第二章 2 课时3 二次函数y=a(x-h)^2与y=a(x-h)^2+k的图象与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 2 二次函数的图象与性质 课时3 二次函数与 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.对于二次函数 的图象，下列说法正确的是( ) B A.开口向上 B.对称轴是直线 C.当时，随的增大而减小 D.顶点坐标为 【解析】由得抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当时,随的增大而增大，当时，随 的增大而减小.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2023山东淄博周村区期中】在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 二次函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 【解析】A选项， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，， ，一致，故此选 项正确选项， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， ， 抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，， ，不一致，故此 选项错误选项， 一次函数 的图象经过第二、三、四象限， ， 抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，， ，不一 致，故此选项错误选项， 一次函数 的图象经过第一、三、四象 限，， 抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，， ， 不一致，故此选项错误. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 3. 【2024河南信阳质检】下面是三位同学对某个二次函数图象的描述.甲： 该二次函数图象的形状、开口方向与的图象相同；乙：图象的顶点在 轴上；丙：图象的对称轴是直线 .请你写出这个二次函数的表达式：______ __________. 【解析】根据题意设二次函数的表达式为 .根据题意得， ,， 这个二次函数的表达式是 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.【2024北京海淀区质检】已知二次函数的图象上有, ， ，三点，则，， 的大小关系为_____________.（按照从小 到大的顺序排列） 【解析】， 二次函数的图象开口向下.又 对称轴为直 线， 当时，随的增大而增大.关于直线 的对称点为 ，且，.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 知识点2 二次函数 的图象与性质 5.对于二次函数 的图象，下列说法正确的是( ) C A.开口向下 B.对称轴是直线 C.顶点坐标是 D.当时，随 的增大而减小 【解析】对于二次函数的图象，， 图象开口向上， A选项错误；对称轴是直线，B选项错误；顶点坐标是 ，C选项正确； 当时，随 的增大而增大，D选项错误.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知二次函数（为常数），在自变量的值满足 的 情况下，的最大值为，则 的值为( ) D A. B.或1 C.或5 D. 或7 【解析】 二次函数（为常数）， 该函数图象的对称轴是直 线，图象开口向下. 当时，的最大值为， 当 时， ，解得，（舍去）；当时， 的最 大值是5，与题意不符；当时，，解得 （舍去），.由上可得，的值是 或7.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.【2024贵州安顺期末】已知二次函数的图象上有 ， ，三点，则，， 的大小关系为_____________.（按照从小 到大的顺序排列） 【解析】, 二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 在二次函数图象上有，， 三点，且 ，，，的大小关系为 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 关键点拨 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以 ， ，三点离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断，， 的大小. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 8.【2023重庆期中】已知二次函数，当时，随 的增大 而减小，则 的取值范围是_______. 【解析】由题意得函数图象的对称轴为直线，图象开口向下， 在对称轴 的右侧，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 知识点3 二次函数 的图象的平移 9.【2023江苏徐州中考】在平面直角坐标系中，将二次函数 的图 象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达 式为( ) B A. B. C. D. 【解析】将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1 个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ，即 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 刷有所得 二次函数 的图象的平移规律:左加右减，上加下减. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 10.【2023河北石家庄校级期中】已知抛物线经过点和 . （1）求， 的值； 【解】将和分别代入，得 解得 （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物 线，直接写出新的抛物线的函数表达式. 【解】（或 ）.由（1）知，该抛物线表达式为 ，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度， 得到新的抛物线的表达式为（或 ）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 刷易错 易错点 求二次函数的取值范围时易忽略顶点处取得的最值而致错 11.当时，函数 的取值范围为_____________. 【解析】， 抛物线的开口向下，故有最大值. 抛物线的对称轴为直线 ， 当时，取得最大值，为， 当时, 取得 最小值，为，的取值范围为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 易错警示 常见错误：当时,;当时,， 的取值范围为 .做这类题目的时候不要忘记考虑顶点处取得的最值 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 提升 1.【2023浙江温州期中，中】已知二次函数 的图象经过点 ，，且，则 的值可能是( ) D A. B. C.0 D. 【解析】， 抛物线开口向下，对称轴为直线 .当 时，， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 2.【2024安徽合肥庐阳区调研，中】二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象大致是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解析】A选项， 一次函数的图象与轴交于负半轴， 二次 函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误选项， 一 次函数的图象经过第一、二、四象限，， 二次函数 的图象开口向上，顶点为在第四象限，， ,一 致，故B正确选项， 二次函数的图象的对称轴为直线 ， 在轴右侧，故C错误选项， 一次函数 的图象经过第一、二、三象 限， 抛物线的顶点在第四象限， ，相矛 盾，故D错误.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 3.【2023浙江衢州质检，中】已知二次函数 ，当 时，的最小值为，则 的值为( ) D A.或4 B.或 C.或4 D. 或4 思路分析 根据二次函数的最值求参 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 【解析】抛物线的对称轴为直线.①当 时，当 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当 时，取得最小值，，；②当 时，当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. ， 当时， 取得最小值， ，.综上，的值为 或4.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 4.【2024广东深圳宝安区调研，中】已知抛物线，顶点为 ， 将沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与 相交于 点，若 ，则 等于_____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 【解析】 抛物线,顶点为, .如 图，将抛物线沿水平方向向右平移 个单位 长度得到 抛物线，顶点为，. 连接 抛 物线与相交于点, 令,解得 , 点的横坐 标为.将代入得 , ，.过点作,垂足为 ，则 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 ,.,,, .又 ，是等边三角形， . 在中，由勾股定理得 ， 解得（舍去）或（负值已舍去），故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 5.【2023吉林长春宽城区模拟，中】在平面直角坐标系中，点 ， 在抛物线上.当时，抛物线上， 两点之间 （含，两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则 的值为____. 【解析】由函数表达式可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 ，且 开口向上， 当时，，不符合题意；当 时， 抛物线上，两点之间（含， 两点）的图象的最高点的纵坐标不可能为3，不 符合题意；当时，随增大而增大， 当时， ，即 ，解得.，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 6.【2024江苏连云港海州区调研，较难】 如图，二次函数的图象经过点，与轴交于点，， 分别为 轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，点 的坐标为_______. ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 【解析】由题意得二次函数 的图象的对称轴为直线 .如图，作点关于对称轴直线的对称点，则 ， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点 ，交对称轴直线 于点，此时四边形的周长取得最小值.将点 代 入得，解得， 抛物线的表达式为 .当时，， 点坐标为，则点.设 所在直 线的表达式为.将 ， 代入得解得 所在直线的表达式 为.当时，，，.故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 关键点拨 作点关于对称轴直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接，交 轴于点，交对称轴直线于点，此时四边形 的周长取得最小值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 7.如图，直线与轴、轴分别交于点, ，抛物线 经过,两点，并与轴交于另一点 ，其顶点为 . （1）求， 的值. 【解】在中，令，可得，令，可得 ， ， 抛物线经过, 两点， 解得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使 的周长最小？若存在，求出 的周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【解】存在.由（1）可知抛物线表达式为， 抛 物线的对称轴为直线.令，可得或， . 连接交抛物线对称轴于点，连接，如图., 两点关于对 称轴对称，，此时的值最小，即 的周 长最小.，， 可设直线的表达式为 .把 代入可求得， 直线的表达式为.当 时，可得 ，， 存在满足条件的 点，此时 . ， 的周长的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 思路分析 （1）由条件可先求得,的坐标，代入抛物线表达式可求得, 的值.（2）由（1） 可确定抛物线表达式，连接交抛物线对称轴于点，则即为所求.由, 的坐 标可求得直线的表达式，从而求得点的坐标，即可求出 周长的最小值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 刷素养 走向重高 8.核心素养 推理能力如图，顶点为的抛物线与 轴相交于点 ，（点在点的右侧），与轴相交于点 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 （1）判断 是否为直角三角形，并说明理由. 【解】是直角三角形.理由如下：将代入 中，得 ，解得，，，.易得顶点 的坐标 为,点的坐标为.在 中，由勾股定理得 ， ，， 是直角三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 （2）在该抛物线上是否存在点（点与点不重合），使得以点，，， 为 顶点的四边形的面积与四边形的面积相等?若存在，求出点 的坐标；若不 存在,请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 39 【解】存在.由（2）可知，是直角三角形， ， , , . 设点的坐标为 . ①当点位于轴的下方时，点只能位于直线 的下方. 如图，过点作轴交于点，连接，.易求直线 的表达式为 ,， , .由题意得 ， ,解得，（舍去）, 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 40 ②当点位于轴的上方时，过点作轴于点 ，连接 ， ， 则 . 由题意得， ，解得 , 点的坐标为，或， . 综上所述，共存在3个满足条件的点 ，它们的坐标分别为 ，，,， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 41 $$