6.4 课时2 两角分别相等的两个三角形相似-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第6章 图形的相似 4 6.4 探索三角形相似的条件 课时2 两角分别相等的两个三角形相似 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 两角分别相等的两个三角形相似 1.【2024上海嘉定区期末】下列命题是真命题的是( ) C A.有一个角是 的两个等腰三角形相似 B.有一个角是 的两个等腰三角形相似 C.有一个角是 的两个等腰三角形相似 D.有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】 的角在两个等腰三角形中，一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三 角形不相似，A选项为假命题； 的角在两个等腰三角形中，一个是顶角，一个是 底角时，两个等腰三角形不相似，B选项为假命题；有一个角是 的等腰三角形为 等边三角形，所以有一个角是 的两个等腰三角形相似，C选项为真命题；有一个 角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，D选项为假命题.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2024江苏南京外国语学校质检】如图，在 中， ，则图中的相似三角形共有( ) C A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【解析】，, ， ，，， ， .综上，共有4对，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.在中， ,是等腰直角三角形，且，顶点 重合， 将绕其顶点 旋转，在旋转过程中，以下4个位置不存在相似三角形的是 ( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】A选项，不存在相似三角形，故本选项符合题意 选项， ，， ，故本选项不符合题 意选项，设与交于点 , , ,故本选项不符合题意选项，， ， ，，， ， ，.又 ， ， 故本选项不符合题意.故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第4题图） 4.如图，在中，高,相交于点．图中与 一定相 似的三角形有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】， ， ， .又 ， ， ，， 图中与 一定相似的三角形有3个.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 关键点拨 再添加一组角相等可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 5. 开放性试题【2024江苏常州质检】如图，已知 ，请你再补 充一个条件________________________，使得 . （答案不唯一） （第5题图） 【解析】添加条件.理由如下：， ， ，故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 6.【2024江苏扬州质检】如图，在中， ，， ， 是斜边上的高，则线段 的长为__. （第6题图） 【解析】是斜边上的高， ， .又 ，，. ， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7.【2023江苏宜兴调研】如图，在的正方形方格中， 的 顶点，，都在正方形的顶点上.是边 上一个格点.请用无刻 度直尺在边上找到点，使得与 相似. 【解】如图，和即为所求.或时， 与 相似. ， ， , . 易错警示 没有用相似符号连接时，要注意分情况讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.【2024江苏泰州期末】已知：如图，在四边形 中， ，对角线与相交于点，过点作，交 于点 .求证： （1） ； 【证明】，，， ， . （2） . 【解】，.，且 ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 刷易错 易错点 三角形的对应关系找不准，使判断出现错误 9.在和中, ， ， ,判断它们 是否相似. 【解】 ， ， ， ， . 又， . 易错警示 易受思维定式的干扰，误认为点的对应点就是点，而 ,错误地判断 两三角形不相似. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 （第1题图） 1.【2024江苏苏州调研，中】如图，，分别为矩形 的边 ，上的点， ，则图中①、②、③、④四个三 角形中一定相似的是( ) A A.①③ B.②③ C.①②③ D.①④ 【解析】 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即①③一定相似，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （第2题图） 2.【2023河北石家庄三模，中】如图，为矩形 的中心， 将的直角顶点与重合，一条直角边与 重合， 将绕点逆时针旋转，两条直角边始终与边， 相交，交点分别为，.若，， ， ，则与 之间的函数图像是( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】如图，过点分别作于， 于 ， ， ，.，， ， 思路分析 过点分别作于，于，易证明 ，根据相似三角 形对应边成比例即可得到与 之间的函数关系式，从而判断图像. ，，，，， ， .，， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 3.【2023江苏盐城调研，中】如图，矩形中， ， ，对角线的垂直平分线交于点，交于点 ，则 线段 的长为___. 【解析】如图，设与的交点为 四边形 是矩形， .又， ， 是 的垂直平分线， ， ,.又 , ，，，解得. ， ，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 思路分析 根据矩形的性质和勾股定理求出的长，证明 ，根据相似三角形 的性质得到比例式，求出的长，再证明，进而可求出 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.［中］在和中，已知 , , .画 直线,,使直线将分为两个小三角形，直线将 分为两个小三角形， 并使分成的两个小三角形分别与 分成的两个小三角形相似． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解】方法一： 方法二： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 5.【2024浙江金华期末，中】如图，已知的半径长为1，，是 的两 条弦，且，的延长线交于点，连接， . （1）求证： ； 【证明】, ， , . 又， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）记，，的面积分别为，，，如果 ，求 证：点为线段 的黄金分割点. 【解】如图，过点作于，于 ，由（1）知 ， , ,,, 的面积分别为,, , ，, ,即 , 点为线段 的黄金分割点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 关键点拨 （1）证明后利用全等三角形的性质得 即可求证； （2）过点作于，于 .根据全等三角形面积相等可得 ，分别表示出，，，结合即可推出 ，故 可求证. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 刷素养 走向重高 6.核心素养 几何直观【2023江苏南通崇川区一模，难】矩形 中， ，，是射线上一点，点关于的对称点恰好落在射线 上，连接，， . （1）①如图，当点在边上时，若，则 的长为 _________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________； 【解】当点 在边 上时, 点关于的对称点恰好落在射线上， ， ， .故答案为 2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 ②若，求 的长. 【解】 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ，. 点关于的对称点恰好落在射线 上， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）作的平分线交射线于点，当时，求 的长. 【解】当点在边上时，过点作于点 ，如图（1）. 图（1） 平分，，， . ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 ，， . ， . 在和中， ， .设，则， . 在中,，，解得或 （舍去）， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 当点在边的延长线上时，过点作于点 ，如图（2）. 图（2） 同理可得，，, ， .综上所述， 的长为2或18. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 $$