第三章 4 课时2 圆周角定理的推论2、3-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三章 圆 4 4 圆周角和圆心角的关系 课时2 圆周角定理的推论2、3 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆周角定理的推论2：90°的圆周角与直径的关系 （第1题图） 1.【2023湖北孝感中考】如图，在中，直径与弦 相交于 点，连接，，，若 ， ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， ， ,是 的直径， ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.如图，是的直径，弦于点， ， ，则 的直径的长为( ) D A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】连接是的直径，弦于点 ， ，. ， .在中， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 技巧点拨 当题目条件出现圆上一点和直径时，往往连接圆上的点与直径的端点，构造直角 三角形求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第3题图） 3.【2023北京房山区期末】丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一 个同样大小的镜子.为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角 三角尺的直角顶点 放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分 别与圆框交于，两点，测得为，为 ，则该圆 形镜子的半径是___ . 5 【解析】连接 ，为圆形镜子的直径. ， ，， 该圆形镜子的半径为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第4题图） 4.【2024浙江温州质检】如图，点，在以 为直径的半圆上， 是的中点，连接，交于点，若 ，则 的度数是____. 【解析】如图，连接是圆的直径，是 的中点， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2023江苏常州中考】如图，是的直径，是 的 内接三角形.若，，则的直径 _____. 【解析】如图，连接，是的直径， . ，,， . 又，.在 中， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.如图，是的直径，，是上两点，， 与相交于点，连接 . （1）若 ，求 的度数； 【解】是的直径， . ， .， . ， , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）若，，求 的长. 【解】在中，， ， ，，是 的中位线, .又， . 关键点拨 （1）先求出 ， ，再利用等边对等角求出 ， 最后计算 的度数即可. （2）利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出 的长度，最后利 用 计算即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 知识点2 圆周角定理的推论3：圆内接四边形 7.如图，四边形内接于， ，连接 ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】 四边形内接于， .又 ， ， .故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2023江苏南京鼓楼区期中】如图，四边形内接于一圆，是边 的延长线. （1）求证： ； 【证明】 四边形 内接于一圆， .又 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）连接,,若 ， ，求 的度数. 【解】 ， ， . 又 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 （第1题图） 1.【2024浙江杭州上城区质检，中】如图，已知是 的直 径，点是弧的中点，点在的延长线上，连接交 于点，若，则 ( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】如图，连接， 点C是弧的中点，是 的直 径， ，， ， , ， ， ， ，故 选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （第2题图） 2.【2023河北沧州期中，中】如图，的半径 弦于点 ， 连接并延长交于点，连接.若，，则 的 长为( ) D A.2 B.8 C. D. 思路分析 圆与勾股定理的综合 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】如图，连接.设的半径为 ， .在中， ， ， 由勾股定理得，解得 ， ,为 的中位线， 刷有所得 “见直径，构造直径所对的圆周角”是常用且重要的添加辅助线的思路. 为直径， .在 中， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第3题图） 3.【2023山东烟台期末，中】如图，平面直角坐标系中， 的半 径为，交轴正半轴于点，弦，点为 轴上一点，且 的值最小，则点 的坐标为________. ， 【解析】如图，令点关于圆心的对称点是点，连接交 轴于 点，则此时的值最小.是 的直径， ， ， ，，，即 ，解得 ， 点的坐标是， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 关键点拨 根据,,三点的关系以及为动点，,为定点，可以想到利用对称将转化到 轴左侧处，从而得到,, 三点共线时为题目所说最小值情况，进而求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4. 【2023江苏扬州江都区调研，较难】如图，是半径为2的 的弦，将 沿着弦折叠，正好经过圆心，点是折叠后上的一动点，连接并延长 交于点，点是的中点，连接，，,则 的最小值为_______. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，连接,，作于，连接， . 沿着弦折叠，正好经过圆心， ， , ， ， ， ， ，是等边三角形. 点是 的中点， .又，是的中点，是 斜边上的中线， ，即点在以为圆心，为直径的圆上运动, 当，， 在同 一直线上时，长度最小，此时的半径是2，即 ， ，，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 5.【2024山东德州期末，较难】如图，是的直径，点为的中点，点 为上的一个动点，连接，作，交于点，连接.若 半径为5， 且，则 的面积为_____. 7.5 （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】如图，延长交于点，连接 ， ，是的直径. 点为 的中点， ，， 设，则 ， ，.在 中， 关键点拨 延长交于点，连接.设，则， .在 中， ，利用勾股定理计算即可求解. ，，即 ， ，， ， .故答案为7.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 6.【2024山东青岛期末，中】如图，为半圆的直径， ， 是半圆的弦，延长，交于点，连接， . （1）若平分，求 的度数； 【解】为半圆的直径， ， . 又平分， ， .又 四边形是半圆 的内接 四边形， ，的度数为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （2）若点为的中点，，，求半圆 的半径. 【解】如图，连接 点为的中点，， . 又，，， ， ,. ， ,，，， ， ， 半圆的半径为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力［难］定义：三角形一个内角的平分线和另一个内角相邻的 外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. （1）如图（1），是中的遥望角，若 ，请 用含 的代数式表示 . 【解】平分，平分 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）如图（2），四边形内接于，，四边形 的外角平分 线交于点，连接并延长交的延长线于点.求证：是 中 的遥望角. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【证明】如图，延长到点 . 四边形内接于 ， . 又 ， . 平分， . ， ， 是 的平分线. ， ， ，，，是 的 外角平分线，是中 的遥望角. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 思路分析 （1）根据遥望角的定义得到， ，再根据三角形的 外角性质计算，即可得答案； （2）延长到点.根据圆内接四边形的性质得到 ，结合 ,利用角平分线及圆周角定理的推论推得 ， 根据圆周角定理的推论得到，进而得到 ，再根据遥 望角的定义可得结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $$