第二十九章 29.5 正多边形与圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.5 正多边形与圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的相关概念 1.【2023河北邯郸调研】下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各 边相等的圆外切多边形是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各 角相等的圆外切多边形是正多边形.其中正确的是( ) A A.①④ B.②③ C.①②③④ D.都不正确 【解析】②错误,例:菱形是圆外切多边形,且各边相等,但菱形不一定是正多边形.③ 错误,例:矩形是圆内接多边形,且各角都是 ,但矩形不是正多边形.易知①④正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2023山西太原期中】如图，是 的内接等腰三角形， 顶角 ，弦,分别平分, . 求证：五边形 是正五边形. 【证明】，.又 ， ．又,分别平分， , ， ， , , ， 五边形 是正五边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 方法总结 证明一个多边形是正多边形的方法 （1）需证明多边形的各角都相等，各边都相等. （2）证明圆周被多边形的顶点 等分.因为相邻分点间的弧相等，则所对的弦 （多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角（多边形的内角）相等，所以这个多边 形是正多边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 正多边形的画法 3.已知和上的一点，作的内接正方形 和内接 正六边形 ，并写出作法. 【解】如图所示，作法：①连接，并延长交于点，则 为直径； ②作的垂直平分线交于点，，依次连接， ， ，，则四边形是 的内接正方形； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ③分别以，为圆心，为半径画弧，交于点，，， ， 顺次连接，，，，，，则六边形 为 的内接正六边形. 刷有所得 特殊的圆内接正多边形的作法: ①根据圆的内接正方形的对角线是圆的直径，并且对角线互相垂直平分，可以利 用尺规作出圆的内接正方形； ②根据圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，可以作出圆的内接正六边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点3 正多边形的有关计算 4.【2023浙江杭州质检】如图，边长相等的正五边形和正六边形如图 所示拼接在一起，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】 正六边形的每个内角都等于 ，正五边形的每个内角都等于 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 5.【2024河北沧州盐山期末】如图，半径为1的 是正方形 、正六边形的外接圆，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，连接,，则 半径为1 的是正方形、正六边形 的外接圆， ，，. 的长为 ，的长为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 思路分析 连接,,则 .由题意得, ,则 ,求出的长,从而可得 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 6.【2023四川自贡中考】第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新 时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得 图中一边与对角线的夹角 ，算出这个正多边形 的边数是( ) D A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】根据题意可得 ， ， .设正多边形的边数为，则 ， 解得，经检验， 是原分式方程的解，即这个正多边形的边数是12.故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 7.【2023河北石家庄裕华区模拟】如图，点是正八边形 外接圆的圆心， 连接 . （1）_____ ； 135 【解析】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）若的半径长为，则_____ . 【解析】连接，，如图. ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 8.【2024河北沧州期末】如图，正六边形 为的内接正六边形，过点作 的切线，交 的延长线于点，连接，, 的半径为4. （1） ____； 【解】如图,连接 正六边形为 的内 接正六边形， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）连接，试判断和 有什么特殊位置关系，并说明理由. 【解】 . 理由： 在正六边形中, ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 提升 （第1题图） 1.［中］如图，在正六边形外以为一边作正方形 ， 连接，则 等于( ) B A.3 B. C.2 D. 【解析】连接，如图.由正六边形和正方形的性质易得B,D, 三点 共线, .设正六边形的边长为 ，则 在中， ， ， 易得 , ．在中， ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第2题图） 2.【2024河北石家庄裕华区一模】如图，在平面直角坐标系中，正 八边形的中心与原点重合，顶点，在 轴上，顶点 ，在轴上，连接，过点作的垂线，垂足为，将 绕点顺时针旋转，每次旋转 ，已知 ，则第82次旋转结 束时，点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】 八边形是正八边形， . 在中，.过点作轴的垂线，垂足为 . 在中，，， 点 的坐标 为. 将绕点顺时针旋转，每次旋转 ，则每旋转8次回到初始位 置， 第80次旋转结束时，回到初始位置，此时点的坐标为 .连接 ，第82次旋转结束时点位于上. ， 易得此时点 的坐标为， 第82次旋转结束时，点的坐标为 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 思路分析 由八边形是正八边形及绕点顺时针旋转，每次旋转 ，得 每旋转8次回到初始位置是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 3.【2023河北保定莲池区调研，中】如图，六边形 是正六边形，边长为1， 点是边的中点，则_ __;若,分别与交于点， ，则 的值为__. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】连接 六边形是正六边形，边长为1， 易得 , ,， . 由题意易得是的中位线， ， ，. 易知 ，， , 的值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 关键点拨 由题意推出是 的中位线是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 4.【2023江苏宿迁期中，较难】如图，在正六边形中，，点 在 边上，且.若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线 被正六边形 所截的线段长是_____. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】如图，设正六边形的中心为，过点，作直线 交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线 被正六边形所截 的线段是.连接,，过点作于点 六边形 是正六边形，，中心为， ， ，.又 ， 是等边三角形， ， ， , ， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 掌握正六边形的特点、等边三角形的性质等知识是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 5.【2023江苏镇江质检，较难】在三角形纸片 （如图（1））中， ， .小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边 形的图形（如图（2））. 图（1） 图（2） （1）____ ； 30 【解】 五边形是正五边形， , ，故答案为30. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）求正五边形 的边长. （参考值：，， ） 【解】过点作于，如图.在 中， .在中， ， ，, 正五边形 的边 长约为9.6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合［较难］ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （1）已知：如图（1），是的内接正三角形，点为劣弧 上一动点. 求证： ； 【证明】延长至，使，连接 ，如图（1）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 ，，，四点共圆， ， 是正三角形，， 是等边三角 形，， .又， ， 为等边三角形，.在和 中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）已知：如图（2），四边形是的内接正方形，点为劣弧 上一动 点.求证： . 【解】过点作交于，连接， ，如图（2）.∵ ∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ， ， . 在和 中， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 $$