第二章 3 确定二次函数的表达式-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二章 二次函数 3 确定二次函数的表达式 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用“一般式”求二次函数表达式 1.【2023江西抚州调研】已知抛物线经过，， 三点，则该 抛物线的表达式为( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】设二次函数的表达式为，则有 解得 即抛物线的表达式为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2.【2024北京海淀区调研】在平面直角坐标系中，抛物线 经过 点， . （1）求该抛物线的表达式； 【解】将点和点坐标分别代入，得 解得 该抛物线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （2）过点与轴垂直的直线与抛物线交于点，，与直线 交于点，若，请你直接写出 的取值范围. 【解】二次函数的图象如图所示.， 抛物线的 顶点坐标为.当点在点右侧且直线 与抛物线有两个交点时，满足 ，的取值范围是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 知识点2 用“顶点式”求二次函数表达式 3.已知二次函数图象的顶点是，且经过点 ，则二次函数的表达式是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】设二次函数的表达式为 其图象经过点 ，，解得, 二次函数的表达式是 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4. 开放性试题【2024湖北荆州质检】某抛物线满足：①开口向上；②顶点 为 . 请写出一个满足题意的二次函数的表达式：_______________________________. （答案不唯一） 【解析】 抛物线满足：①开口向上，即，②顶点为 ，即 ， 满足题意的二次函数的表达式为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 5.某二次函数的部分图象如图所示，函数图象顶点为 ， 与轴、轴分别交于点和点 . （1）求二次函数的表达式； 【解】设二次函数的表达式为，把 代 入得，解得 ，所以二次函数的表达式 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 （2）求 的面积. 【解】当时，，则.作轴于 ，如图.因 为，，，，所以 的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 知识点3 用“交点式”求二次函数表达式 6.已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若 ,则这条抛物 线的表达式是( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】设抛物线的表达式为，点坐标为 或.把代入,得，解得 ，此 时抛物线的表达式为，即；把 代入 ，得，解得 ，此时抛物线的表达式为 ，即.综上，抛物线的表达式为 或 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 关键点拨 已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，再由 得 到点坐标为或，然后把和分别代入 可求出对应的 的值，从而可得抛物线表达式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 7.【2023浙江温州瓯海区模拟】已知二次函数的图象经过点， ， . （1）求该二次函数的表达式和图象顶点 的坐标. 【解】 二次函数的图象经过点，， 设二次函数表达式为 .将代入,得，解得， 二次 函数表达式为，即， ， ， 点 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 （2）若，是该二次函数图象上不同的两点.当 时， ，求点到直线 的距离. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 思路分析 条件 结论 M，两点关于直线对称，直线 轴 M，两点距对称轴的距离均为，，的横坐标分别为， 【解】结合（1）得当时，点，关于直线对称,且 轴. 由，得的横坐标为 ， 的纵坐标为 ， 点到直线的距离为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 提升 （第1题图） 1.【2024浙江杭州滨江区调研，中】如图，在平面直角坐标系 中，点，的坐标分别是， ，若二次函数 的图象过， 两点，且该函数图象的顶点为 ，其中，是整数，且，，则 的最 大值是( ) B A.2 B.1 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】 该函数图象的顶点为，其中，是整数，且 ， ， 或2或5或6.根据抛物线的对称性，得抛物线的顶点坐标只能是 或或或.当顶点坐标为 时，设抛物线的表达式为 ，将代入得，解得 ；当顶点坐标为 时，设抛物线的表达式为，将 代入得 ，解得；当顶点坐标为 时，设抛物线的表达式为 ，将代入得，解得 ；当顶点坐 标为时，设抛物线的表达式为，将 代入得 ，解得.综上， 的最大值是1.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 关键点拨 利用已知条件与抛物线的对称性求得抛物线顶点坐标的可能值，利用待定系数法 求得对应的值，依据要求取 的最大值即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 2.【2023四川成都模拟，中】已知抛物线的顶点是原点，点 在第 一象限抛物线上，点为点关于原点的对称点，交抛物线于点 ，则 的面积关于点横坐标 的函数表达式为( ) A A. B. C. D. 