第二章 2 课时4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 2 二次函数的图象与性质 课时4 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与 之间的 关系 1.【2023安徽合肥期末】在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左 平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点 坐标是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 抛物线 的顶点坐标为 ， 将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位 长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 归纳总结 解决抛物线平移问题的常用方法：（1）看顶点坐标的变化，根据平移后的顶点坐 标写出新的表达式；（2）根据平移规律“左加右减、上加下减”求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所 得抛物线的表达式为 ，则( ) A A.， B.， C.， D.， 【解析】 抛物线 先向左平移2个单位长度， 再向下平移2个单位长度，得到抛物线 ，即得抛物 线,，， ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.【2024浙江宁波慈溪期中】对二次函数 的图象有下列描述：① 开口向上；②与轴交于点；③对称轴是直线；④当 时，函数 有最小值 .其中错误的是( ) C A.① B.② C.③ D.④ 【解析】因为二次函数中 ，所以二次函数的图象开口 向上，故①正确，不符合题意；因为当时，，所以函数图象与 轴交 于点，故②正确，不符合题意；函数图象的对称轴为直线 ， 故③错误，符合题意；因为二次函数 的图象开口向上，对称轴是 直线，所以当时，函数有最小值 ，故④正确，不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.在同一坐标系中，一次函数和二次函数 是常数， 且 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】A选项，由一次函数的图象可得，则 ，此时二次 函数 的图象应该开口向上，故A选项错误；B选项，由一次函数 的图象可得，则，此时二次函数 的图象 应该开口向上，对称轴在 轴的左侧，故B选项错误；C选项，由一次函数 的图象可得，则，此时二次函数 的图象 应该开口向下，故C选项错误；D选项，由一次函数的图象可得 ， 则，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在 轴 的左侧，故D选项正确.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 易错警示 注意二次函数的二次项系数是，图象开口向下时 ,对称 轴在轴右侧；图象开口向上时,对称轴在 轴左侧 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 5.【2023河北石家庄新华区模拟】二次函数 的图象经过点 和.当时， 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意可得该二次函数图象的对称轴为直线 ， 该二次函数图象开口向上， 离对称轴越远， 函数值越大.， 点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ，解得 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 关键点拨 当二次函数图象开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当二次函数图象开口 向下时，离对称轴越远，函数值越小. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 6.二次函数的部分图象如图所示，与 轴 的一个交点为，对称轴为直线 ，有下列四个结论： ；；③当时，随 的增大而减小； ，其中正确的结论有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 【解析】 抛物线开口向上， 对称轴为直线 ， 抛物线与轴的负半轴相交，,，①正确. 对称轴为 直线，，②正确.，对称轴为直线， 当 时，随的增大而增大，③错误. 对称轴为直线，且抛物线与 轴的 一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当 时， .又由，得, ,④正确.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 7.【2023北京密云区期末】已知抛物线上部分点的横坐标 和纵 坐标 如下： 1 3 2 2 若点，是抛物线上不同的两点，则 ___. 4 【解析】观察题中表格可知，抛物线的对称轴是直线， 两点的纵坐标相同，，两点关于对称轴对称，故有 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 技巧点拨 二次函数的图象与轴交于点.图象开口方向由 的正负决 定，,开口向上；，开口向下.对称轴为直线 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 8.【2023山东烟台蓬莱区期中】已知，，，， 是抛物线上的点，则，， 的大小关系是__________ _______.（用“ ”连接） 【解析】，是抛物线上的点， 抛物线开 口向下，对称轴是直线， 当时，随 的增大而增大， 关于直线的对称点是， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 9.【2024浙江杭州西湖区期中】已知二次函数 的图象经过点 ， . （1）求， 的值及这个图象的顶点坐标. 【解】把，代入中，得 解得 的值为2，的值为3， 二次函数的表达式为 ， ，， 图象的顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 （2）若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于2，求 的取值范围. 【解】 由（1）得二次函数的表达式为， 把 代入表达 式，得，把 代入表达式，得 点在该二次函数图象上，且到 轴的距离小于 2，.又 二次函数图象顶点坐标为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 刷易错 易错点 求二次函数最值时忽略自变量的取值范围 10.已知二次函数，当 时，它的最小值为____. 