6.4 课时4 三边成比例的两个三角形相似-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第6章 图形的相似 4 6.4 探索三角形相似的条件 课时4 三边成比例的两个三角形相似 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 三边成比例的两个三角形相似 1.已知的三边长是，，2，与 相似的三角形的三边长可能是 ( ) A A.1，， B.1，， C.1，， D.1，， 【解析】的三边长是，，2， 的三边长之比为 ， 与相似的三角形的三边长可能是1，， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 关键点拨 先算出 三边长的比，选项中三边长的比与之相同的即为正确答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2023上海普陀区一模】在和中，已知， ，如 果从下列条件中增添一个条件，与 仍不一定相似，那么这个条件是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，由 ，可以根据两边成比例且夹角相等，推出两三角形相 似，本选项不符合题意；B选项，由，可以推出 ，根据两边成比 例且夹角相等，推出两三角形相似，本选项不符合题意；C选项，由 ，不 能判定两三角形相似，本选项符合题意；D选项，由 ，可以推出 ，根据三边成比例推出两三角形相似，本选项不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.如图所示的4个三角形中，相似三角形有( ) A A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【解析】三角形①的三边之比为；三角形②的三边之比为 ；三角 形③的三边之比为；三角形④的三边之比为 .只有三角形①和③的 三边对应成比例，所以相似三角形有1对.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2023江苏淮安期末】下列各组条件中，一定能够判定与 相似的 是( ) C A.， B.，，， C.三边长分别为6，18，21，三边之比为 D. ， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 【解析】A选项，和，和 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三 角形相似，A选项不符合题意；B选项，根据， 不能判定两三角形 相似，因为相等的两个角不是成比例的两组边的夹角，B选项不符合题意；C选 项，的三边之比为，由三边之比为可知与 相似，C选项符合题意；D选项，因为，与，与 不是两个三角 形的相等角的两组对应边，所以不能判定两三角形相似，D选项不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.已知的三边长分别为，，，的一边长为 ，当 的另外两条边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】设的另外两条边长分别为，.若中长为 的边的 对应边的长为，则，解得，；若中长为 的边 的对应边的长为，则，解得，；若 中长为 的边的对应边的长为，则，解得， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 关键点拨 根据三边成比例的两个三角形相似，即可求解．注意中长为 的边的对 应边的长可能是或或 ，所以有三种情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 6.【2024江苏无锡调研】如图，在正方形网格中有 ， ，，这3个斜三角形中，与 相似的是 ________.（点，，，， 均在格点上） 【解析】设小正方形的边长均为1,则，， ， ，的三边之比是， 的三边之比是 ,的三边之比是， 的 三边之比是，与 相似，故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7. 【2024安徽滁州期中】如图是边长为1的小正方形组成的网格， 的 顶点都在网格点上. （1）在上找出一点，连接，使得 ； 【解】 网格是由边长为1的小正方形组成的， ， ,,，则如图，点 即为所求. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （2）利用“三边成比例的两个三角形相似”证明（1）中结论. 【证明】如图， 网格是由边长为1的小正方形组成的， 在 中， ，，;在中， ， ，., . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 关键点拨 （1）由勾股定理结合，得相似比为，求出 ，即可 求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 8.如图，点,,在一条直线上，与相交于点, . （1）求证： ; 【证明】,, , , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （2）若 ，求 的度数； 【解】由（1）得， ， , . （3）连接,求证： . 【证明】由（1）得 . 又， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 刷易错 易错点 因考虑问题不全面而致错 9.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的 三边长分别是3，4，，那么 的值为_______. 5或 【解析】根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种情况，一种是6和8 为直角边长，那么根据勾股定理可知斜边长为10；另一种是6是直角边长，8是斜 边长，那么根据勾股定理可知另一条直角边长为 . 所以另一个与它相似的直角三角形也有两种情况，第一种是 ，解得 ；第二种是，解得.综上，或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 易错警示 两条边长分别是6和8的直角三角形，没有明确直角边和斜边，应分情况讨论,本题 容易漏掉第二种情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 提升 1.【2024江苏苏州调研，中】如图，在正方形中，是 的中点， 是上一点，且 ，则图中相似三角形的对数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】设,则,是 的中点， .在中，,,；在 中， ,,；在中，, , , , ,是直角三角形，且 .根据三边成比例的 三角形相似可知 ,故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 2. 传统文化［中］在如图所示的象棋盘 （各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日” 的规则，“马”应落在下列哪个位置，能使“马” “车”“炮”所在位置的格点连线构成的三角形与 B A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 【解析】设小正方形的边长为1.“帅”“相”“兵”所在位置的格点连线构成的 三角形的三边的长分别为2,, ；“车”“炮”之间的距离为1，“炮”与② 之间的距离为，“车”与②之间的距离为.， 这时两 个三角形相似， “马”应该落在②的位置.故选B． “帅”“相”“兵”所在位置的格点连线构成的三角形相似( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 关键点拨 确定“帅”“相”“兵”所在位置的格点连线构成的三角形的三边的长，然后根 据三边成比例的两个三角相似确定“马”落的位置． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 3.【2023浙江绍兴质检，中】一个三角形木架的三边长分别是， ， ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为和 的两 根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料）， 则不同的截法有( ) B A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】要满足三角形的两边之和大于第三边，则长 的木条不能作为一边. 设从长的木条上截下的两段长分别为， .由于 ,则长的木条不能与长的一边对应.当长 的木条与长 的一边对应时，，解得，；当长 的木条与 长的一边对应时，，解得，， 有两种不同 的截法:把长的木条截成，两段或把长 的木条截成 ， 两段.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 4.【2024江苏南京质检，中】如图（1）、图（2）均为 的正方形网格，小正 方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 的三个顶点均在格点上. 只用无刻度的直尺，在图（1）、图（2）中各画一个与 相似（相似比不为1） 且不全等的三角形.（要求三角形的顶点都在格点上） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解】如图（1）和图（2）所示， 即为所求.由网格的特点和勾股定理可得 ,, .图（1）中， ,,， ， .同理可证明图（2）中 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 5.【2023浙江杭州期中，中】如图，正方形中，是边 上一点， ，，垂足分别是点，，连接.如果.求证： . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【证明】如图， 四边形为正方形， ， ，， ， , ，.在 和中，， .又 ，，.和 均是直角三角形， ,， ， , , ，.又 , ， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力【2023江苏南京质检，较难】如图，在和 中，，分别是，上一点， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （1）当 时，求证： .证明的过程可以用下面的 框图表示，请填写标“ ”中的内容. 【解】证明过程如下：， .，， ， ，.故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （2）当时，判断与 是否相似，并说明理由. 【解】.理由：如图，过点，分别作， ， 交于，交于，， .同 理.，，.同理 ， ，即，. ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 ，， ， ，同理， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 思路分析 （2）过点，分别作，，交于，交于 .先证明 ，推出，再证明 即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 $$