第二章 5 二次函数与一元二次方程-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 （第1题图） 1.【2024吉林松原期中】二次函数 的部分图 象如图所示，对称轴为直线，图象与 轴相交于点 ，则方程 的根为( ) A A.， B.， C.， D.， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】 该函数图象与轴的一个交点为 ，该函数图象的对称轴为直线 ， 该函数图象与轴的另一个交点坐标为， 方程 的根为， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 关键点拨 根据函数图象与 轴的一个交点坐标和二次函数图象具有对称性，可以写出该函数 图象与轴的另一个交点坐标，从而可以写出方程 的根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第2题图） 2.【2023吉林长春调研】抛物线 的对称轴 为直线，与轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示， 则下列结论错误的是( ) D A. B.方程的两个根是， C. D.若，则的取值范围是 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解析】 抛物线的对称轴为直线， ， 该抛物线与轴的交点位于轴上方，， ，故A正确， 不符合题意. 该抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为， 该抛物线与轴的另一个交点坐标为， 方程 的两 个根是，，故B正确，不符合题意.， ，故C 正确，不符合题意.结合图象可知当时，抛物线位于 轴上方，即 ， 若，则的取值范围是 ，故D错误，符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 3.【2024山西太原质检】将二次函数 的图象向上平移，得到的函 数图象与 轴只有一个公共点，则平移的距离为___个单位长度. 3 【解析】设平移后得到的抛物线的表达式为 平移后的图象 与轴只有一个公共点， 对于方程， ， 解得，即将二次函数 的图象向上平移3个单位长度时，函数 图象与 轴只有一个公共点.故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 4.【2024江苏南通质检】二次函数 的图象如图所示， 若关于的一元二次方程的两个实数根异号，则 的取值范围是_______. 【解析】由得 .令 一元二次方程 的两个实数根异 号， 抛物线与直线 交点的横坐标异 号.如图，由图可得抛物线与直线的交点在 轴上方时，交点 的横坐标异号，，解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 5.抛物线经过，两点，则关于 的一元二次方程 的解是________________. ， 【解析】关于的一元二次方程 可变形为 ，把抛物线沿 轴向右平移一个单位 长度得到抛物线 抛物线 经过点 ，， 抛物线与 轴的两交点坐标为 ，， 一元二次方程的解为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 另解 对给出的等式变形后，可以将 当作整体和题目中的二次函数表达式进行对比， 所以只需让分别等于 和4即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 6.【2023山东淄博质检】已知函数（ 为常数）. （1）求证：不论为何值，该函数的图象与 轴总有两个公共点； 【证明】对于方程 ， ，所以方程有两个 不相等的实数根，所以不论为何值，该函数的图象与 轴总有两个公共点. （2）不论 为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求该定点的坐标. 【解】.因为不论 为何值， 该函数的图象都会经过一个定点，所以，解得.当时， ， 所以该函数图象始终过定点 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似根 7.【2023贵州遵义调研】下表是二次函数 的几组对应值： 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程 的一个解的范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题中表格可以看出，对应的 值在6.18与6.19之间，即方程 的一个根的取值范围为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 8.如图，二次函数的部分图象与轴的交点为 ，它的对称轴 为直线，则下列结论中：；； ；④方程 的其中一个根在2，3之间，正确的有________（填序号）. ①②④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】 二次函数的部分图象与轴的交点为， ， 故①正确； 抛物线的对称轴为直线，， ， ，故②正确；由图象可知，当时，， ， 故③错误； 抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个交点在 和之间， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 方程 的其中一个根在2，3之间，故④正确.故答案为①②④. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 刷有所得 二次函数具有对称性，可以通过这一性质将图象补齐，进而确定图象与 轴另一交 点的位置. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 提升 1.【2023山东威海期中，中】二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为和，且 ，下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】二次函数的图象与 轴交点的横坐标 为， ，将其图象向下平移2个单位长度可得出二次函数 的图象，如图所示.观察图象，可知 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2.【2023河北廊坊期末，中】对于抛物线与直线 （为常数），针对 的不同取值，三人的说法如下： 甲：无论为何值，与 轴总有两个交点； 乙：无论为何值，与 不会有交点； 丙：无论为何值，与 总有两个交点. 下列判断正确的是( ) B A.只有甲错 B.只有丙对 C.甲、乙、丙都对 D.甲、乙、丙都错 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】，令 ，则 ， 当 时，，此时抛物线与轴只有一个交点， 甲的说法不正确；令 ，则 ，.又 无论 为何值， ，，即， 无论为何值，与 总有两个 交点， 乙的说法不正确，丙的说法正确.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.小颖用计算器探索方程 的根，作出如图所 示的图象，并求得一个近似根为 ，则方程的另一个 近似根（精确到 ）为________. 【解析】 抛物线与轴的一个交点为 ，抛物线的对 称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ， 方程的另一个近似根为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 4.【2024江西宜春期末，中】已知抛物线， ， 若这两条抛物线与轴共有3个交点，则 的值为__________. 或0或6 【解析】， 抛物线与 轴 的交点坐标为, 抛物线，与 轴 共有3个交点， 分三种情况：①抛物线与 轴有一个交点，则有 ，解得；②抛物线 经过点 ，，解得；③抛物线 经过点 ，，解得.综上所述，若抛物线,与 轴共 有3个交点时，的值为或0或6，故答案为 或0或6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 5.【2024广东广州期末，较难】已知抛物线 的对称轴为直 线，与轴的一个交点为，若关于 的一元二次方程 有整数根，则 的值有___个. 3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】 抛物线 的对称轴为直线 ，，.又 抛物线 与轴的一个交点为.把 代入 ，得， , ，则函数的最大值为 , 抛物线的顶点坐标为 .令 ，即，解得或， 当 时，抛 物线始终与轴交于, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 如图所示，当有实数根时，， ， 其中为整数时，，，，0，1， 一元二次方程 的整数根有5个.由抛物线的对称性可知与 时 的函数值相等，与时的函数值相等，当时，直线 恰好过 抛物线顶点, 的值有3个.故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 根据抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个交点为 可得,,故抛物线的顶点坐标为,与 轴的另一个交点 为,然后将所求问题转化为抛物线与直线在 轴上方的交点中，横坐标 为整数时，求纵坐标的值的个数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 6.已知抛物线的图象如图（1）所示，现将抛物线在 轴下方的部 分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图（2），当直线 与新图象恰有三个公共点时， 的值为______. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为 . 令，则，解得，，， .根据翻 折变换，关于轴的对称点为， 曲线 所对应的函数表达式为 .当直线 与新图象恰有三个公共点时，如 图所示. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ①当直线过点时，，解得 ；②当直 线与抛物线 只有一个 公共点时，，即 ， ，解得.综上所述， 的值为1或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤 后，得到如下的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质： ______________________________________________ _______________________________________________________________________ __________________________________________________ ； ②方程 的解为_________________________； ③若方程有四个实数根，则 的取值范围是_____________. ，，. . 【解】图象关于轴对称；当或时， 取最大值，最大值为0；当或时，随的增大而增大；当 或 时，随 的增大而减小等.（写出一条即可） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （2）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象?写出平移过程，并直接写出当时，自变量 的取值范围. 【解】将函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单 位长度（或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）得到函数 的图象. 当时，自变量的取值范围为, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $$