6.4 课时3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第6章 图形的相似 4 6.4 探索三角形相似的条件 课时3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1.【2023江苏扬州调研】如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形 （阴影部分）与 相似的是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】由题图得，在中， ，， .B、C、D选 项中的三角形都没有 的角，而A选项中三角形的钝角为 ，它的两边长分 别为1和，因为，所以A选项中的三角形与 相似.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第2题图） 2.【2024江苏南通期末】如图，点在的边 上，若只添 加一个条件，就可以判定 ，则下面四种添加条件 的方法中，正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】在与中，根据，不能判定 ， 故选项A错误；，即，不能判定 ，故选项B错 误；，即，，能判定 ，故选项C正 确；不能判定 ，故选项D错误.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第3题图） 3.【2024安徽滁州期末】如图，在中， ， ，，将 沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原 三角形不相似的是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】A选项，剪开得到的三角形与原三角形有两个角相等，可以判定两三角形 相似，故A选项不符合题意；B选项，剪开得到的三角形与原三角形的两组对应边 成比例且夹角相等，可以判定两三角形相似，故B选项不符合题意；C选项，由同 位角相等，两直线平行可得平行线，故可以判定两三角形相似，故C选项不符合题 意；D选项，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，不能判定两三角形相似， 故D选项符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 4.在和中，若，，，，则 ___时， . 6 【解析】 在和中，若，，， , 只要，即可证得,，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.【2023四川南充质检】如图，在中，为上一点， ， 则 的值为_ __. （第5题图） 【解析】，.又 ， ，，.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.如图，四边形,,都是正方形,则 _____． （第6题图） 【解析】设正方形的边长为，则 ，， .又 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7. 开放性试题如图，已知 ． （1）添加条件 _________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _____________________________________ （写出一个即可），使得 ，并说明理由； （2）在（1）的基础上，你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【解】.理由：， .又 ， ． 【解】添加的条件是 .理由： ，， . 故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 思路分析 先利用等角的补角相等得到，则可判断 ，所以 ，利用比例的性质得到，接着证明 ，从而可判断 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.【2024江苏淮安质检】如图，点是 外一点， ， .求证： . 【证明】 ， ， .又， ， ，.，即 ， .又， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 刷易错 易错点 相似三角形对应边、角不确定时未分类讨论致错 9.如图，矩形中，，，为 边上的动点， 当_________时，与 相似． 2或8或5 【解析】①当时，，即，解得或 ； ②当时，，即，解得．综上所述， 的长 为2或8或5．故答案为2或8或5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 表述相似时，若利用相似符号“ ”表示，则相似三角形的对应边、对应角是确 定的；若用文字表述，则对应边、对应角不确定，注意分类讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.【2024江苏镇江期末，中】如图，在中， ，， . 将 沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相 似的是( ) A A.①②③ B.①②④ C.①② D.④ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的 三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形 两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形的两 边成比例，但夹角不一定相等，故两三角形不一定相似.综上所述，①②③剪下的 三角形与原三角形相似.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （第2题图） 2.［中］如图，在中，，，动点 从 点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿 边 运动，速度为．如果， 两动点同时开始运动，那么当 它们运动______时，与 相似． 或 【解析】设运动时间为.根据题意,得， ， ， 分两种情况：①当，即 时， ,解得；②当 ，即 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 关键点拨 分两种情况：①当时;②当时．时， ,解得 .故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 3.［中］如图，在纸板中，,,,是上一点，过点 沿直线剪下一个与相似的小三角形，如果有4种不同的剪法，那么 长的取 值范围是___________． （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】如图（1），过作交于,作交于 ，则 ，，此时 ； 图（1） 如图（2），过作交于，则，此时 ； 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 如图（3），过作交于，则.当点与点 重合 时，，即，，， . 综上所述，．故答案为 ． 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 4.［中］如图，点在线段上，在 的同侧作等腰 和等腰， , 与 ,分别交于点,，连接 .求证： （1） ; 【证明】和都是等腰直角三角形， ， ,， , . , 易得, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2） . 【解】 由（1）得， , ,.又， ， . ,且 ,,， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 5.【2024广东深圳质检，较难】如图，在矩形中，为的中点， 交于，延长与直线相交于点，连接.若，则当 为 多少时，与 相似？ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 【解】与相似，当 时， ， ， ，此种情况不成立； ②当时，.设 ，则 ，， ， ， ， ， .又 ，，，即，解得 （负值已舍去） 当时，与 相似. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力【2023山东烟台期末，较难】 图（1） 【问题呈现】 如图（1），和 都是等边三角形，连接 ，.求证： . 【证明】和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 图（2） 【类比探究】 如图（2），和 都是等腰直角三角 形， .连接，.请直接写出 的值. 【解】.和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 图（3） 【拓展提升】 如图（3），和 都是直角三角形， ，且.连接，.求 的值. 【解】， ， ，， ， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 $$