第一章 大招专题2 锐角三角函数应用的常见模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 大招专题2 锐角三角函数应用的常见模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招6 背靠背型 1.【2024山东济南莱芜区期中，中】某地修建了一座半径 为的圆形纪念园.如图，纪念园中心位于 村西南 方向和村南偏东 方向上.村在 村的正东方向且两 村相距.有关部门计划在， 两村之间修一条笔直 的公路来连接两村.问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说明. （参考数据：，，， ） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解】该公路不会穿越纪念园.理由：如图，过点作，垂足为点 . 由题意得 ， ，， ， .设.在 中， .在中， . ，，解得， . ， 该公路不会穿越纪念园. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 大招解读 背靠背型 背靠背型的两个直角三角形是并列的，有公共的直角顶点及一条公共的直角边， 这条公共的直角边就是沟通两个直角三角形的媒介，一般利用线段的和来寻找等 量关系.此类型的特殊情况是隔一段距离的背靠背，如图，区别是中间多了一段固 定长度的线段. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 2.张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图（1）），完全开启后，把手 与水平线的夹角为 ，此时把手端点、出水口点和落水点 在同一直线上. 洗手盆及水龙头示意图如图（2），其相关数据为， ， ， .求的长结果精确到 .参考数据： ，，， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解】如图，作交于点，交于点 ,则 ，， ， ， ,， ， .在中， ， , ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 答：的长约是 . 思路分析 过点作于,过点作于 ,构造直角三角形，根据正弦的定义 求出,根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，即可求得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 母题学大招7 子母型 3.【2023四川成都金牛区质检，中】某学校兴趣小组开展实践活动， 通过观测数据，计算气球升空的高度.如图，在平面内，点， ， 在同一直线上，，垂足为点， ， ， ，求的高度.（结果精确到 .参考数 据：，，， ） 【解】设.在中，， ， .在中，，， . ，，解得的高度约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 大招解读 子母型 子母型的特点是两个直角三角形“大含小”，如图，小的三角形在大 的三角形内部，有公共的直角顶点及一条公共的直角边，通过这条公 共的直角边沟通两个直角三角形，与背靠背型不同的是子母型一般利 用线段的差来寻找等量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 子题练变式 4.【2024四川乐山期末，中】某校为检测师生体温，在学校门口安 装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图.身高为1.7 米的小聪做了如下试验：当他在地面 处时，“测温门”开始显示 额头温度，此时在额头处测得的仰角为 ；当他在地面 处时， “测温门”停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为 . 如果测温门 顶部处距地面的高度为3.3米，求小聪在有效测温区间 的长度约为多少米. （结果保留一位小数，注：额头到地面的距离以身高计， ， ， ） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 【解】延长交于点，，， 四边形是平行四边形. ， 四边形 是矩形.同理，四 边形是矩形，, .在 中， ， ， ， .在中， ， ， ， ， （米）. 答：小聪在有效测温区间 的长度约为0.6米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 关键点拨 延长交于点.构造直角三角形和矩形，通过解直角三角形求出， 的长， 再结合矩形的性质即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 母题学大招8 拥抱型 5.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在山顶上有一 高度为20米的发射塔，如图所示.在山脚平地上的 处测 得塔底的仰角为 ，向小山前进80米到达点 处，测得 塔顶的仰角为 ，小山的高度 为_______________. 米 【解析】设为米，则米.由题意知 ， 米.在中，，则 米, 米.在中， ,解得 .故答案为 米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 大招解读 拥抱型 拥抱型的特点比较复杂，是两个直角三角形的边有交点，如图，解此类题要仔细 分析题意，找对等量关系，在找等量关系时，可以结合矩形来找. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 子题练变式 6.【2023天津中考，中】综合与实践活动中，要利用测 角仪测量塔的高度. 如图，塔前有一座高为 的观景台，已知 , ,点,, 在同一条水平直线上. 某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为 ,在 观景台处测得塔顶部的仰角为 . （1）求 的长； 【解】在中， ,，，即的长为. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （2）设塔的高度为（单位： ）. ①用含有的式子表示线段 的长（结果保留根号）; 【解】在中， ， . 在中，，， ， ， ，即的长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 ②求塔的高度（ 取,取 ,结果取整数）. 【解】如图，过点作，垂足为 .根据题意，得 ， 四边形是矩形，， ， .在中，， ， ，即 , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 答：塔的高度约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 关键点拨 （2）①根据题意得.在中，利用30度角的余弦值求出 的长， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差 关系进行计算即可求解.②过点作，垂足为.根据题意可以表示出 和 的长度，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于 的方程，进 行计算即可解答. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 母题学大招9 斜截型 7.【2024河南南阳期中，中】某商场为缓解我市“停车 难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡 道入口的设计示意图，其中，， ， ，在上，， . 根据规定，地下停车库坡道 入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该将 的长作为限制的高度.小明和小亮 谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度.（结果精确到 ，参考数据： ，， ） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 【解】， 小亮说得对. 在中， ， ，， ， ， .在 中， .， ， . 正确的限制高度约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 大招解读 斜截型 斜截型常与方位角结合考查，多呈现为拦截问题、安全问题.此 类型的特点是小的直角三角形在大的直角三角形内部，有公共 的锐角，小三角形的斜边与大三角形的直角边在同一直线上， 小三角形的直角边与大三角形的斜边在同一直线上，如图. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 子题练变式 8.【2023河南南阳二模，中】如图（1），太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线 垂直时，吸收太阳能的效果最佳.如图（2），某户根据本地区冬至时刻太阳光线 与地面水平线的夹角 确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直）. 已知，,垂足为,,支架，， 于 ，若 ，求的长参考数据：，， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解】如图，延长交的延长线于点，延长，则 ， . 在中，，， 在 中， 答：的长约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 关键点拨 延长交的延长线于点，延长，则 ，然后根据锐角三角函数的 定义即可求出答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 $$