19 【解析】因为，所以当时，随 的增大而增 大.又因为，所以当时，取得最小值，为 . 易错警示 在讨论函数的最值时，一定要注意函数自变量的取值范围以及函数在这个取值范 围内的增减性. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 提升 1.已知点，，均在抛物线 上， 则，， 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，距离对称轴越近的点的纵坐标越小. ， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第2题图） 2.如图，将抛物线在轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线 的交点个数是( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】中，当时，， 抛物线 与轴的交点坐标为 将抛物线 在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，其余部分不变， 新图 象与轴的交点坐标为， 新图象与直线 的交点个数是4.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第3题图） 3. 【2023湖南岳阳期中，难】将二次函数 配成顶点式后，发现其顶点的纵坐 标比横坐标大1，如图，在矩形中，点，点 ， 则二次函数的图象与矩形 有交 点时， 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 思路分析 二次函数图象与几何图形的交点问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】将配成顶点式为， 二次函数图象的顶点坐标是， 二次函数的图象开口向上， 开口大小一定. 顶点坐标为, 此二次函数图象的顶点在直线 上.将抛物线沿直线 从左至右移动，如图（1），当二次函数的 图象与矩形第一次相交时，二次函数的图象经过点，此时 取最小值.将 代入得 ，解得 ，（舍去），则的最小值是 .如图（2），当二次函 数的图象与矩形最后一次相交时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 二次函数的图象的顶点在边与轴的交点处，此时取最大值.将 代入 得，解得， （舍去）， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴正半轴于点，交轴于点 ，将抛物线向下平移3个单位长 度，若抛物线上， 两点间的部分在平移过程中扫过的面积为9， 则 的值为____. 【解析】如图，抛物线上， 两点间的部分在平移过程中扫过的面 积等于的面积. 平移过程中扫过的面积为9， ,，解得， 点的坐标为 ，代 入,得，解得 .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 5. 【2024山东德州期末，中】已知二次函数 ，将其图 象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形.在图形 上 任取一点，点的纵坐标的取值满足或，其中.令 ， 则 的取值范围是______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （第5题图） 【解析】如图，将二次函数的图象沿 轴 翻折后得到的图象的函数表达式为 点的纵坐标的取值满足或，且 , ， 当 时，,此时， 当 时，，此时 ， .又,，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 6.定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做 “整点”．如：,都是“整点”．当抛物线 与其关于轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时， 的取 值范围是__________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （第6题图） 【解析】若抛物线与其关于 轴对称 的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，则 轴上有3个整点，且 轴上方、下方各有3个整点. ， 抛物线的开口向上,对称轴为 直线,抛物线必过点.如图，若过点 ，则 ，解得 ，此时刚好有9个整点；若过点 ，则，解得，此时有11个整点， ．故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 思路分析 先通过抛物线的表达式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，且过点 ， 再通过封闭区域内（包括边界）有9个整点，找到的临界值，求出 的取值范围． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合设抛物线，其中，为实数， ，且 经过 . （1）求抛物线的顶点坐标（用含 的代数式表示）； 【解】把代入，得，， 抛物 线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）若，当时，函数的最大值是6，求 的值； 【解】， 抛物线的表达式为， 对称轴为直线 ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 当 时，函数的最大值是6， ①当,即时， 时， 函数值最大，即,解得或 （舍去）. ②当时，时，函数值最大，即,解得或 （舍去）. ③当 时，函数的最大值为8，不符合题意. 综上所述， 的值是0或4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （3）点的坐标为，将点向右平移3个单位长度，得到点 .若抛物线与线段 有两个交点，求 的取值范围. 【解】 点的坐标为，将点 向右平移3个单位长度， 得到点 ， ， 抛物 线经过点和 .如图所示，若此二次函数的图象与 线段 有两个交点， 则抛物线的图象只能位于图中两个虚线之间的位置，当抛 物线经过点时，为一种临界情况，将代入 ，得 ，解得.当抛物线的顶点在线段 上时，为一种临界情况， 此时顶点的纵坐标为4，，解得， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 思路分析 （1）把已知点坐标代入抛物线的表达式，求得， 之间的数量关系，把抛物线表 达式中的换成含 的代数式，再将抛物线的表达式化成顶点式，便可求得顶点坐标； （2）分三种情况求解即可； （3）抛物线经过点和，与线段 有两个交点时，结合图象即可判断 出 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $$