第二章 1 二次函数～3 确定二次函数的表达式 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 第二章 二次函数 1~3 综合训练 5 刷综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 综合 1.将抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线 必定经过( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，将抛物线向右平移1个单位，再向下 平移2个单位，得到的抛物线的表达式为 .当 时，，A选项不符合；当 时， ，B选项符合；当 时， ，C选项不符合；当 时， ，D选项不符合.故选B. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 2.【2024山东潍坊模拟，中】定义：为二次函数 的特征数，下面给出特征数为 的二次函数的一些结论，不正确的 是( ) D A.当时，函数图象的对称轴是 轴 B.当 时，函数图象过原点 C.当 时，函数有最小值 D.如果，当时，随 的增大而减小 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 【解析】当时，把代入，可得特征数为 ， ，，， 函数表达式为， 函数图象的对称轴是 轴， 故选项A正确，不符合题意.当时，把代入 ，可得特 征数为，，，， 函数表达式为 当 时，， 函数图象过原点，故选项B正确，不符合题意. 二次函数表 达式为, 当 时，函数 的图象开口向上，函数有最小值，故选项C正确， 不符合题意.当时，函数 的图象开口向下， 对称轴为直线， 时函数值先增大后减小，故 选项D错误，符合题意.故选D. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.【2024浙江宁波鄞州区调研，中】二次函数 的图象如图 所示.下列结论：；；③对于任意实数 ， ；；⑤若且 ，则 .其中正确的有( ) C A.①④ B.③④ C.②⑤ D.②③⑤ 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】 抛物线开口方向向下， 抛物线的对称轴位于 轴右侧， ， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故①错 误 抛物线的对称轴为直线，，即 ，故②正 确 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口方向向下， 函数的最大值 为， 对于任意实数， ，即 ，故③错误 抛物线与轴的一个交点在 的左侧，而对 称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当 时，，即，故④错误 ， 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 ， ， ，而， ， .， ，故⑤正确.综上所述，正确的有②⑤. 故选C. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.【2023广东广州番禺区期中，中】二次函数 在 的范围内有最小值为，则 的值为_______. 3或 【解析】， 抛物线开口向 下，对称轴为直线， 在 的范围内， 当时， 为函数最小值， ，解得或 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 5.【2023吉林长春调研，中】已知函数，当 时， ，则 的取值范围是______________. 【解析】函数的图象的对称轴为直线.当 时， ，解得；当时， ，解得 ， 当时，， 解得 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 关键点拨 根据题意和二次函数的性质得到关于 的不等式组是解题的关键. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 6.【2023广东汕头潮阳区模拟，中】在平面直角坐标系中，已知点 ， ，，直线经过点，抛物线恰好经过 ， ， 三点中的两点. （1）求直线 的表达式； 【解】 直线经过点，，解得， 直线表达式 为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）求， 的值； 【解】 直线与抛物线都经过点，且 ， 都在直线上，而直线与抛物线不可能有三个交点, 抛物线经过， 两点或 经过，两点.又，两点的横坐标相同， 抛物线只能经过， 两点.把 ，分别代入，得解得 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 （3）平移抛物线，使其顶点仍在直线 上，求平移后所 得抛物线与 轴交点纵坐标的最大值. 【解】由（2）知，抛物线的表达式为 .设平移后的抛物线的表达 式为，其顶点坐标为， . 顶点仍在直线 上， ， . 抛物线与轴的交点的纵坐标为 ， ， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 7.【2024山东枣庄期末，较难】如图，直线 与抛物线 相交于，和，点是线段上异于， 的动 点，过点作轴于点，交抛物线于点 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （1）求抛物线的表达式. 【解】在直线上，，， , 在抛物线 上， 解得 抛物线的表达式为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （2）是否存在这样的点，使线段 的长有最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，请说明理由. 【解】存在这样的点，使线段的长有最大值.设动点 的坐标为 ，则点的坐标为 ， . , 当时，线段的长有最大值，为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （3）求为直角三角形时点 的坐标 【解】为直角三角形，若点为直角顶点，则 .由题意易 知，轴， 易得 ，因此这种情形不存在. 若点为直角顶点，则 .如图（1），过点作轴于点 ，则 ，.过点作，交轴于点，则由题意易知， 为等 腰直角三角形，，， .设直 线的表达式为，则解得 直线 的表达式为 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 .① 又抛物线的表达式为，② 联立①②，解得 或（与点重合，舍去），，即点,重合.当 时， ，. 若点 为直角顶点，则 ， 抛物线的对称轴为直线 .如图（2），作点关于直线的对称点，则点 在抛物线上，且 ，.当时，，， 点,， 均在线 段 上， 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或， . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 思路分析 （1）已知在直线上，可求得的值，得到点 坐标.将抛物线上 的， 两点坐标代入其表达式，通过联立方程组即可求得待定系数的值. （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的表达式表示出点， 的纵坐标， 进而得到的长与点横坐标之间的函数关系式，根据函数的性质即可求出 的 最大值. （3）当 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨 论求解. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 $$