河北衡水冀州区质检】在平面直角坐标系中，二次函数 的图像可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为，所以顶点一定在 轴上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题可知抛物线的对称轴为直线.因为 ，所以抛物线开 口向下，所以当时，随的增大而减小，而时，随 的增大而减小， 所以 ．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.抛物线上有三个点，，，则，， 的大小关系是 _____________．（用“ ”连接） 【解析】，, 函数图像开口向下，对称轴为直线 , 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 关 于对称轴的对称点为,，，故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 关键点拨 在比较函数值的大小时，首先要确认所对应的点是否在对称轴的同一侧，若不在 对称轴的同一侧，通过抛物线的对称性将点统一到同一侧后再进行大小比较. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 知识点3 二次函数 的图像和性质 7.【2023河北张家口期末】对于 的图像,下列叙述正确的是 ( ) C A.顶点坐标为 B.对称轴为直线 C.当时,随 增大而减小 D.函数的最小值是2 【解析】， 抛物线开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为 直线，当时，函数有最大值2，、B、D选项均不正确. 抛物线对称 轴为直线，且开口向下， 当时,随的增大而减小, 选项正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 8.【2024河北石家庄模拟】将抛物线 先向左平移3个单位长度，再 向下平移2个单位长度，得到的抛物线表达式是( ) A A. B. C. D. 【解析】将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位 长度，得到的抛物线表达式是，即 .故选A 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.如图，两条抛物线关于 轴对称，其中一条抛物线的表达式是 ，则另一条抛物线的表达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线的顶点坐标是， 该顶点关于 轴对 称的点的坐标为 两条抛物线关于轴对称， 这两条抛物线的开口方向 和大小相同， 另一条抛物线的表达式是 ．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.已知点，，都在二次函数 的图像上， 则，，的大小关系是_____________.（用“ ”连接） 【解析】把，，分别代入，得 ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 11.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． （1） ； 【解】由抛物线的表达式可得，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标 为 . （2） . 【解】由抛物线的表达式可得，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐 标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 提升 1.【2024河北唐山丰润区期中,中】在同一坐标系中，一次函数 与二次 函数 的图像可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】由可知,抛物线开口向上.当时，抛物线的顶点在 轴正半 轴，一次函数的图像经过第一、二、四象限；当时，抛物线的顶点在 轴负 半轴，一次函数的图像经过第一、二、三象限. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 2.【2024江西赣州模拟,中】已知，设函数 ， ，.直线与函数，， 的图像分别交于点 ，， ，下列说法正确的是( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】画出大致图像如图. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 由图像可知，当时， ，故A选项错误，不符合题意；由图像可知， 当时， 不一定成立，故B选项错误，不符合题意；由图像可 知，当时， 不一定成立，故C选项错误，不符合题意；由图 像可知，当时， ，故D选项正确，符合题意.故选D 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 3.［中］已知二次函数，当时，随 增大而增大，当 时，随增大而减小，且满足，则当时， 的值为 ( ) B A. B. C.2 D.4 【解析】 函数图像的开口向下，且对称轴为直线，当时，随 增大而增大，当时，随增大而减小， ， ，解得或（舍去）， 当 时， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 关键点拨 根据二次函数的增减性求出的取值范围，然后解一元二次方程求出 是解题 关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第4题图） 4.［较难］如图，抛物线 与 交于点，过点作 轴的平行线，分 别交两条抛物线于,两点，且, 分别为抛物线顶点.有以 下结论:；； 是等腰直角三角形； ④当时， .其中正确结论的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】把点代入，得，解得 ， ①正确；因为是抛物线的顶点，所以，易得 ， 所以，，所以 ，②错误；对于抛 物线,当时，，解得， ， 所以，，则， ,所以 ，所以 是等腰直角三角形，③正确；令 ，解得，，所以当 时， ，④错误. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第5题图） 5. 【2024江苏常州模拟,中】如图，将抛物线 绕原点顺时针旋转 得到新曲线，新曲 线与直线交于点，则点 的坐标为_ _________. 【解析】将直线绕原点逆时针旋转 得到直线 . 设抛物线与直线的交点为.令 ， 则，.设点.由题意得 ， ，（负值已舍去）， 点 的坐标 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 6.［中］如图，直线与轴、轴分别交于点, ，抛 物线经过点,，并与轴交于另一点 ，其顶点 为 . （1）求， 的值； 【解】在中，令，可得，令，可得 ， ， 抛物线经过点,， 解得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使 的周长最小？若存在，求 的周长；若不存在，请说明理由． 【解】存在.由（1）可知抛物线表达式为 ，令 ，可得或，.连接交对称轴于点 ，连 接 ，如图. ,两点关于对称轴对称，，此时 的值最小， 即的周长最小.，， 可设直线 的表达式为 .把点坐标代入可求得， 直线 的表达式为 ，当时，可得，， 存在满足条件的 点，此时 ，且， 的周 长的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 思路分析 （1）由条件可先求得,的坐标，代入抛物线表达式可求得, 的值，从而确定 抛物线表达式；（2）连接交对称轴于点，则即为所求，由, 的坐标可求 得直线的表达式，从而求得点的坐标，即可求出 周长的最小值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合［较难］如图，顶点为 的抛物线 分别与轴相交于点，（点在点 的右 侧），与轴相交于点 ． （1）求抛物线的函数表达式； 【解】 抛物线与轴相交于点 , ，解得， 抛物线表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）判断 是否为直角三角形，并说明理由; 【解】是直角三角形.理由：由（1）知抛物线的顶点的坐标为 .令 ,得,解得,,,.又 ， ，，， 为直角三角形. （3）抛物线上是否存在点（不与点重合），使得以点，， 为顶点的三角形 的面积与的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】存在.由点的坐标知， 以点，， 为顶点的三角形的面积与 的面积相等，，即，解得 （舍去） 或或，点坐标为或或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 $$