第一章 1 课时2 正弦和余弦-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第一章 直角三角形的边角关系 4 1 锐角三角函数 课时2 正弦和余弦 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 锐角的正弦、余弦 1.【2023广西南宁兴宁区调研】已知中， ，，， 所对的 边分别是，，，且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】在中， ，， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第2题图） 2.【2023山东枣庄调研】如图，在 的正方形网格中，每个小正 方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点 均在格点上，则 的值是( ) A A. B. C. D. 思路分析 在网格中求锐角正弦值 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】延长至格点D，连接，如图.由勾股定理得 ， ，，， 是直角 三角形，且 ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2024江西吉安期末】在中， ，， ，则 ____. 10 【解析】在中， ，， ， .故答案为10. 关键点拨 根据正弦的定义，把相关的量代入求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.【2024山东济南质检】如图，在中， ， 为 上的一点，，，则 的值为_ __， 的值为_ ___. 【解析】在中，， ， ，则 ，.故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.【2024浙江金华期末】如图，在中， ， ，垂足为，， . （1）求 的长； 【解】在中， ，， ， ， ， . ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （2）求 的余弦值. 【解】 , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 锐角三角函数 6.【2024江西抚州期末】已知中， ，， ，那么下 列各式中正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】中， ，， ， ，， ， ， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 刷有所得 在直角三角形中,一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值，一个锐角的 余弦值等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切值等于这个角的对边与 邻边的比值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7.【2023北京石景山区校级期末】在中， ，，则 的 值是__. 【解析】在中， ,， 设，则 . 由勾股定理得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 知识点3 物体的倾斜程度与锐角三角函数的关系 8.如图，梯子与地面所成的锐角为，关于 的三角函数值与梯子倾斜程 度的关系，下列叙述正确的有( ) B 的值越大，梯子越陡； 的值越小，梯子越 陡；的值越大，梯子越陡； 的值越小，梯子 越缓. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】根据锐角三角函数值的变化规律可知， 的值越大，梯子越陡,值 越小，梯子越缓；的值越大，梯子越陡,值越小，梯子越缓； 的 值越大，梯子越缓,值越小，梯子越陡.①③正确.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 刷易错 易错点 忽视应用锐角三角函数的前提致错 9.在中，，，，求 的值. 小红给出了她的解答过程： .请问小红的解答过程是否正确？如果不 正确，请写出正确的解答过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解】小红的解答过程不正确.正确的解答过程如下：如图，过点 作于点 . 设，则.在中， .在 中，, ，即 易错警示 应用锐角三角函数解题的前提是在直角三角形中.本题中 不是直角三角形， 所以不能直接求 的值. ，解得， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.【2024广东广州质检，中】如图， 是斜靠在墙上的长 梯，与地面的夹角为 ，当梯顶下滑到时，梯脚 滑到，与地面的夹角为 .若， ，则 ( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】如图. 在中， ， ， 可设，， ， 在中， ， ， ，， ，解得 ，，， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （第2题图） 2.【2024山东临沂期末，较难】如图，在由边长为1的小正方形 组成的网格中，点，，，都在格点上，，相交于点 ， 则 的值为( ) A A. B. C. D. 添加辅助线 作垂线构造直角三角形模型.本题过作于 .根据面积公 式和三角形相似求出和 ，再用正弦的定义求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 【解析】如图，过A作于.在中， , ，由勾股定理得.在 中， , ，由勾股定理得 . ， . ，,, , , ,故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 3.【2023四川内江中考，中】在中，,,的对边分别为,, ，且满 足，则 的值为__. 【解析】 ， ，，， ， ，，中，，，的对边分别为，， ，且 , ,.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 4.【2024辽宁沈阳质检，中】如图，在中，，， ， 则 的长为____. （第4题图） 【解析】如图，过点作，垂足为.在中， ， ，.在中，， ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第5题图） 5.【2024湖南益阳期末，中】如图，小益同学构造了一个 ， ，是的中点，于，与 交 于点，连接.若，，设 ，则 __. 【解析】是的中点，，， ， .设，则 ，即 ，，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 思路分析 易得，进而推出 .设.利用勾股定理列方程求出 的 长，再利用正弦的定义求值即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 6. 【2024上海松江区调研，中】若定义等腰三角形顶角的 值为等腰三角 形底边和底边上高的比值，即顶角.若等腰中， ， 且，则 __. 【解析】如图，过点作于， 设 ，，， . 根据勾股定理得 ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 7.【2024江西南昌期末，较难】如图，在四边形中， ， 平分.若，，则 _ __. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解析】过点作，垂足为，如图. ， 平分， ， ,.易得四边形 是矩形， ，.在 中， ，在 中， ， ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 刷素养 走向重高 8.核心素养 模型观念【2024河南郑州质检，较难】 （1）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变 化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 【解】在题图（1）中，令，于点， 于点 ，于点，显然有 ， ， ， ，而， . 在题图（2）中， ，, ， ，.， ， . 结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）根据你探索到的规律试比较 ， ， ， ， 这些锐角的正弦 值的大小和余弦值的大小. 【解】由（1）可知， ； . （3）比较大小（在空格处填写“ ”“”或“ ”） 若 ，则 ___ ；若 ，则 ___ ；若 ，则 ___ . = < > 【解析】若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .故答案为， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 思路分析 （1）在直角三角形中，斜边长固定时，随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大， 邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 $$