第一章 5 三角函数的应用-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 方位角问题 1.【2023山东青岛市北区校级期末】如图，一艘测量船在处测得灯塔 在它的南 偏东 方向，测量船继续向正东航行30海里后到达处，这时测得灯塔 在它的 南偏西 方向，则灯塔离观测点 的距离是( ) B A.海里 B. 海里 C.海里 D. 海里 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 添加辅助线 因为要求的是的长度，所以要把 放到一个直角三角 形中，所以过作于，再根据 角得到 【解析】如图，过作于C，在上截取，连接,则 ， ， .由题意得 , ， ，.设海里，则海里 ， 海里.海里， ，解得 ， 海里.故选B. 角，并结合 角想到在上截取构造底角为 的等腰三角形，进而求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2023内蒙古通辽中考】如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东 方向，距离灯塔的 处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔的南偏东 方向上的处.这时，处距离灯塔 有多远 （结果取整数）？（参考数据：， ， ，，， ） 【解】如图，由题意得，， ， .在中， ， ， 在 中， ， 处距离灯塔约 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 知识点2 仰角（俯角）、坡角问题 （第3题图） 3.【2023山东烟台期末】2022年11月29日23时08分，搭载神舟十 五号载人飞船的长征二号 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心 点火发射.如图，当火箭从地面到达处时，在处测得 点的仰角 为 ，， 两点间的距离为12千米，它沿铅垂线上升到 达处时，在处测得点的仰角为 ，则火箭从处到 处的距离 为( ) D A.6千米 B.千米 C.千米 D. 千米 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 【解析】由题意，得 .在中， ， 千 米，千米， 千米.在 中， ， 千米， 千米.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （第4题图） 4.【2024安徽亳州质检】某市为改善交通状况，修建了大量的高 架桥.如图，一汽车从坡度为的笔直高架桥起点 开始爬行， 行驶了15米到达点 ，则此时汽车离地面的高度为_____米. 7.5 【解析】如图，过点作，垂足为 .由题意可知 米, ， ， （米），即此时汽车离地面 的高度为7.5米.故答案为7.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 5.【2024山东淄博张店区期末】春天是放风筝的好季节.如图， 小明在某公园处放风筝，风筝位于处，风筝线长为 ， 从处看风筝的仰角为 ，小刚从处看风筝的仰角为 （，，三点位于同一竖直平面,, 在同一直线上）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （1）风筝离地面多少米？（结果精确到 ） 【解】过点作于点，如图.在 中， ， . 答：风筝离地面 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）小明和小刚的直线距离是多少米？（结果精确到 ） （参考数据：，，， ， ） 【解】在中，， .在 中，， ， . 答：小明和小刚的直线距离是 . 归纳总结 一些关于锐角三角函数的实际问题中，需要通过作辅助线构造直角三角形，再用 线段和差进行求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 提升 （第1题图） 1.【2023河北承德调研，中】如图，小刚要测量斜坡 旁一 棵树的高度，已知在坡脚处测得树顶的仰角为 ， 在坡顶测得树顶的仰角为 ，若 ， ，则树 的高是( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 【解析】过点D作于，则.在中， ， ，， ， ， ， .在 中， .在 中， ， 树的高是 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 关键点拨 在中，根据边之间的关系得到 ，进而得到 是直角三 角形是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 （第2题图） 2.某通信公司准备逐步在歌乐山上建设 基站.如图，某处斜 坡的坡度（或坡比）为，通讯塔 垂直于水平地面， 在处测得塔顶的仰角为 ，在处测得塔顶的仰角为 ， 斜坡路段长26米，则通讯塔 的高度为(参考数据： ，， ( ) B A.米 B. 米 C.56米 D.66米 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【解析】如图，延长与水平地面交于，过D作 ， 垂足为，过D作，垂足为,则, 斜坡的坡度为，.设 米，则 米.在中， 米，由勾股定理得 ，即，解得 （负值已舍去），米， 米. 斜坡的坡度为，,设米，则 米. ， 米， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 米.在中， 米， 米，，，解得 ， （米）， （米）， （米），即通讯塔的高度为 米.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算 是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 3.如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东 方向直线延伸，测绘员在 处测得要安装天然气的小区在市北偏东 方向，测绘员沿主输气管道步行 2 000米到达处，测得小区位于的北偏西 方向.当在主输气管道 上寻找 支管道连接点，使到小区铺设的管道最短时， 的长为_______米. 1 500 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】如图，过作东西方向线的平行线，交过 的 南北方向线于，过作于，则此时铺设的管道 最短. ， ， ， .又 ， ， ， ， ， ， ， 米， 米， （米），即当在主输气管道 上寻找支 管道连接点，使到小区铺设的管道最短时， 的长为1 500米.故答案为1 500. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 4.【2023江西九江期中，中】台灯，是我们在学习中的万能“小助手”．如图（1） 是一盏可调节台灯，图（2）为示意图，固定底座于点， 为固定支撑 杆，为可绕着点旋转的调节杆，灯体始终保持垂直于， 为台灯照射 在桌面的区域，旋转调节杆使.已知此时， ， ，，，点恰好为的中点，则 的值为_ ___． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】如图， 过点作于，过点作于.在 中， ，， 易得， . 技巧归纳 在实际问题中，往往会通过向水平面作垂线来构造直角三角形. 又，， ， 点恰好为的中点， ， .在 中，， .故 答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 5.【2024重庆渝中区质检，较难】如图，一货船从港口 出发，以40海里/时的速 度向正北方向航行，经过1时到达处，测得小岛在的东北方向，且在点 的北 偏东 方向.（参考数据：，，， ， ） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）求， 的距离（结果保留整数）； 【解】如图，过作，交的延长线于 .由题意得， （海里）. 在中， ，.设 海 里，则海里.在中， ， ，，解得 ， 海里， （海里）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）由于货船在处突发故障，于是立即以30海里/时的速度沿赶往小岛 维修， 同时向维修站发出信号，在 处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以 50海里/时的速度沿前往小岛.已知在的正东方向，在的北偏西 方向， 通知时间和维修船准备材料时间一共6分，请计算说明维修船能否在货船之前到达 小岛 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 【解】如图，过点作于，则四边形 为矩形.由 （1）得海里， 海 里.， ， ， 海里. ， ， ， ， 海里， 维修船到达小岛总共用时 （时）.货船从到用时 （时）. ， 维修船能在货船之前到达小岛 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 关键点拨 （1）过作,交的延长线于，由题意可得 ，设 海里，则 海里，通过三角函数列方程求解； （2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较，从而得到解答. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 $$