思路分析 条件 结论 的顶点是原点 抛物线的表达式是 点横坐标为,点为点 关于原点的对称点 交抛物线于点 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】 抛物线的顶点是原点， ， ， 抛物线的表达式是.如图,作轴于 ， 轴于，设C的坐标是 .由题意得A的坐标为 ， ， ， ，，， ，，的坐标是， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 . 点B为点A关于原点的对称点， ， 的面积 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.【2024广东二模,中】如图，已知抛物线过， 两 点，与轴的正半轴交于点，顶点为，连接,.当 时， ____. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】过点作轴于点，作轴于点 ，如图. 抛物线过， 两点， 解得 , ， ， , 轴，轴, , , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 ,,解得. 抛物线开口向 下,.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.【2024浙江绍兴柯桥区期末，中】已知二次函数 .当 时，的最小值为，则 的值为_______. 或1 【解析】二次函数的图象的对称轴为直线 ，顶点 坐标为.当且时，此时当 时，函数有最小值， ，；当且时，此时当 时，函数有 最小值，，解得.故答案为 或1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 5.【2022浙江杭州中考，中】设二次函数（， 是常数）的图 象与轴交于， 两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数 的表达式及其图象的对称轴． 【解】 二次函数过点,， ， 即函数表达式为 , 抛物线的对称轴为直线 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求 的最小值． 【解】把化成一般式，得 , ，,．把 的值看 做是关于的二次函数，则该二次函数图象开口向上，有最小值， 当 时， 的最小值是 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （3）设一次函数（是常数），若函数 的表达式还可以写成 的形式，当函数的图象经过点 时，求 的值． 【解】由题意得 函 数的图象经过点， 或 ，故或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 思路分析 （1）根据两点坐标利用交点式求函数表达式即可，进而可得对称轴. （2）将化为一般式，用含的代数式表示出，，列出 关 于 的函数表达式，根据二次函数的性质求解. （3）求出关于的函数表达式，根据图象过点 ,将其代入表达式可得关于 的一元二次方程，求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 6.【2024辽宁模拟，较难】如图，在平面直角坐标系中，正 方形四个顶点的坐标分别为， ， ，，其中.我们把正方形 的边 上及其内部的点称为“ 阶方点”. （1）请写出双曲线 上一个“4阶方点”的坐标： ________________ _______________________________________________________________________ _____________________________________________________________ ； 【解】由题意， 得正方形四个顶点的坐标分别为，，,， 双曲线上一个“4阶方点”可以是, （答案不唯一）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （2）若直线上有且只有一个“2阶方点”，求 的值； 【解】，当时，， 直线 恒过点 直线 上有且只有一个“2阶方 点”， 直线过点或过点.当过 时， ，则；当过时，，则 .综 上，的值为 或3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 （3）抛物线 上有且只有2个“3阶方点”，求符合题意 的抛物线的表达式； 【解】 抛物线上有且只有2个“3阶方点”， 若 ，则抛物线过,两点，对称轴为轴,若，则抛物线过, 两点，对称 轴为轴，，，，.当 时， 代入，得，解得，；当 时，代入 ，得，解得， .综上，抛物线的表达式 为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 （4）若（3）中所得抛物线均取轴上及 轴上方的所有点组成一个新函数的图象， 记为图象，点，在图象上，记，之间图象（包括点 ，点 ）上最高点与最低点的纵坐标之差为，求 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 【解】令，解得 ， .令，解得 ， ， 图象与轴的交点为 , .当时，, 图 象与轴的交点为 ,如图所示. 将代入中，得， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 当时，图象最高点为，最低点为， ，解得 ，（舍）；当时，最高点为，最低点为 ， ，解得，（舍）；当 时， 最高点为，最低点为图象与轴交点，，解得 ， ，都不符合；当时，最高点为，最低点为图象与 轴交点， ，解得，，都不符合.综上所述， 的 值为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 （2）找到直线恒过的定点，根据“ 阶方点”的定义找到符合题 意的点，建立方程即可求解； （3）分, 两种情况分别求解； （4）先画出图象，再分类讨论：满足，， ， 时分别求解，得出符合题意的 的值即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 $$