第二章 4 课时1 图形面积问题及抛物线形问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 4 二次函数的应用 课时1 图形面积问题及抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决几何图形的面积最值问题 1.【2024河北石家庄质检】用长度为 的铝合金条制成如图所示的矩 形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】设矩形窗框的宽为，这个窗户的透光面积为,则长为 .由 题意得, 当 时，有最大值，最大值为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2.【2023山东淄博校级调研】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围 成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为米，面积为 平方米. （1）求与之间的函数关系式及自变量 的取值范围； 【解】由花圃的宽为米，可得 米.根据题意,得 .由题意，得解得 . 答：与之间的函数关系式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若墙的最大可用长度为9米，则当 为多少米时，矩形花圃的面积最大?最 大面积是多少？ 【解】 . 墙的最大可用长度为9米，，， 当 时， . 答：当 为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是45平方米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 知识点2 利用二次函数解决抛物线形问题 （第3题图） 3.【2023河南平顶山期末】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函 数关系式为，当水面离桥顶的高度为 时，水面的宽 度为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，由题意得，.令 ，解得 ， 点A的坐标为，，点B的坐标为，， 这 时水面的宽度为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 4.【2024浙江金华期末】如图，小明打高尔夫球，高尔夫球的飞行路线是一条抛 物线.如果不考虑空气阻力，高尔夫球的飞行高度（米）与飞行时间 （秒）之间 满足函数关系 ，则高尔夫球从飞出到达到最高点时所需要的时间为 ___秒. （第4题图） 2 【解析】， 当时， 取最大 值，为20，即高尔夫球从飞出到达到最高点时所需要的时间为2秒.故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 关键点拨 理解题意能将实际问题转换为抛物线形问题是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 5.某市民休闲广场中有一喷水设施，如图是喷水设施的一个喷 头喷出的水柱路线，它是一条经过,,三点的抛物线.点 离地面1.4米，点 是路线的最高点，离地面3.2米，离喷头的 水平距离为6米，点是水柱落地点，那么水柱落地点 距喷头 底部的水平距离为______. 14米 【解析】由题意知，点为抛物线的顶点，其坐标为 ，故可设抛物线的表 达式为.将点代入表达式，得 ， 解得, 抛物线的表达式为.令 ，得 ，解得（舍去），, 水柱落地点 距喷头 底部的水平距离为14米 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 6.【2024山东青岛期末】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构 成，矩形的长是，宽是 .按照图中所示的直角坐标系， 抛物线可以用表示，且抛物线上的点 到墙 面的距离为时，到地面的距离为 . （1）求该抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面 的距离. 【解】根据题意得，，.把，，代入 得解得 所以该抛物线的函数表达式为 ，所以 ，所以拱顶到地面的距离为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为 ，如果隧道内设双向行 车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【解】由题意得货运汽车最外侧与地面的交点为或.当 时， ；当时， .所以这辆货车能安全通过. （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地 面的高度不超过 ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【解】令，则，解得， ，则 ，所以两排灯的水平距离最小是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 思路分析 （1）根据题意可得,, ,利用待定系数法可得抛物线的表达式，将一般 式化为顶点式即可得点的坐标，进而得到拱顶到 的距离. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 提升 1.【2023天津中考，中】如图，要围一个矩形菜园 ,其中 一边是墙，且的长不能超过,其余的三边,, 用篱笆，且这三边的和为 .有下列结论： ①的长可以为 ; ②的长有两个不同的值满足菜园面积为 ; ③菜园面积的最大值为 . 其中，正确结论的个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 【解析】设的长为，矩形的面积为，则的长为 .由 题意得 ，其中 ，即.的长不可以为 ，原说法错误；②当 时，解得或， 的长有两个不同的值 满足菜园面积为，原说法正确；③菜园面积的最大值为 ， 原说法正确.综上，正确结论的个数是2，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 思路分析 设长为，矩形的面积为,则长为.根据 的取值范围 可判断①；根据矩形的面积为，代入函数表达式求出 的值可以判断 ②；根据函数的性质求函数的最值可以判断③. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 2.【2023河南郑州调研，较难】如图，中，，点为边 上不与 ，重合的一个动点，过点作于点，作的中线.当点从 点出发匀速运动到点时，设的面积为，，与 的函数图象如图 （2）所示，当时，取最大值，则 的面积为( ) A A. B. C.19 D.18 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 【解析】，.设， ，则 ，，，.为 的中线， 当时， 取最大值， ，.由题意得，当时，点C和点D重合， ， 边上的高，的面积为 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 3.【2023河北石家庄期末,中】小亮和小明在篮球场练 习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的 运行路线是抛物线的一部分，篮球运行的水平距离为3 米时达到最高点，最高点的高度是3.5米，篮筐的高度 是3.05米，结果小亮恰好命中篮筐，建立如图所示的 平面直角坐标系（篮球和篮筐均看做一个点）， 轴经 过抛物线的顶点，解答下列问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 （1）小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的表达式为________________； 【解析】根据题意，知小亮投篮时篮球运行路线的抛物线顶点为 ，且抛物 线过点，故可设投篮时抛物线的表达式为.把 代入， 得，解得, 小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的表达式 为 . 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 （2）小亮投篮时与篮筐的水平距离 为_______； 4.5米 【解析】由篮筐的高度是3.05米，在中，令 ，得 ，解得（舍去）或, 篮筐所在点的坐标为 , 小亮投篮时与篮筐的水平距离为 （米）.故答案为 4.5米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 （3）小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起 来接住，已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分（两抛物线在同一平面 内），运行的水平距离为2米时到达最高点，小明接球的高度为2.3米，则篮球弹 出后最高点的高度为________ 3.65米 【解析】根据题意，知小明接球点的坐标为， 篮球弹出后运行路线的 抛物线经过，，且对称轴是直线 .设篮球弹出后运行 路线的抛物线表达式为 ， 把， 代入，得 解得 篮球弹出后运行路线的抛物线表达式为， 篮球弹 出后最高点的高度为3.65米.故答案为3.65米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 刷有所得 先确定抛物线经过的点，再根据点的坐标求得抛物线表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 4.【2023贵州中考，中】如图（1），是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后， 受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图（2）所 示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点 在抛物线 上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点 到对称轴的距离是1. （1）求抛物线的表达式； 【解】 抛物线的对称轴与轴重合， 设抛物线的表达式为 ，，，.将， 代入 ，得解得 抛物线的表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 （2）如图（2），为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆, ，同时 使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 的位置并求出坐标； 【解】 抛物线的表达式为，点到对称轴的距离是1，当 时， ，.如图，作点关于轴的对称点，连接，交 轴于 点，连接，则，，， 当 ， ，三点共线时，拉杆,长度之和最短.设直线的表达式为 . 将，代入，得解得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 直线的表达式为.当时，， 点 的坐标 为，点 的位置如图所示. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当时，函数的值总大于等于9.求 的取 值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 【解】， 抛物线开口向下，对称轴为直线 . 当时，在范围内，当时， 取最小值，最小值为 ，则，解得， ； 当时，在范围内，当时， 取最小值，最小值为 ，则，解得， .综上可 知，或，的取值范围为 . 关键点拨 第（3）问注意分和 两种情况进行讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 $$